Do ®ã, theo ®Þnh lÝ 2, ta ®−îc : 24 = u3 = u1.22. Suy ra u1 = 6. V× thÕ, theo ®Þnh lÝ 3, ta ®−îc
S |
5 |
= |
6.(1 25) |
= 186. |
|
||
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
§è vui. "Mét hµo ®æi lÊy n¨m xu ?"
T−¬ng truyÒn, vµo mét ngµy nä, cã mét nhµ to¸n häc ®Õn gÆp mét nhµ tØ phó vµ ®Ò nghÞ ®−îc "b¸n" tiÒn cho «ng ta theo thÓ thøc sau : Liªn tôc trong 30 ngµy, mçi ngµy nhµ to¸n häc "b¸n" cho nhµ tØ phó 10 triÖu ®ång víi gi¸ 1 ®ång ë ngµy ®Çu tiªn vµ kÓ tõ ngµy thø hai, mçi ngµy nhµ tØ phó ph¶i "mua" víi gi¸ gÊp ®«i gi¸ cña ngµy h«m tr−íc. Kh«ng mét chót ®¾n ®o, nhµ tØ phó ®ång ý ngay tøc th×, lßng thÇm c¶m ¬n nhµ to¸n häc nä ®· mang l¹i cho «ng ta mét c¬ héi hèt tiÒn "n»m m¬ còng kh«ng thÊy".
Hái nhµ tØ phó ®· l·i ®−îc bao nhiªu trong cuéc "mua – b¸n" k× l¹ nµy ?
C©u hái vμ bμi tËp
29.Trong c¸c d·y sè d−íi ®©y, d·y sè nµo lµ cÊp sè nh©n ? H·y x¸c ®Þnh c«ng béi cña cÊp sè nh©n ®ã.
a)D·y sè 1, –2, 4, –8, 16, –32, 64 ;
b) |
D·y sè (un) víi |
un = n.6n + 1 ; |
|
||
c) |
D·y sè (v ) víi |
v |
n |
= (–1)n.32n |
; |
|
n |
|
|
|
|
d) |
D·y sè (xn) víi |
xn = (–4)2n + 1. |
|||
30. Trong mçi c©u sau, h·y ®¸nh dÊu " " vµo phÇn kÕt luËn mµ em cho lµ ®óng :
a) Mçi cÊp sè nh©n cã sè h¹ng ®Çu d−¬ng vµ c«ng béi 0 < q < 1, lµ mét d·y sè
T¨ng. |
Gi¶m. |
Kh«ng t¨ng còng kh«ng gi¶m. |
b) Mçi cÊp sè nh©n cã sè h¹ng ®Çu d−¬ng vµ c«ng béi q > 1 lµ mét d·y sè
T¨ng. |
Gi¶m. |
Kh«ng t¨ng còng kh«ng gi¶m. |
120
31.Cho cÊp sè nh©n (un) cã c«ng béi q < 0. BiÕt u2 = 4 vµ u4 = 9, h·y t×m u1.
32.Mét cÊp sè nh©n cã n¨m sè h¹ng mµ hai sè h¹ng ®Çu tiªn lµ nh÷ng sè d−¬ng, tÝch cña sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng thø ba b»ng 1, tÝch cña sè h¹ng thø ba vµ sè
h¹ng cuèi b»ng 161 . H·y t×m cÊp sè nh©n ®ã.
33.Cho cÊp sè nh©n (un) víi c«ng béi q 0 vµ u1 0. Cho c¸c sè nguyªn d−¬ng m vµ k, víi m k. Chøng minh r»ng um = uk . qm – k.
¸p dông
a)T×m c«ng béi q cña cÊp sè nh©n (un) cã u4 = 2 vµ u7 = – 686.
b)Hái cã tån t¹i hay kh«ng mét cÊp sè nh©n (un) mµ u2 = 5 vµ u22 = – 2000 ?
34.H·y t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè nh©n (un), biÕt r»ng u3 = – 5 vµ u6 = 135.
35.Chu k× b¸n r· cña nguyªn tè phãng x¹ poloni 210 lµ 138 ngµy (nghÜa lµ sau 138 ngµy khèi l−îng cña nguyªn tè ®ã chØ cßn mét nöa). TÝnh (chÝnh x¸c ®Õn hµng phÇn tr¨m) khèi l−îng cßn l¹i cña 20 gam poloni 210 sau 7314 ngµy (kho¶ng 20 n¨m).
36.TÝnh c¸c tæng sau :
a)Tæng tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña mét cÊp sè nh©n, biÕt r»ng sè h¹ng ®Çu b»ng 18, sè h¹ng thø hai b»ng 54 vµ sè h¹ng cuèi b»ng 39 366 ;
b)Tæng tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña mét cÊp sè nh©n, biÕt r»ng sè h¹ng ®Çu b»ng
1 |
, sè h¹ng thø hai b»ng |
1 |
vµ sè h¹ng cuèi b»ng |
|
1 |
|
|
256 |
512 |
1 048 576 |
|||||
|
|
|
|||||
37.Bèn gãc l−îng gi¸c cã sè ®o d−¬ng lËp thµnh mét cÊp sè nh©n cã tæng lµ 360o. H·y t×m bèn gãc ®ã, biÕt r»ng sè ®o cña gãc lín nhÊt gÊp 8 lÇn sè ®o cña gãc nhá nhÊt.
LuyÖn tËp
38.H·y chän nh÷ng kh¼ng ®Þnh ®óng trong c¸c kh¼ng ®Þnh d−íi ®©y :
a)NÕu c¸c sè thùc a, b, c mµ abc 0, theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè
céng víi c«ng sai kh¸c 0 th× c¸c sè |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
theo thø tù ®ã còng lËp thµnh |
mét cÊp sè céng. |
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
121
b) NÕu c¸c sè thùc a, b, c mµ abc 0, theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè nh©n th× c¸c sè 1a , 1b , 1c theo thø tù ®ã còng lËp thµnh mét cÊp sè nh©n.
c)1 + + 2 + ... + 100 = 100 1
1
39.C¸c sè x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè céng ; ®ång thêi, c¸c sè x – 1, y + 2, x – 3y theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè nh©n. H·y t×m x vµ y.
40.Cho cÊp sè céng (un) víi c«ng sai kh¸c 0. BiÕt r»ng c¸c sè u1u2, u2u3 vµ u3u1 theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè nh©n víi c«ng béi q 0. H·y t×m q.
41.Sè h¹ng thø hai, sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng thø ba cña mét cÊp sè céng víi c«ng sai kh¸c 0 theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè nh©n. H·y t×m c«ng béi cña cÊp sè nh©n ®ã.
42.H·y t×m ba sè h¹ng ®Çu tiªn cña mét cÊp sè nh©n, biÕt r»ng tæng cña chóng
b»ng 1489 vµ ®ång thêi c¸c sè h¹ng ®ã t−¬ng øng lµ sè h¹ng ®Çu, sè h¹ng thø t− vµ sè h¹ng thø t¸m cña mét cÊp sè céng.
43. Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi
u1 = 1 vµ un + 1 = 5un + 8 víi mäi n 1.
a)Chøng minh r»ng d·y sè (vn), víi vn = un + 2, lµ mét cÊp sè nh©n. H·y t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè nh©n ®ã.
b)Dùa vµo kÕt qu¶ phÇn a), h·y t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè (un).
C©u hái vμ bμi tËp «n tËp ch−¬ng III
44. Chøng minh r»ng
1.2 |
2 |
2 |
+ ... + (n – 1).n |
2 |
|
n(n2 |
1)(3n 2) |
|
+ 2.3 |
|
= |
|
|
||
|
|
|
12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
víi mäi sè nguyªn n 2.
122
45. Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi
u |
1 |
= 2 vµ |
u un 1 |
1 |
víi mäi n 2. |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Chøng minh r»ng
un 2n 1 1 2n 1
víi mäi sè nguyªn d−¬ng n.
