Формула Лейбница

В заключение этого раздела приведем формулу Лейбница, которая позволяет вычислить производную или дифференциал n-го порядка от произведения 2-х функций.

y=uv

y=uv+vu

y=uv+2uv+vu

y=uv+3uv+3uv+vu

…..

Отсюда вытекает общее формальное правило:

Чтобы найти производную (дифференциал) от (uv)⁽ⁿ⁾ надо по формуле бинома Ньютона разложить n-ю степень суммы (u+v)ⁿ и затем заменить показатели степеней u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u⁰ и v⁰), входящие в крайние члены разложения заменить самими функциями u и v (то есть, «производными нулевого порядка»).

Для дифференциала n-го порядка справедлива формула

dⁿ(uv)=(uv)⁽ⁿ⁾dxⁿ

dy=vdu+udv

d²y=vd²u+2dudv+ud²v

d³y=vd³u+3d²udv+3dud²v +ud³v и т.п.

Применение производных к исследованию свойств функций.

Возрастание и убывание функций.

Экстремум.

Определение1. Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых x₁, x₂(a,b) большему из них соответствует и большее значение функции.

x₁(a,b), x₂(a,b), x₂>x₁  f(x₂)>f(x₁)

Определение 2. Функция y=f(x) называется убывающей на (a,b), если для любых x₁, x₂(a,b) большему x соответствует меньшее значение f(x).

x₁(a,b), x₂(a,b), x₂>x₁  f(x₂)<f(x₁)

Из этих определений следует, что для возрастающих функции sign(y)=sign(x), в силу чего их отношение положительно:

Для убывающей функции sign(y)=-sign(x) 

Если функция на переходит от возрастания к убыванию, или наоборот, ее называют колеблющейся на (a,b).

Значения x, при которых f(x) достигает своих наибольших или наименьших значений по сравнению с соседними, называют точками максимума и минимума.

Определение 3. x=x₀ - точка максимума f(x), а f(x₀) - максимум функции, если существует некоторая окрестность x₀ (т.е. x₀-, x₀+) такая, что значение функции в любой точке x₁(x₀-, x₀+) будет меньше , чем ее значение в x₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀)

f(x₀+x)<f(x₀) при любом |x|<

Аналогично определяются точки максимума и минимума функции

f(x₀+x)>f(x₀) при любом |x|<

Дать графические примеры.

Точки минимума и максимума объединяются под общим названием – точки экстремума (экстремальные точки), а минимум и максимум функции – экстремумы функции.

Экстремумы функции, определенные выше, часто называют строгими экстремумами, в отличие нестрогих

f(x₀+x)f(x₀) и f(x₀+x)f(x₀)

Из определения вытекает, что вне -окрестности x₀ значения f(x) могут быть любыми, по отношению к f(x₀).

Например за пределами (x₀-, x₀+), f(x+x)>f(x₀) – где x₀ - точка максимума, и аналогично f(x+x)<f(x₀), если x₀ - точка минимума f(x).

Таким образом понятия максимальной и минимальной функции носят локальный (местный) характер. Далее мы установим признаки возрастания и убывания функций и признаки экстремума функций, основанные на понятии производной.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ферма. Если f(x) непрерывна на (a,b) и в x₀(a,b) достигает максимума (минимума) и дифференцируема в x₀, то ее производная в этой точке равна 0:

f(x₀)=0

Доказательство. Допустим, что f(x₀) – максимум (минимум) функции. При достаточно малых x, точка x₀+x независимо от знака x.

1. Пусть x>0  , переходя к пределу при x+0 получим: , как предел неположительной величины.

b) x<0 

Так как для дифференцируемой в x₀ функции производная слева равна производной справа  f(x₀)=0, теорема доказана.

Аналогично проводится доказательство и для x₀ - точки минимума, и для случая строгих неравенств.

Геометрический смысл очевиден: касательная к графику f(x) в точке экстремума, в которой f(x) дифференцируема, параллельна оси OX.

