Доказательство.

1-я часть. Пусть f(x) на [a,b]. Придадим x приращение x и рассмотрим

т.к. f(x) 

f(x+x)>f(x), если x>0

f(x+x)<f(x), если x<0

Но в обоих случаях

и следовательно

, что и следовало доказать.

2-я часть. Пусть f(x)>0, x(a,b). Рассмотрим x₁ и x₂, x₁>x₂, x₁,x₂[a,b]. По теореме Лагранжа f(x₁)-f(x₂)= (x₁-x₂). По условию теоремы f()>0, x₁-x₂>0 и f(x₁)-f(x₂)>0  f(x) возрастает.

Аналогично формулируется теорема для убывающей функции:

Теорема. Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], убывает на этом отрезке, то f(x)0 на [a,b], то есть

f(x)0, x[a,b], если

2) Если f(x)непрерывна на[a,b]и дифференцируема в(a,b), причемf(x)<0, x(a,b),  f(x)убывает на[a,b].

Геометрический смысл. Если f(x), касательная к кривой образует острый угол  с ОХ, или в некоторых точках угол =0  касательная параллельна оси ОХ, так как tg0. Если f(x), угол  - тупой (или =180^о в отдельных точках  параллельна оси ОХ), так как tg=f(x)0.

Таким образом, теоремы позволяют судить о возрастании или убывании функций по знаку производных.

Пример. Определение области возрастание и убывания функции y=x⁴

y=4x³, x>0  y>0, x<0  y<0

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.

Экстремальные значения f(x) и расположение точек экстремума характеризуют, в некотором смысле, изменение функции в зависимости от изменения аргумента. Определения даны в п….

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума).

Если f(x) дифференцируема на (a,b) и при x=x₁ имеет max или min (x₁(a,b)), ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f(x₁)=0 . Эта теорема более слабая, чем теорема Ферма, так как требует дифференцируемости функции на (a,b), тогда как теорема Ферма – дифференцируемости только в точке x₁.

Доказательство проводится аналогично: Пусть x₁ - точка максимума, …

Замечание. Если f(x) определена на [a,b], то она может достигать max или min только на (a,b). Так как ее поведение при x<a или x>b неизвестно.

Геометрический смысл: в точках min и max касательная парллельна ОХ.

Следствие. Если f(x) дифференцируема при любом x, то она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная обращается в нуль. Обратное же, вообще говоря, неверно. То есть max или min не обязательно достигаются в точках, в которых f(x)=0.

Например. y=x³, при x=0 имеет y=3x², но при x>0  y>0, а при x<0, то есть y<0, т.е. y=x³ в x=0 не имеет ни минимума, ни максимума.

Рассмотрим теперь случай, когда f(x) в некоторых точках не имеет производной. На примерах покажем, что в этих точках может быть max, min, или не быть ни того, ни другого.

1). Пусть y=|x|. Эта функция не имеет производной в точке x=0, но данная функция имеет в этой точке min  y=0 при x=0, а для любого x0  y>0.

2). * не имеет производной приx=0, так как

В x=0 функция имеет max: f(0)=1 и f(x)<1 при x0.

3). , приx=0 не имеет y (), но в этой точке нет ни min, ни max, так как y(0)=0, x<0  y<0 и x>0, y>0.

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в 2-х случаях: либо в точках, где производная существует и равна 0, либо в точках, где f не существует (терпит разрыв).

Определение. Значения аргумента, при которых f(x)=0, или f(x) терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Из выше сказанного следует, что не при всяком критическом значении f(x) достигает min или max, но те точки, в которых достигается экстремум -критические.

Для нахождения экстремумов находят все критические точки, а затем исследуют любые из них. Исследование функции в таких точках опирается на следующие теоремы:

Теорема 2. (Достаточные условия существования экстремума). Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x₁(a,b) и дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой x₁. Если при переходе слева направо через производная меняет знак с + на -, то в x=x₁ функция достигает максимального значения, если же с - на + - минимум f(x).

Таким образом, если

Доказательство. Пусть f(x) изменяет знак с + на -, то есть рассмотрим случай a). Применим теорему Лагранжа:

f(x)-f(x₁)=f()(x-x₁), где (x,x₁)

1). Пусть далее x<x₁.  < x₁, f()>0, f()(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (*)

2). x>x₁.  > x₁, f()<0, f()(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (**)

Соотношения (*) и (**) показывают, что для любого x₁(a,b) f(x)<f(x₁)  f(x₁)=max f(x), x₁(a,b).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Геометрический смысл. Пусть x₁ достигается max f(x)  x< x₁, касательная к кривой образует острый угол , а при x< x₁,  - тупой. То есть до x₁ f(x) возрастает, а после x₁ f(x) убывает, таким образом в x₁ происходит переход от возрастания к убыванию.

Аналогично для минимума  f(x) убывает до x₁, а затем возрастает.

Если же f(x₃)=0, но и для x< x₃ и x< x₃ f(x) не изменяет знака  f(x) возрастает или убывает и до и после x₃ и экстремум не достигается.

y=x³, y=3x², y=f(x), при x=0, но при |x|>0 f(x)>0 - экстремума нет.

Дать рисунки для всех 3-х случаев.

Схема исследования дифференцируемой f(x) функции на экстремум с помощью первой производной.

1. Находится f(x).

2. Находятся критические x:

a) f(x)=0 и находятся действительные корни

Б) находятся x, при которых f(x) терпит разрыв.

3. Исследуется знак f(x) слева и справа от критической точки. Так как sign f(x)=const в интервале между критическими точками, то достаточно выбрать наиболее удобные для вычисления точки между критическими.

4. Вычисляются значения f(x) при любом критическом значении x.

В результате могут быть четыре возможных случая:

x<x1	x=x1	x>x1
+	f(x1)=0 или разрыв	-	max
-		+	min
+		+	f(x)
-		-	f(x)

Примеры: