(T¸i b¶n lÇn thø m−êi ba)
Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam
H·y b¶o qu¶n, gi÷ g×n s¸ch gi¸o khoa ®Ó dµnh tÆng cho c¸c em häc sinh líp sau !
KÝ hiÖu dïng trong s¸ch :
Hn C©u hái hoÆc ho¹t ®éng thø n trong
bμi häc.
KÕt thóc chøng minh mét ®Þnh lÝ, hÖ qu¶, vÝ dô.
B¶n quyÒn thuéc Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc ViÖt Nam Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o
01 2020/CXBIPH/747 /GD |
M· sè : NH101T0 |
2
3
§ 1 c¸c hμm sè l−îng gi¸c
C¸c hµm sè l−îng gi¸c th−êng ®−îc dïng ®Ó m« t¶ nh÷ng hiÖn t−îng thay ®æi mét c¸ch tuÇn hoµn hay gÆp trong thùc tiÔn, khoa häc vµ kÜ thuËt. Trong bµi nµy, ta t×m hiÓu c¸c hµm sè l−îng gi¸c y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
1. C¸c hµm sè y = sinx vµ y = cosx
H1 Trªn h×nh 1.1, h·y chØ ra c¸c ®o¹n th¼ng cã ®é dμi ®¹i sè b»ng sin x , b»ng cos x . TÝnh sin 2 ,
cos 4 , cos 2 . a) §Þnh nghÜa
Quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè thùc x víi sin cña gãc l−îng gi¸c cã sè ®o ra®ian b»ng x ®−îc gäi lµ hµm sè sin, kÝ hiÖu
lµ |
y sin x . |
H×nh 1.1 |
|
Quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè thùc x víi c«sin cña gãc l−îng
gi¸c cã sè ®o ra®ian b»ng x ®−îc gäi lµ hµm sè c«sin, kÝ hiÖu lµ y cos x.
TËp x¸c ®Þnh cña c¸c hµm sè y sin x , y cos x lµ . Do ®ã c¸c hµm sè sin vµ c«sin ®−îc viÕt lµ
sin : |
cos : |
x sin x |
x cos x. |
NhËn xÐt
Hµm sè y = sin x lµ mét hµm sè lÎ v× sin( x) = sin x víi mäi x thuéc .
H2 T¹i sao cã thÓ kh¼ng ®Þnh hμm sè y = cos x lμ mét hμm sè ch½n ?
b) TÝnh chÊt tuÇn hoµn cña c¸c hµm sè y = sin x vµ y = cos x
Ta ®· biÕt, víi mçi sè nguyªn k, sè k2 tho¶ m·n sin(x + k2 ) = sin x víi mäi x.
4
Ng−îc l¹i, cã thÓ chøng minh r»ng sè T sao cho sin(x + T ) = sin x víi mäi x
ph¶i cã d¹ng T = k2 , k lµ mét sè nguyªn.
Râ rµng, trong c¸c sè d¹ng k2 (k ), sè d−¬ng nhá nhÊt lµ 2 .
VËy ®èi víi hµm sè y = sin x , sè T = 2 lµ sè d−¬ng nhá nhÊt tho¶ m·n sin (x T) sin x víi mäi x.
Hµm sè y cos x còng cã tÝnh chÊt t−¬ng tù.
Ta nãi hai hµm sè ®ã lµ nh÷ng hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2 .
Tõ tÝnh chÊt tuÇn hoµn víi chu k× 2 , ta thÊy khi biÕt gi¸ trÞ c¸c hµm sè y = sin x vµ y = cos x trªn mét ®o¹n cã ®é dµi 2 (ch¼ng h¹n ®o¹n [0 ; 2 ] hay ®o¹n [ ; ]) th× ta tÝnh ®−îc gi¸ trÞ cña chóng t¹i mäi x. (Cø mçi khi biÕn sè ®−îc céng thªm 2 th× gi¸ trÞ cña c¸c hµm sè ®ã l¹i trë vÒ nh− cò ; ®iÒu nµy gi¶i thÝch tõ "tuÇn hoµn").
c) Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ cña hµm sè y = sinx
Do hµm sè y = sinx lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu k× 2 nªn ta chØ cÇn kh¶o s¸t hµm sè ®ã trªn mét ®o¹n cã ®é dµi 2 , ch¼ng h¹n trªn ®o¹n [ ; ].
