65. a) lim |
1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
lµ : |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
(A) |
2 ; |
|
|
(B) 0 ; |
(C) 1 ; |
(D) |
1 . |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
b)Tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n
1 , 1 , 1 ,..., 1 n ,...
2 4 8 2n
lµ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A) |
1 |
; |
(B) |
1 |
; |
(C) 1 ; |
(D) |
1 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
c) Sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn 0,5111… ®−îc biÓu diÔn bëi ph©n sè
|
(A) |
|
6 |
; |
(B) |
46 |
; |
(C) |
43 |
; |
(D) |
47 |
|
|
11 |
90 |
90 |
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66. a) Trong bèn giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ 1 ?
(A) lim |
2n 3 |
|
|
|
|
n2 n3 |
|
|
2 3n |
; |
|
|
(B) lim |
|
2n3 1 ; |
|
|
|
n2 |
n |
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
(C) lim |
|
|
|
; |
|
(D) lim |
|
|
|
|
|
|
2n n2 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
b) Trong bèn giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ + ? |
|
|
|
|
(A) lim |
n2 3n 2 |
; |
(B) lim |
n3 |
2n 1 |
; |
n2 n |
|
|
n |
2n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(C) lim |
2n2 |
3n |
; |
|
(D) lim |
|
n2 |
n 1 |
|
|
n3 |
3n |
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c) Trong bèn giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ 0 ?
(A) lim |
|
2n 1 |
|
|
2n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
(B) lim |
|
|
n ; |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
1 2 |
|
|
|
3.2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
(C) lim |
|
1 n3 |
|
; |
|
(D) lim |
(2n 1)(n 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2n3 |
|
n2 2n |
|
|
|
|
67. H·y chän kÕt qu¶ ®óng trong c¸c kÕt qu¶ sau ®©y :
a) |
lim |
x2 |
3 |
lµ |
|
|
|
|
x3 |
2 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
(A) |
2 ; |
|
|
(B) 1 ; |
(C) 2 ; |
(D) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
d) |
lim |
|
|
|
|
|
x2 x |
|
lµ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A) |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
(B) |
2 |
; |
(C) |
1 ; |
|
|
|
|
|
(D) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70. a) Trong bèn giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ 1 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A) |
lim |
2x2 x 1 |
; |
(B) |
lim |
|
|
|
2x 3 |
; |
|
|
3x x2 |
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
(C) |
lim |
|
x3 x2 3 |
; |
(D) |
lim |
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
5x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
b) Trong bèn giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A) |
lim |
|
x 1 |
|
; |
|
|
|
|
(B) |
lim |
2x 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 10 |
|
|
|
|
|
x 1 x3 1 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
(C) |
lim |
|
|
|
|
x2 1 |
; |
|
(D) |
lim |
|
|
|
|
x2 1 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 3x 2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
c) Trong bèn giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo kh«ng tån t¹i ? |
|
|
|
(A) |
lim |
2x 1 ; |
|
|
|
(B) |
lim |
cos x ; |
|
|
|
|
|
|
x x2 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C) |
lim |
|
|
x |
; |
|
|
|
|
(D) |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71.T×m kh¼ng ®Þnh ®óng trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau : Hµm sè
x2 |
víi x 1, x 0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
f(x) = |
0 |
|
víi x 0 |
|
|
x |
víi x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A)Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ c¸c ®iÓm x thuéc ®o¹n [0 ; 1].
(B)Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc .
(C)Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ ®iÓm x = 0.
(D)Liªn tôc t¹i mäi ®iÓm trõ ®iÓm x = 1.
§ 1 Kh¸i niÖm ®¹o hμm
1. VÝ dô më ®Çu
Tõ vÞ trÝ O (ë mét ®é cao nhÊt ®Þnh nµo ®ã), ta th¶ mét viªn bi cho r¬i tù do xuèng ®Êt vµ nghiªn cøu chuyÓn ®éng cña viªn bi. Trong VËt lÝ 10 ta ®· biÕt : NÕu chän trôc Oy theo ph−¬ng th¼ng ®øng, chiÒu d−¬ng h−íng xuèng ®Êt, gèc O lµ vÞ trÝ ban ®Çu cña viªn bi (t¹i thêi ®iÓm t = 0) vµ bá qua søc c¶n cña kh«ng khÝ th× ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña viªn bi lµ
y = f(t) = 12 gt2 (g lµ gia tèc r¬i tù do, g 9,8 m/s2).