46. Cho c¸c d·y sè (u |
) vµ (v ) víi |
u |
n2 |
1 |
vµ v |
2n |
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
n |
n |
n |
1 |
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
a)H·y x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè (an) víi an = un + vn.
b)H·y x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè (bn) víi bn = un – vn.
c)H·y x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè (cn) víi cn = un.vn.
d) H·y x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè (d |
) víi |
d un |
|
|
n |
|
n |
vn |
|
|
|
|
|
|
Chó ý |
|
|
|
|
C¸c d·y sè (an), (bn), (cn) vµ (dn) nªu trªn th−êng ®−îc kÝ hiÖu t−¬ng øng bëi
(u |
+ v |
n |
), (u – v |
n |
), (u |
n |
.v ) vµ |
un . |
n |
|
n |
|
n |
v |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
47. Trong c¸c d·y sè d−íi ®©y, d·y sè nµo lµ cÊp sè céng, d·y sè nµo lµ cÊp sè nh©n ? H·y x¸c ®Þnh c«ng sai hoÆc c«ng béi cña mçi cÊp sè ®ã.
a) |
D·y sè (un) víi |
un = 8n + 3 ; |
b) D·y sè (un) víi |
un = n2 + n + 1 ; |
|
c) |
D·y sè (un) víi |
un = 3.8n ; |
d) |
D·y sè (un) víi |
un = (n + 2).3n. |
48. H·y chän nh÷ng kh¼ng ®Þnh ®óng trong c¸c kh¼ng ®Þnh d−íi ®©y : a) D·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi
u1 = 3 vµ un+1 = un + 5 víi mäi n 1, lµ mét cÊp sè céng.
123
b) |
D·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi |
|
|
u1 = 3 vµ un+1 = un + n víi mäi n 1, |
|
lµ mét cÊp sè céng. |
|
|
c) |
D·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi |
|
|
u1 = 4 vµ un+1 = 5un |
víi mäi n 1, |
lµ mét cÊp sè nh©n. |
|
|
d) |
D·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi |
|
|
u1 = 1 vµ un+1 = nun |
víi mäi n 1, |
lµ mét cÊp sè nh©n. |
|
|
49.Cho d·y h×nh vu«ng H1, H2, … , Hn,… Víi mçi sè nguyªn d−¬ng n, gäi un, pn vµ Sn lÇn l−ît lµ ®é dµi c¹nh, chu vi vµ diÖn tÝch cña h×nh vu«ng Hn.
a)Gi¶ sö d·y sè (un) lµ mét cÊp sè céng víi c«ng sai kh¸c 0. Hái khi ®ã c¸c d·y sè (pn) vµ (Sn) cã ph¶i lµ c¸c cÊp sè céng hay kh«ng ? V× sao ?
b)Gi¶ sö d·y sè (un) lµ mét cÊp sè nh©n víi c«ng béi d−¬ng. Hái khi ®ã c¸c d·y sè (pn) vµ (Sn) cã ph¶i lµ c¸c cÊp sè nh©n hay kh«ng ? V× sao ?
50.Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi
u1 = 3 vµ un 1 |
|
un 6 |
víi mäi n 1. |
Chøng minh r»ng (un) võa lµ cÊp sè céng, võa lµ cÊp sè nh©n.
51.T×m hiÓu tiÒn c«ng khoan giÕng ë hai c¬ së khoan giÕng, ng−êi ta ®−îc biÕt :
ë C¬ së A : Gi¸ cña mÐt khoan ®Çu tiªn lµ 8 000 ®ång vµ kÓ tõ mÐt khoan thø hai, gi¸ cña mçi mÐt sau t¨ng thªm 500 ®ång so víi gi¸ cña mÐt khoan ngay tr−íc nã.
ë C¬ së B : Gi¸ cña mÐt khoan ®Çu tiªn lµ 6 000 ®ång vµ kÓ tõ mÐt khoan thø hai, gi¸ cña mçi mÐt sau t¨ng thªm 7% gi¸ cña mÐt khoan ngay tr−íc nã.
Víi mçi sè nguyªn d−¬ng n, kÝ hiÖu un vµ vn t−¬ng øng lµ gi¸ cña mÐt khoan thø n theo c¸ch tÝnh gi¸ cña c¬ së A vµ cña c¬ së B.
a)H·y tÝnh u2, u3, v2, v3.
b)Chøng minh r»ng d·y sè (un) lµ mét cÊp sè céng vµ d·y sè (vn) lµ mét cÊp sè nh©n. H·y t×m sè h¹ng tæng qu¸t cña mçi d·y sè ®ã.