рисунок

Теорема Ролля. Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), а на концах [a,b] принимает равные значения: f(a)=f(b)=c, то в промежутке (a,b) найдется точка x₀ (по крайней мере одна), в которой f(x₀)=0.

Доказательство. Рассмотрим случай f(x)c, x[a,b], удовлетворяющий условиям теоремы:  f(x)=(c)=0 для любых x₀.

Если же f(x)c будучи непрерывной на [a,b], она достигает своих наибольших и наименьших значений – M и m (см. свойства непрерывной функции). При этом возможны 3 случая:

a) f(a)=f(b)=m,  f(x) достигнет наибольшего M в x₀(a,b), то есть внутренней точке [a,b]. В точке x₀ функция дифференцируема и тогда по теореме Ферма  f(x₀)=0.

b) f(a)=f(b)=M,  f(x) достигнет минимума в некоторой x₀(a,b), и снова, по теореме Ферма  f(x₀)=0.

c) Пусть теперь f(x) такова, что f (x₀)=M и  f (x₀)=m, x₀,x₀(a,b),  f(x₀)=0 и f( x₀)=0 по теореме Ферма.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы Ролля на графике f(x) найдется хотя бы одна точка x₀, касательная в которой будет параллельна оси ОХ.

Нарушение хотя бы одного из условий ведет к нарушению вывода из теоремы.

Рисунок Рисунок Рисунок

В частном случае, когда f(a)=f(b)=0 теорема Ролля имеет очень полезное для приложений толкование: Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной, то есть эта точка может оказаться max или min.

Теорема Коши. Если f(x) и (x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем (x)0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:

(b)(a) т.к. (x) 0 на (a,b)  т.Ролля.

Доказательство. Введем вспомогательную F(x)=f(x)-(x), где =const. Выберем теперь  такое, чтобы F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Достаточно потребовать, чтобы F(a)=F(b). Другими словами:

F(a)-(a)=f(b)-(b) 

- конечное значение, т.к. (b)(a)

Тогда хотя бы в одной точке c(a,b) F(c)=0  

Теорема доказана.

Теорема Лагранжа (частный случай теоремы Коши). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b). Тогда конечное приращение f(x) на [a,b] равно произведению длины отрезка [a,b] на значение производной в некоторой внутренней точке (a,b):

f(a)-f(b)=f(c)(b-a)

Полагая в теореме Коши (x)=x получим: (b)-(a)=b-a, (x)1  (c)=1

Поэтому

(*) т.е.

f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа определяется формулой (*) . В ней левая часть есть угловой коэффициент хорды MN, соединяющей концы графической функции

РИСУНОК

Правая часть формулы – угловой коэффициент в точке P с абсциссой x=c(a,b)

f(c)=tg   tg =tg , то есть хорда и касательная параллельны.

Таким образом, на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Тот же геометрический смысл можно придать и теореме Коши, если рассматривать y=f(t) и x=(t) как параметрические уравнения кривой в плоскости XOY, а x считать параметром этой кривой.

Раскрытие неопределенностей.

Правило Бернулли-Лопиталя.

Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют нахождение предела , когдаf(x) непрерывна вблизи a, но не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в функцию x=a приводит к выражению неопределенного вида

, , 0, -, 1^,0^,⁰.

Опираясь на теорему Коши, выведем правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей, используя производные.

Основными видами неопределенностей являются две:

и ,

раскрытие которых сводится к нахождению предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин. Остальные виды сводятся к двум последним.

1. Рассмотрим неопределенность (приxa), требуется найти , когда и . Примем f(a)=(a)=0. Тогда f(x) и (x) будут непрерывными в x=a. Предположим также, что f(x) и (x) дифференцируемы вблизи x=a причем (a)0. В этом случае:

, (L - конечно или нет)

Доказательство. Применим к f(x) и (x) теорему Коши на отрезке [x₀,a), где x₀ окрестности a, в которой f и  непрерывны и дифференцируемы (может за исключением a). Тогда

В силу того, что f(a)=(a)=0 

, где c(x₀,a)

Если теперь x₀a,  и ca, поэтому

Теперь, если положить x₀=x, c=x 

то есть в данном случае правило Бернулли-Лопиталя выполняется.

