Дифференциал сложной функции равен производной этой функции по

промежуточному аргументу, умноженной на дифференциал

этого аргумента.

Доказательство. Пусть y=f(u) и u=(x), тогда

dy=y_udu

По правилу дифференцирования сложной функции

y=y_uu_x и dy=y_uu_xdx, но

u_xdx=du 

dy=y_udu

Это свойство дифференциала называют инвариантностью, то есть неизменностью формы записи дифференциала для простой и сложной функций.

Благодаря этому свойству формулы дифференцирования основных функций оказываются одними и теми же как для простых, так и для сложных функций.

Сводка правил и формул нахождения дифференциалов.

Правила

1. dc=0

2. d(u+v)=du+dv

3. d(uv)=dudv

4. d(cu)=cdu

5.

Формулы

1. d(a^u)=a^ulnadu; de^u=e^udu

2.

3. d(u^m)=mu^m-1du

4. d(sin u)=cos udu; d(cos u)=-sin udu;

5. 

6. 

7. 

Для получения этих формул достаточно было умножить равенства в формулах дифференцирования на dx и заменить udx и vdx на du и dv.

Из формулы для нахождения дифференциала следует, что

Поэтому этот символ используют наряду с y и f(x).

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть задана любая дифференцируемая f(x). y=f(x) есть также функция x. Поэтому можно ставить вопрос об отыскании производной и от этой функции.

Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной и обозначают символом y=f(x).

Таким образом (y)=y=f(x).

В связи с этим y=f(x) в дальнейшем будем называть производной первого порядка или первой производной.

Вторая производная имеет простой механический смысл. Если задан закон прямолинейного движения материальной точки S=f(t)  v=S=f(t)

- есть мгновенная скорость движения.

Вторая же производная от пути по времени, как производная от скорости, есть скорость изменения скорости движения, то есть ускорение

=v=S=f(t).

Аналогично можно ввести производные более высоких порядков: y- производная 3-го порядка, y^(IV) - 4-го и так далее.

Вообще говоря производной порядка n+1 от f(x) называют производную от производной n-го порядка для f(x):

(y⁽ⁿ⁾)=y⁽ⁿ⁺¹⁾= f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

В силу принятого определения производная mпорядка от производнойn порядка равна производнойn+mпорядка (при условии существования всех производных):

(y⁽ⁿ⁾) ^(m)=y^(n+m)= f^(n+m)(x)

Примеры.

1. y=e^kx  y⁽ⁿ⁾=kⁿe^kx

2. y=sin x, y=cos x=sin(x+/2)  y=(sin(x+/2))= sin(x+/2+/2) … y⁽ⁿ⁾=sin(x+n/2)

Аналогично, (cos x)⁽ⁿ⁾=cos(x+n/2)

3. 

4. y=xⁿ, nN,  y⁽ⁿ⁾=n!

В При дифференцировании неявно заданных функций F(x,y) мы установили, что

y=Ф(x,y)

Так как y=(y)  y= Ф(x,y(x)), то есть нужно взять производную от Ф по x, считая y=y(x). В результате мы получим

y=(x,y,y)=(x,y,Ф(x,y))=(x,y),

то есть опять y будет функцией только x и y. Этот процесс, при условии существования всех производных, может быть продолжен.

С Пусть теперь функция задана параметрически:

y=(y), x=(t) 

Так как y_xx=(y_x)_x, то вопрос сводится к отысканию производной по x от y_x=F(t), когда x=(t), то есть опять от функции, заданной параметрически: Применяя правило вторично, получим

Для отыскания производных 3-го и более высших порядков поступают аналогично:

Пример. x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), y=?, y=?.

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалы высших порядков определяются аналогично производным высших порядков.

Определение. Дифференциалом 2-го порядка (d²y) от f(x) называют дифференциал от ее дифференциала:

d²y=d(dy)

Найдем его выражение через производную. Так как dy=ydx  (dx не зависит от x и следовательно dx есть постоянная относительно x и (dx)=0)

d²y=d(dy)=d(ydx)=(ydx)dx=(y)dxdx=y dx².

Таким образом второй дифференциал от f(x) есть произведение f(x) на квадрат dx - dx²

d²y=ydx²

Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков.

d⁽ⁿ⁺¹⁾y=d(dⁿy)

Методом индукции можно доказать, что

d⁽ⁿ⁾y= y⁽ⁿ⁾(dxⁿ) 

Последнее обозначение эквивалентно y⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x) и тому подобному.

Дифференциалы, начиная со 2-го порядка, не обладают свойством инвариантности. Пусть y=f(u) и u=(x)  dy=y_udu

Так как u=(x)  du=u_xdx есть также функция x 

d²y=d(y_u)=d(y_u)du+y_ud(du)=y_udu²+y_ud²u

Таким образом в выражении d²y появляется дополнительное слагаемое.