Gi¶ sö t¹i thêi ®iÓm t0, viªn bi ë vÞ trÝ M0 cã to¹ ®é y0 = f(t0) ; t¹i thêi ®iÓm t1 (t1 > t0), viªn bi ë vÞ trÝ M1 cã to¹ ®é y1 = f(t1). Khi ®ã, trong kho¶ng thêi
gian tõ t0 ®Õn t1, qu·ng ®−êng viªn bi ®i ®−îc lµ M0M1 = f(t1) f(t0) (h.5.1). VËy vËn tèc trung b×nh cña viªn bi trong kho¶ng thêi gian ®ã lµ
f (t1) f (t0 ) |
. |
(1) |
|
t1 t0 |
|
NÕu t1 t0 cµng nhá th× tØ sè (1) cµng ph¶n ¸nh chÝnh x¸c h¬n sù nhanh chËm cña viªn bi t¹i thêi ®iÓm t0. Tõ ®ã, ng−êi ta xem giíi h¹n cña tØ
sè |
f (t1) f (t0 ) |
khi t1 dÇn ®Õn t0 lµ vËn tèc tøc |
|
|
t1 t0 |
thêi t¹i thêi ®iÓm t0 cña viªn bi, kÝ hiÖu lµ v(t0). Nãi c¸ch kh¸c,
|
|
|
|
|
|
|
|
v(t0) = lim |
|
f (t1) f (t0 ) |
|
|
|
|
t1 t0 |
|
t1 t0 |
|
|
|
NhiÒu vÊn ®Ò cña to¸n häc, vËt lÝ, ho¸ häc, sinh |
|
häc, ... dÉn ®Õn bµi to¸n t×m giíi h¹n |
|
|
lim |
|
f (x) f (x0 ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
trong ®ã y = f(x) lµ hµm sè nµo ®ã. |
|
H×nh 5.1 |
Trong to¸n häc, ng−êi ta gäi giíi h¹n ®ã, nÕu cã vµ h÷u h¹n, lµ ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0.
2. §¹o hµm cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
a) Kh¸i niÖm ®¹o hµm cña hµm sè t¹i mét ®iÓm
Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a ; b) vµ ®iÓm x0 thuéc kho¶ng ®ã.
|
§Þnh nghÜa |
|
|
|
Giíi h¹n h÷u h¹n (nÕu cã) cña tØ sè |
f (x) f (x0 ) |
khi x dÇn |
|
x x0 |
|
|
|
®Õn x0 ®−îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè ®· cho t¹i ®iÓm x0, kÝ hiÖu lµ f '(x0) hoÆc y'(x0), nghÜa lµ
f '(x ) = |
lim |
f (x) f (x0 ) |
. |
|
0 |
x x0 |
x x0 |
|
Trong ®Þnh nghÜa trªn, nÕu ®Æt x = x x0 vµ y = f(x0 + x) f(x0) th× ta cã
f '(x ) = |
lim |
f (x0 x) f (x0 ) |
|
lim y |
(2) |
|
0 |
x 0 |
x |
|
x 0 x |
|
|
|
|
Chó ý
1) Sè x = x x0 ®−îc gäi lµ sè gia cña biÕn sè t¹i ®iÓm x0 ; sè
y = f(x0 + x) f(x0) ®−îc gäi lµ sè gia cña hµm sè øng víi sè giax t¹i ®iÓm x0.
2)Sè x kh«ng nhÊt thiÕt chØ mang dÊu d−¬ng.
3)x vµ y lµ nh÷ng kÝ hiÖu, kh«ng nªn nhÇm lÉn r»ng : x lµ tÝch cña víi x, y lµ tÝch cña víi y.