ChiÒu biÕn thiªn (xem c¸c h×nh 1.2, 1.3, 1.4)
Cho x = (OA, OM) t¨ng tõ ®Õn , tøc lµ cho M ch¹y trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c theo chiÒu d−¬ng mét vßng xuÊt ph¸t tõ A' vµ quan s¸t sù thay ®æi cña
®iÓm K (K lµ h×nh chiÕu cña M trªn trôc sin, OK = sinx), ta thÊy :
Khi x t¨ng tõ ®Õn 2 th× ®iÓm M ch¹y trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c theo chiÒu d−¬ng tõ A' ®Õn B' vµ ®iÓm K ch¹y däc trôc sin tõ O ®Õn B'. Do ®ã OK, tøc lµ sin x , gi¶m tõ 0 ®Õn 1 (h. 1.2).
H×nh 1.2 |
H×nh 1.3 |
5
Khi x t¨ng tõ 2 ®Õn 2 th× ®iÓm M ch¹y trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c theo chiÒu d−¬ng tõ B' ®Õn B vµ ®iÓm K ch¹y däc trôc sin tõ B' ®Õn B. Do ®ã
|
OK |
, tøc lµ sin x, t¨ng tõ 1 ®Õn 1 (h. 1.3). |
|
|
|||||||||
Khi x t¨ng tõ |
®Õn th× ®iÓm M ch¹y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
trªn ®−êng trßn |
|
l−îng |
|
gi¸c |
theo |
chiÒu |
|
|
|||||
d−¬ng tõ B ®Õn A' vµ ®iÓm K ch¹y däc trôc |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin tõ B ®Õn O. Do ®ã |
|
OK, |
tøc |
lµ |
sin x, |
|
|
||||||
gi¶m tõ 1 ®Õn 0 (h. 1.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
VËy ta cã b¶ng biÕn |
thiªn |
cña |
hµm sè |
|
|
||||||||
y = sin x trªn ®o¹n [ ; ] nh− sau : |
|
|
H×nh 1.4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
y = sin x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§å thÞ
Khi vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [ ; ], ta nªn ®Ó ý r»ng : Hµm sè y = sin x lµ mét hµm sè lÎ, do ®ã ®å thÞ cña nã nhËn gèc to¹ ®é lµm t©m ®èi xøng. V× vËy, ®Çu tiªn ta vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [0 ; ].
Trªn ®o¹n [0 ; ], ®å thÞ cña hµm sè y = sin x (h. 1.5) ®i qua c¸c ®iÓm cã to¹ ®é (x ; y) trong b¶ng sau :
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
5 |
|
||||
6 |
4 |
|
3 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = sin x |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
3 |
|
2 |
|
1 |
0 |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
( 0,71) |
( 0,87) |
|
( 0,87) |
( 0,71) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
H×nh 1.5
PhÇn ®å thÞ cña hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [0 ; ] cïng víi h×nh ®èi xøng cña nã qua gèc O lËp thµnh ®å thÞ cña hµm sè y = sin x trªn ®o¹n [ ; ] (h.1.6).
TÞnh tiÕn phÇn ®å thÞ võa vÏ sang tr¸i, sang ph¶i nh÷ng ®o¹n cã ®é dµi 2 , 4 , 6 ,... th× ®−îc toµn bé ®å thÞ hµm sè y = sin x. §å thÞ ®ã ®−îc gäi lµ mét
®−êng h×nh sin (h. 1.6).
H×nh 1.6
NhËn xÐt
1) Khi x thay ®æi, hµm sè y = sin x nhËn mäi gi¸ trÞ thuéc ®o¹n [ 1 ; 1]. Ta nãi tËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = sin x lµ ®o¹n [ 1 ; 1].
2) Hµm sè y = sin x ®ång biÕn trªn kho¶ng |
|
|
|
; |
|
. Tõ ®ã, do tÝnh chÊt |
|
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
tuÇn |
hoµn víi |
chu k× |
2 , hµm sè y = sin x ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng |
|||
|
|
|
k2 ; |
|
|
, k . |
|
2 |
2 |
k2 |
|||
|
|
|
|
|
||
H3 Hái kh¼ng ®Þnh sau ®©y cã ®óng kh«ng ? V× sao ?