124
c)Mét ng−êi muèn chän mét trong hai c¬ së nãi trªn ®Ó thuª khoan mét giÕng s©u 20 mÐt lÊy n−íc dïng cho sinh ho¹t cña gia ®×nh. Hái ng−êi Êy nªn chän c¬ së nµo, nÕu chÊt l−îng còng nh− thêi gian khoan giÕng cña hai c¬ së lµ nh− nhau ?
d)Còng c©u hái nh− phÇn c), víi gi¶ thiÕt ®é s©u cña giÕng cÇn khoan lµ 25 mÐt.
Bμi tËp tr¾c nghiÖm kh¸ch quan
52. Mçi kh¼ng ®Þnh sau ®©y ®óng hay sai
a) Tån t¹i mét cÊp sè nh©n (un ) cã u5 0 vµ u75 0 .
b) NÕu c¸c sè thùc a,b,c theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè céng cã c«ng sai kh¸c 0 th× c¸c sè a2 ,b2 ,c2 theo thø tù ®ã còng lËp thµnh mét cÊp sè céng. c) NÕu c¸c sè thùc a,b,c theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè nh©n th× c¸c sè a2 ,b2 ,c2 theo thø tù ®ã còng lËp thµnh mét cÊp sè nh©n.
Trong c¸c bµi tõ 53 ®Õn 57, h·y chän kÕt qu¶ ®óng trong c¸c kÕt qu¶ ®· cho.
53. Cho d·y sè (u ) |
x¸c ®Þnh bëi : u |
|
1 vµ u |
u |
2n |
víi mäi n 2 . |
|
n |
1 |
|
2 |
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Khi ®ã u50 b»ng |
|
|
|
|
|
|
|
(A) 1274,5 ; |
(B) 2548,5 ; |
|
(C) 5096,5 ; |
|
(D) 2550,5. |
||
54.Cho d·y sè (un ) x¸c ®Þnh bëi : u1 1 vµ un 2n.un 1 víi mäi n 2 . Khi ®ã u11 b»ng
(A) 210.11! ; |
(B) 210.11! ; |
(C) 210.1110 ; |
(D) 210.1110 . |
55.Cho d·y sè (un ) x¸c ®Þnh bëi : u1 150 vµ un un 1 3 víi mäi n 2 . Khi ®ã tæng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè ®ã b»ng
(A) 150 ; (B) 300 ; (C) 29850 ; (D) 59700. 56. Cho cÊp sè céng (un ) cã : u2 2001 vµ u5 1995 . Khi ®ã u1001 b»ng
(A) 4005 ; (B) 4003 ; (C) 3 ; (D) 1.
57.Cho cÊp sè nh©n (un ) cã : u2 2 vµ u5 54 . Khi ®ã tæng 1000 sè h¹ng ®Çu tiªn cña cÊp sè nh©n ®ã b»ng
(A) |
1 31000 |
; |
(B) |
31000 1 |
; |
(C) |
31000 1 |
; |
(D) |
1 31000 |
|
||
4 |
2 |
|
6 |
|
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
125
126
|
§ 1 |
A. Giíi h¹n cña d·y sè |
|
D·y sè cã giíi h¹n 0 |
1. §Þnh nghÜa d·y sè cã giíi h¹n 0
XÐt d·y sè (un) víi un ( 1)n , tøc lµ d·y sè n
1, 12 , 13 , 14 , 15 , ..., 101 , 111 , ..., 231 , 241 , ...
BiÓu diÔn c¸c sè h¹ng cña d·y sè ®· cho trªn trôc sè, ta thÊy khi n t¨ng th× c¸c ®iÓm biÓu diÔn chôm l¹i quanh ®iÓm 0 (h. 4.1).
H×nh 4.1
Kho¶ng c¸ch un 1n tõ ®iÓm un ®Õn ®iÓm 0 trë nªn nhá bao nhiªu còng
®−îc miÔn lµ n ®ñ lín.
§iÒu nµy ®−îc gi¶i thÝch râ h¬n trong b¶ng sau :
n |
|
1 |
2 |
3 ... |
10 |
11 |
12 ... |
23 |
24 |
25 ... |
50 |
51 |
52 ... |
|||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
un |
|
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
1 |
1 |
... |
1 |
1 |
|
1 |
... |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
3 |
10 |
11 |
12 |
23 |
24 |
25 |
50 |
51 |
52 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mäi sè h¹ng cña d·y sè ®· cho, kÓ tõ sè h¹ng thø 11 trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n 101 , tøc lµ
un 1n 101 víi mäi n > 10.