Примеры:

2. Неопределенность (x). Докажем справедливость правила Бернулли-Лопиталя и в этом случае.

Итак требуется найти , еслии .

Предположим, что для достаточно больших x (|x|>M) обе функции дифференцируемы, (x)0 и что существует (конечный или бесконечный) .

Докажем, что

Доказательство. Перейдем к новому аргументу . Тогда, x  u0. Нетрудно видеть, что к отношению правило Бернулли-Лопиталя применимо: в окрестности u=0 f и  дифференцируемы, а и существует

Тогда, принимая правило Бернулли-Лопиталя, получим

Возвращаясь к x, получим:

Правило остается в силе при x+ или x-.

Пример. .

3. Неопределенность (xa). Пусть теперь нужно найти , если .

Как и в случае 1., пусть f и  дифференцируемы вблизи a, и (x)0.

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) , то

Доказательство. Пусть x₁ и x₂  окрестности x=a, и пусть x₁<x₂<a, если точки берутся слева от a, или x₁>x₂>a - если справа. Тогда на отрезке [x₁,x₂] или [x₂,x₁]) к отношению f(x) и (x) применима теорема Коши:

c[x₁,x₂]

Далее пусть

Зададим теперь >0 и найдем ()>0 такое, что при |x-a|<() 

(*)

Выберем теперь x так, чтобы |x₁-a|<() и зафиксируем его. Тогда, согласно условию выбора x₂  |x₂-a|<() и |c-a|<(), так как c[x₁,x₂]. Поэтому, в силу (*) будем иметь:

или

Заменяя в этом неравенстве отношение производных отношением конечных приращений функций, получим



(1)

Если теперь x₂a, не изменяя x₁, то, так как ,

другими словами при заданном , найдется ₁(), что при |x₂-a|<₁() 

или

1. 

Перемножая теперь почленно неравенства (1) и (2) (что возможно , так как все члены неравенства (2) положительны), получим

и

Другими словами разность между и постоянной A будет бесконечно малой величиной.

Следовательно и следовательно

(3)

Пусть теперь . Тогда f(x)0 в некоторой малой окрестности a (иначе не было бы бесконечно большой величиной). С другой стороны, а поэтому к обратному отношению применимо предыдущее правило:

Из последней формулы вытекает справедливость и формулы (3).

Пример.

4. Неопределенность (x). Правило применимо, если f(x) и (x) дифференцируемы при любом x, |x|<M, причем (x)0 и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .

Для доказательства достаточно перейти к новому * и использовать правило для случая 3.

Пример. .

Правило Бернулли-Лопиталя иногда приходится применять несколько раз, если появляется неопределенность в отношении . Для этого необходимо соблюдение условий применимости теоремы Коши к производной

.

Примеры 1) 3 раза правило Бернулли-Лопиталя

2) . n раз правило Бернулли-Лопиталя

Примение правила Лопиталя к раскрытию неоределенности

0, -, 1^,0^,⁰ покажем на примерах. Идея - эти неопределенности сводятся в виду или, а в последних 3-х случаях с применением логарифмирования.

Пример 1.

Представим в виде: (x^k – бесконечно малая величина,  - бесконечно большая величина)  . x0

Пример 2.  -, но

, применяя правило Лопиталя, получим:

Пример 3.

Пример 4.

Правило Лопиталя не применимо, если не существует . Однако это еще не означает, что не существует. Просто в этом случае правило Лопиталя нельзя использовать.

Пример. , тогда как .

Признаки возрастания и убывания функций.

Определения возрастания и убывания функций было дано ранее.

Теорема 1) Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то f(x) неотрицательна на [a,b], то есть

f(x)0, x[a,b], если f(x),

2) Если f(x)непрерывна на[a,b]и дифференцируема в(a,b), причемf(x)>0, x(a,b),  f(x)возрастает на[a,b].