Векторная функция скалярного аргумента

и её дифференцирование.

Одним из наиболее простых способов задания пространственной кривой является задание векторного уравнения:

1. ,

где - радиус-вектор точки кривой, а- параметр, определяющий положение точки.

Т.о. переменный вектор есть функция скаляра. Такие функции в математическом анализе называют векторными функциями скалярного аргумента.

Разлагая по ортам, уравнению (1) можно придать вид:

2. 

Это разложение даёт возможность перейти к параметрическому уравнению кривой:

3. 

Другими словами, задание векторной функции равносильно заданию трёх скалярных.

По отношению к векторной функции (1), определяющему данную кривую, сама кривая называется годографом этой функции. Начало координат называют в этом случае полюсом годографа.

Пусть теперь и- точки кривой, определяемой уравнением (1). Причём, аРадиус-векторы этих точек будут

и .

Вектор называют приращением векторной функции, соответствующее приращениюеё аргумента, и обозначают через,

.

Векторная функция будет непрерывной функцией, если

.

Для нахождения производной от поступим следующим образом –

.

Установим теперь направление . Очевидно, чтоколлинеарен си принаправлен в ту же сторону, что иа при- в противоположную сторону. Но в первом случаеа во второмТ.о. векторвсегда направлен по секущей годографав сторону возрастания.

Если воспользоваться разложением ипо ортам, то

(*) где

Отсюда деля (*) на и переходя к пределудляполучим

4. 

Опираясь на (4), можно показать, что справедливы следующие формулы:

(5)

(6) - скалярная функция.

7. 

8. 

Доказательство (7).

Ч.Т.Д.

Исследуем теперь некоторые свойства . Прежде всего найдём его модуль:

.

Далее

Т.к. мы считаем дугу годографа спрямляемой, то тогда - есть длина хорды, а- длина дуги. Поэтому

Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу.

Следствие 1. Если - единичный вектор, направленный по касательной к годографу в сторону увеличения, то

Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то

(т.к. )

Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги.

Следствие 3. Если годограф векторной функции рассматривать как траекторию движения точки, а - как время движения, отсчитываемое от некоторого, топо величине и направлению совпадает с вектором скорости движения.

В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени:

Кроме того, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения, что соответствует направлению возрастания, т.е. соответствует направлению.

Т.о. .

Рассмотрим теперь , длина которого постоянна,, т.е.

(*) где

Дифференцируя (*), найдём:

, т.е.

В частности, производный вектор от любого переменного по направлению единичного всегда.

Пусть теперь угол между радиусами единичной сферы, проведёнными в точкиигодографа. Тогда длина хордыиз треугольникабудет равна

Модуль производной от единичного переменного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора.

Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде

Но и тогда

Кривизна пространственной кривой.

Сопровождающий трёхгранник.

Согласно следствию 2, для можно записать формулу:

Изменение направления , связанное с изменением касательной к пространственной кривой, характеризует кривизну кривой. За меру кривизны пространственной кривой, как и для плоской, принимают предел отношения угла смежности к длине дуги, когда

кривизна, угол смежности,длина дуги.

С другой стороны, единичный вектор и производный к нему векторперпендикулярен к нему, а его модульДифференцируяпои вводяединичный вектор с направлением, найдём:

Вектор вектор кривизны пространственной кривой. Его направление, перпендикулярное к направлению касательной, является направлением нормали пространственной кривой. Но пространственная кривая имеет в любой точке бесчисленное множество нормалей, которые все лежат в плоскости, проходящей через данную точку кривой и перпендикулярно к касательной в данной точке. Эту плоскость называют нормальной плоскостью пространственной кривой.

Определение. Нормаль кривой, по которой направлен вектор кривизны кривой в данной точке – главная нормаль пространственной кривой. Т.о. единичный вектор главной нормали.

Построим теперь третий единичный вектор равный векторному произведениюи

Вектор , как итакже перпендикулярент.е. лежит в нормальной плоскости. Его направление называют направлением бинормали пространственной кривой в данной точке. Вектораисоставляют тройку взаимно перпендикулярных единичных векторов, направление которых зависит от положения точки на пространственной кривой и изменяется от точки к точке. Эти вектора образуют т.н. сопровождающий трехгранник (трехгранник Френе) пространственной кривой. Вектораиобразуют правую тройку, так же как и единичные ортыв правой системе координат.

Взятые попарно определяют три плоскости, проходящие через одну и ту же точку на кривой и образуют грани сопровождающего трехгранника. При этомиопределяют соприкасающую плоскость (б.м. дуга кривой в окрестности данной точки есть дуга плоской кривой в соприкасаемой плоскости с точностью до б.м. высшего порядка);

и- спрямляющая плоскость;

и- нормальная плоскость.

Уравнения касательной, нормали и бинормали.

Уравнения плоскостей сопровождающего трехгранника.

Зная и, или любые коллинеарные им неединичные вектораT, N и B выведем уравнения, поименованные в этом параграфе.

Для этого в каноническом уравнении прямой

и в уравнении плоскости, проходящей через данную точку

принять за координаты выбранной на кривой точки, заили соответственно запринять координаты того из векторовили, который определяет направление искомой прямой или нормали к искомой плоскости:

или- для касательной или нормальной плоскости,

или- для главной нормали и спрямляющей плоскости,

или- для бинормали и соприкасающейся плоскости.

Если кривая задана векторным уравнением илито за векторнаправленный по касательной можно принять

1. 

Для нахождения инайдём сначала разложениепо векторамРанее (следствие 1) мы нашли, чтоДифференцируя по, получим:

Но, т.к.

Перемножим теперь векторно и

(*)

На основании (*) за вектор , имеющий направление бинормали, можнл взять вектор

Но тогда, за можно принять векторное произведение этих последних:

Т.о. в любой точке произвольной кривой мы можем определить все элементы сопроводдающего трехгранника.

Пример. Уравнение касательной, нормали и бинормали к правой винтовой линии в любой точке.

Касательная

Главнвя нормаль

Бинормаль