127
Mäi sè h¹ng cña d·y sè ®· cho, kÓ tõ sè h¹ng thø 24 trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n 231 , tøc lµ
|
u |
|
|
1 |
víi mäi n > 23. |
|
|
||||
|
|
|
|||
|
n |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
||
H1 KÓ tõ sè h¹ng thø mÊy trë ®i, mäi sè h¹ng cña d·y sè ®· cho ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n 501
Còng c©u hái ®ã cho mçi sè : |
1 |
; |
1 |
; |
|
1 |
|
|
75 |
500 |
1 000 000 |
||||||
|
|
|
|
|||||
Nh− vËy mäi sè h¹ng cña d·y sè ®· cho, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n mét sè d−¬ng nhá tuú ý cho tr−íc. Ta nãi r»ng
d·y sè ( 1)n cã giíi h¹n lµ 0.
n
Mét c¸ch tæng qu¸t, ta cã
§Þnh nghÜa
Ta nãi r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n 0 (hay cã giíi h¹n lµ 0) nÕu víi mçi sè d−¬ng nhá tuú ý cho tr−íc, mäi sè h¹ng cña d·y sè, kÓ tõ mét sè h¹ng nµo ®ã trë ®i, ®Òu cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d−¬ng ®ã.
Khi ®ã ta viÕt
lim(un) = 0 hoÆc limun = 0 hoÆc un 0.
(KÝ hiÖu "lim un 0" cßn ®−îc viÕt " nlim un 0" , ®äc lµ d·y sè (un ) cã giíi h¹n lµ 0 khi n dÇn ®Õn v« cùc).
NhËn xÐt
Tõ ®Þnh nghÜa suy ra r»ng
a) D·y sè (un) cã giíi h¹n 0 khi vµ chØ khi d·y sè un cã giíi h¹n 0.
Ch¼ng h¹n, ta cã |
lim |
1 |
0 |
v× |
1 |
|
|
( 1)n |
|
vµ |
lim |
( 1)n |
= 0. |
|
|
||||||||||||
n |
n |
|
n |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b) D·y sè kh«ng ®æi (un), víi un |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 0 cã giíi h¹n 0. |
|
|
|||||||||||
128
2. Mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0
Dùa vµo ®Þnh nghÜa, ng−êi ta chøng minh ®−îc r»ng
a) lim |
1 |
0 ; |
b) lim |
1 |
0. |
|
n |
3 n |
|||||
|
|
|
|
§Þnh lÝ sau ®©y th−êng ®−îc sö dông ®Ó chøng minh mét sè d·y sè cã giíi h¹n 0.
®Þnh lÝ 1
Cho hai d·y sè (un) vµ (vn).
NÕu un vn víi mäi n vµ limvn = 0 th× limun = 0.
Chøng minh. Cho mét sè d−¬ng nhá tuú ý. V× limvn = 0 nªn kÓ tõ sè h¹ng thø N nµo ®ã trë ®i mäi sè h¹ng cña d·y sè (vn) ®Òu nhá h¬n sè d−¬ng ®ã. Do un vn nªn mäi sè h¹ng cña d·y sè (un ), kÓ tõ sè h¹ng thø N trë ®i, ®Òu cã
gi¸ trÞ tuyÖt ®èi nhá h¬n sè d−¬ng ®· cho. VËy limun = 0. |
|
VÝ dô 1. Chøng minh r»ng lim sinnn 0 .
Gi¶i |
|
|
|
|
|
|
||
Ta cã |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sin n |
|
|
1 |
vµ lim |
1 |
0. |
|
|
|
||||||
|
|
n |
n |
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Tõ ®ã suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. |
|
|
|
|||||
H2 Cho k lμ mét sè nguyªn d−¬ng. Chøng minh r»ng lim n1k 0.
¸p dông ®Þnh lÝ 1, cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ sau :
|
|
®Þnh lÝ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
VÝ dô 2 |
|
NÕu |
|
q |
|
1 |
th× lim qn 0 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
1 n |
|
|
|
( 2)n |
|
2 n |
0. |
||||
a) lim |
|
|
= lim |
|
|
0 ; |
b) lim |
3n |
= lim |
|
|
||||
2n |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
H3 Chøng minh r»ng lim cosnn5 0. 4
129