Разложение по формуле Тейлора функций

1. . В первую очередь найдём значенияпри

Подставляя эти значения в формулу (**) Маклорена, получим

, где .

Если , то взяв, получим оценку остаточного члена

При , получается формула, позволяющая найти приближённое значение числа:

Здесь ошибка не превосходит или.

Отметим, что для остаточный членпри.

Действительно

Т.к. - фиксированное число,. Введём обозначениеПри, и т.д., можно написать

Но естьconst, не зависящая от n, а при

Следовательно, и

Т.о. для мы можем вычислитьс любой степенью точности, взяв достаточно большоеn.

2.

Подставляя теперь эти значения в формулу Тейлора, получим

.

Т. к .

Применим полученную формулу для , положив.

Оценим теперь остаточный член:

Следовательно, ошибка меньше чем илис точностью до.

3..

,

(х – в радианах).

Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора.

Ранее мы показали, что если при может быть либоmax, либоmin, либо нет ни того, ни другого. Покажем, как в это случае может быть использована формула Тейлора.

Предположим, что при x=a

(1)

Пусть также f(x)имеет непрерывные производные до(n+1)-го порядка включительно в окрестностиx=a. Запишем дляf(x)формулу Тейлора, учитывая (1):

(2)

Т.к. непрерывна в окрестностиx=aи, что при. При этом, еслито и во всех точках интервалабудети еслии. Перепишем (2) в виде:

(2’)

и рассмотрим различные возможные случаи.

1. n– нечётное

а). Тогда в интервале, и т.к.. Т.к.чётное числои правая часть (2’) <0. Следовательно,точка максимума.

б) , т.к.точка минимума.

2. n– чётное

Тогда n+1– нечётное, иимеет разные знаки прии.

Если hдостаточно мало по модулю, то-я производная сохраняет знак во всех точках. Следовательно,имеет разные знаки прии, а это означает, что внет ни максимума, ни минимума.

Таким образом, если при имеем:, и первая не обращающаяся в 0 производнаяесть производная чётного порядка, то в

имеет максимум, еслии

имеет минимум, если.

Если же есть производная нечётного порядка, тоне имеет ни максимума, ни минимума при. При этом

убывает, если

возрастает, если.

Пример. , найти максимум, минимум.

1. Критические точки

, порядок чётный иминимум.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Рассмотри кривую , которая является графиком однозначной, дифференцируемой функции.

Определение 1. Будем говорить, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой касательной, проведенной к любой точке из этого интервала.

Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все её точки лежат выше любой её касательной на.

Кривая, обращённая выпуклостью вверх, называется выпуклой, а обращённая выпуклостью вниз – вогнутой.

В этом разделе мы установим признаки, которые позволяют судить о направлении выпуклости графика на различных интервалах определения.

Теорема 1. Если криваявыпукла на.

Доказательство. Пусть . Проведём касательную к графикув точке с абсциссой. Теорема будет доказана, если все точкибудут лежать ниже этой касательной. Т.е. ординатабудет меньше ординаты у касательной при одном и том же значении.

Как установлено ранее, уравнение касательной в точке имеет вид:

или

.

Нас интересует знак разности , которую можно записать в виде:

.

Применяя т. Лагранжа к разности мы можем записать:

(где С лежит между и), или

,

и к разности производных опять применим ту же теорему

, междуи.

Рассмотрим теперь случай . Тогда; т.к.ии по условию теоремы, т.е. Теорема 1 доказана.

Пусть теперь , тогда. В этом случаеи, но.

Таким образом мы доказали, что иордината касательной больше ординаты графика, а это означает, что кривая выпукла, Теорема 1 доказана.

Аналогично доказывается и Теорема 1’.

Теорема 1’. Если , то криваявогнута на.

Геометрическая интерпретация.

есть - угла наклона касательной в точке с абсциссой. ПоэтомуЕслиубывает при возрастании.

Если же возрастает при возрастании.

Пример: установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой.

- кривая выпукла.

- кривая вогнута.

Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба этой кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.

Сформулируем теперь достаточные условия того, что данная точка является точкой перегиба.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если, илине существует, и при переходе черезменяет знак, то точка кривой сесть точка перегиба.

Доказательство. 1) прии

при.

Тогда, при кривая выпукла, а при- вогнута. Следовательно,есть точка перегиба.

2. Пусть теперь приипри, тогда прикривая вогнута, а при- выпукла. Следовательно, точкаесть точка перегиба.

Пример.

(кривая Гаусса)

- нет точек перегиба

, но прине существует.