H1 TÝnh sè gia cña hμm sè y = x2 øng víi sè gia x cña biÕn sè t¹i ®iÓm x0 = 2.
b) Quy t¾c tÝnh ®¹o hµm theo ®Þnh nghÜa
Ta cã quy t¾c tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = f(x) theo ®Þnh nghÜa nh− sau :
Quy t¾c
Muèn tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè f t¹i ®iÓm x0 theo ®Þnh nghÜa, ta thùc hiÖn hai b−íc sau :
B−íc 1. TÝnh y theo c«ng thøc y = f(x0 + x) f(x0), trong ®ã x lµ sè gia cña biÕn sè t¹i x0
B−íc 2. T×m giíi h¹n lim y
x 0 x
Trong quy t¾c trªn vµ ®èi víi mçi hµm sè ®−îc xÐt sau ®©y, ta lu«n hiÓu y lµ sè gia cña hµm sè øng víi sè gia x ®· cho cña biÕn sè t¹i ®iÓm ®ang xÐt.
VÝ dô 1. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè y = x2 t¹i ®iÓm x0 = 2. Gi¶i. §Æt f(x) = x2, ta thùc hiÖn quy t¾c trªn nh− sau :
TÝnh y
y = f(x0 +
T×m giíi h¹n
lim
x 0
VËy f '(2) = 4.
x) f(x0) = (2 + x)2 22 = x(4 + x).
y = lim (4 x) = 4.
x x 0
NhËn xÐt
NÕu hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 th× nã liªn tôc t¹i ®iÓm x0.
ThËt vËy, gi¶ sö hµm sè f cã ®¹o hµm f '(x0), tøc lµ lim y = f '(x0).
x 0 x
Ta cã |
|
|
|
|
|
lim y = |
lim y x = lim y |
lim x = f '(x ). 0 = 0. |
x 0 |
|
x 0 x |
x 0 x |
x 0 |
0 |
|
|
Do ®ã lim |
f (x) f (x0 ) = |
lim y = 0. §iÒu nµy chøng tá |
x x |
|
|
x 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
lim f (x) f (x0 ) .
x x0
Tõ ®ã suy ra r»ng hµm sè f liªn tôc t¹i ®iÓm x0.
3. ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm
Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ (C), |
|
mét ®iÓm M0 cè ®Þnh thuéc (C) cã |
|
hoµnh ®é x0. Víi mçi ®iÓm M |
|
thuéc (C) kh¸c M0, ta kÝ hiÖu xM lµ |
|
hoµnh ®é cña nã vµ kM lµ hÖ sè gãc |
|
cña c¸t tuyÕn M0M. Gi¶ sö tån t¹i |
|
giíi h¹n h÷u h¹n k |
|
lim k |
. |
|
0 |
x |
M |
x M |
|
|
|
|
0 |
|
|
Khi ®ã, ta coi ®−êng th¼ng M0T ®i |
H×nh 5.2 |
qua M0 vµ cã hÖ sè gãc k0 lµ vÞ trÝ giíi h¹n cña c¸t tuyÕn M0M khi M di chuyÓn däc theo (C) dÇn ®Õn M0.
§−êng th¼ng M0T ®−îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm M0, cßn M0 gäi lµ tiÕp ®iÓm.
B©y giê gi¶ sö hµm sè f cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0. |
|
|
|
|
|
|
|
Chó ý r»ng t¹i mçi vÞ trÝ cña M trªn (C), ta lu«n cã kM |
|
|
f (xM ) f (x0 ) |
(h. 5.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
xM x0 |
V× hµm sè f cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 nªn |
|
|
|
|
|
|
|
f '(x ) lim |
f (xM ) f (x0 ) |
|
|
lim k |
M |
k . |
|
|
0 |
xM x0 |
xM x0 |
|
xM x0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Tõ ®ã ta cã thÓ ph¸t biÓu ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm nh− sau :
§¹o hµm cña hµm sè y = f(x) t¹i ®iÓm x0 lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè ®ã t¹i ®iÓm M0(x0 ; f(x0)).
Ghi nhí
NÕu hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 th× tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm M0(x0 ; f(x0)) cã ph−¬ng tr×nh lµ
y = f '(x0)(x x0) + f(x0).
VÝ dô 2. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè y = x3 t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x0 = 1.
Gi¶i
Tr−íc hÕt ta tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè f(x) = x3 t¹i x0 = 1.
TÝnh y
y = f(x0 + x) f(x0) = ( 1 + x)3 ( 1)3 = x (3 3 x + x2). TÝnh giíi h¹n
lim |
y = |
lim 3 3 x x2 |
= 3. |
x 0 |
x |
x 0 |
|
VËy f '( 1) = 3. |
|
|
|
Ngoµi ra, ta cã f (x ) = ( 1)3 |
= 1 nªn ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ |
0 |
|
|
|
y = 3(x + 1) 1, hay y = 3x + 2. |
|
H2 Dùa vμo kÕt qu¶ cña vÝ dô 1, h·y viÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hμm
sè y = x2 t¹i ®iÓm M0 (2 ; 4) .
4. ý nghÜa c¬ häc cña ®¹o hµm
XÐt sù chuyÓn ®éng cña mét chÊt ®iÓm. Gi¶ sö qu·ng ®−êng s ®i ®−îc cña nã lµ mét hµm sè s = s(t) cña thêi gian t (s = s(t) cßn gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm).
T−¬ng tù nh− vÝ dô më ®Çu, khi t cµng nhá (kh¸c 0) th× tØ sè
s(t0 t) s(t0 )
t
cµng ph¶n ¸nh chÝnh x¸c ®é nhanh chËm cña chuyÓn ®éng t¹i thêi ®iÓm t0. Ng−êi ta gäi giíi h¹n h÷u h¹n
v(t0) = lim s(t0 t) s(t0 )
t 0 t
(nÕu cã) lµ vËn tèc tøc thêi cña chuyÓn ®éng t¹i thêi ®iÓm t0. Tõ ®ã, ta cã thÓ ph¸t biÓu ý nghÜa c¬ häc cña ®¹o hµm nh− sau :
VËn tèc tøc thêi v(t0) t¹i thêi ®iÓm t0 (hay vËn tèc t¹i t0) cña mét chuyÓn ®éng cã ph−¬ng tr×nh s = s(t) b»ng ®¹o hµm cña hµm sè
s = s(t) t¹i ®iÓm t0, tøc lµ v(t0) = s'(t0).
t t0
lim
Ch¼ng h¹n, trong vÝ dô më ®Çu, ta cã
f(t) f(t |
) = |
1 g t2 |
t2 |
|
0 |
|
2 |
0 |
|
= 12 g t t0 t t0 .
Do ®ã ®¹o hµm cña hµm sè y = f(t) lµ
f '(t0) = f (t) f (t0 ) t t0
= lim |
1 g t t0 = gt0 . |
t t |
2 |
0 |
|
VËy vËn tèc cña viªn bi t¹i t0 lµ v(t0) = f '(t0) = gt0 .
H3 Mét chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cã ph−¬ng tr×nh s = t2 (t tÝnh b»ng gi©y, s tÝnh b»ng mÐt). VËn tèc cña chÊt ®iÓm t¹i thêi ®iÓm t0 = 2 (gi©y) b»ng :
(A) 2 m/s ; (B) 3 m/s ; (C) 4 m/s ; (D) 5 m/s. Chän kÕt qu¶ ®óng trong c¸c kÕt qu¶ trªn.
5. §¹o hµm cña hµm sè trªn mét kho¶ng
a) Kh¸i niÖm
Cho hµm sè f x¸c ®Þnh trªn tËp J, trong ®ã J lµ mét kho¶ng hoÆc lµ hîp cña nh÷ng kho¶ng nµo ®ã. Ta cã ®Þnh nghÜa sau ®©y.
§Þnh nghÜa
1)Hµm sè f gäi lµ cã ®¹o hµm trªn J nÕu nã cã ®¹o hµm f '(x) t¹i mäi ®iÓm x thuéc J.
2)NÕu hµm sè f cã ®¹o hµm trªn J th× hµm sè f ' x¸c ®Þnh bëi
f ' : J gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè f.
x f '(x)
§¹o hµm cña hµm sè y = f(x) còng ®−îc kÝ hiÖu bëi y'. VÝ dô 3. T×m ®¹o hµm cña hµm sè y = x3 trªn kho¶ng ( ; + ).
Gi¶i
Víi mäi x thuéc kho¶ng ( ; + ) ta cã :
y = (x + x)3 x3 = x (3x2 + 3x. x + x2) ;