Hμm sè y = sin x |
|
|
|
|
; |
3 |
vμ nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng |
|||||
nghÞch biÕn trªn kho¶ng |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
k2 ; |
|
, |
k . |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
k2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
d) Sù biÕn thiªn vµ ®å thÞ cña hµm sè y = cos x
Ta cã thÓ tiÕn hµnh kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = cos x t−¬ng tù nh− ®· lµm ®èi víi hµm sè y = sin x trªn ®©y. Tuy nhiªn, ta nhËn thÊy
|
|
víi mäi x, nªn b»ng c¸ch tÞnh tiÕn ®å thÞ hµm sè y = sin x |
||
cos x = sin x |
|
|||
|
2 |
|
|
|
sang tr¸i mét ®o¹n cã ®é dµi |
|
, ta ®−îc ®å thÞ hµm sè y = cos x (nã còng |
||
|
|
|
2 |
|
®−îc gäi lµ mét ®−êng h×nh sin) (h. 1.7).
H×nh 1.7
C¨n cø vµo ®å thÞ cña hµm sè y = cos x , ta lËp ®−îc b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè ®ã trªn ®o¹n [ ; ] :
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
y = cos x |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
H4 H·y kiÓm nghiÖm l¹i b¶ng biÕn thiªn trªn b»ng c¸ch quan s¸t chuyÓn ®éng
cña ®iÓm H trªn trôc c«sin, trong ®ã H lμ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn trôc c«sin, khi ®iÓm M ch¹y trªn ®−êng trßn l−îng gi¸c theo chiÒu d−¬ng mét vßng xuÊt ph¸t tõ ®iÓm A' (h. 1.8).
NhËn xÐt
1) Khi x thay ®æi, hµm sè y = cos x nhËn
mäi gi¸ trÞ thuéc ®o¹n [ 1 ; 1]. Ta nãi tËp gi¸ trÞ cña hµm sè y = cos x lµ ®o¹n [ 1 ; 1].
2) Do hµm sè y = cos x lµ hµm sè ch½n nªn
®å thÞ cña hµm sè y = cos x nhËn trôc tung
lµm trôc ®èi xøng.
H×nh 1.8
8
3) Hµm sè y = cosx ®ång biÕn trªn kho¶ng ( ; 0). Tõ ®ã do tÝnh chÊt tuÇn hoµn víi chu k× 2 , hµm sè y = cosx ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng
( + k2 ; k2 ), k .
H5 Hái kh¼ng ®Þnh sau ®©y cã ®óng kh«ng ? V× sao ?
Hμm sè y = cos x nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0 ; ) vμ nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng
(k2 ; k2 ), k .
Ghi nhí
|
|
Hµm sè y = sin x |
Hµm sè y = cos x |
||||
|
|
||||||
Cã tËp x¸c ®Þnh lµ ; |
Cã tËp x¸c ®Þnh lµ ; |
||||||
Cã tËp gi¸ trÞ lµ [ 1 ; 1] ; |
Cã tËp gi¸ trÞ lµ [ 1 ; 1] ; |
||||||
Lµ hµm sè lÎ ; |
|
Lµ hµm sè ch½n ; |
|||||
Lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu |
Lµ hµm sè tuÇn hoµn víi chu |
||||||
k× 2 ; |
|
|
|
|
k× 2 ; |
||
§ång biÕn trªn mçi kho¶ng |
§ång biÕn trªn mçi kho¶ng |
||||||
|
|
k2 ; |
|
|
( k2 ; k2 ) |
||
|
2 |
2 |
k2 |
vµ nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng |
|||
|
|
|
|
||||
vµ nghÞch biÕn trªn mçi kho¶ng |
(k2 ; k2 ), k ; |
||||||
|
|
|
3 |
|
|
||
|
k2 ; |
2 |
|
k2 , k ; |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Cã ®å thÞ lµ mét ®−êng h×nh sin. |
Cã ®å thÞ lµ mét ®−êng h×nh sin. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.C¸c hµm sè y = tan x vµ y = cot x
a)§Þnh nghÜa
Víi mçi sè thùc x mµ cos x |
0, tøc lµ x 2 |
+ k (k ), ta x¸c ®Þnh ®−îc |
||||||
sè thùc tan x = |
sin x |
. §Æt D1 |
= |
|
|
k |
|
|
cos x |
\ |
2 |
k . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Quy t¾c ®Æt t−¬ng øng mçi sè x D1 víi sè thùc tan x sin x cos x
®−îc gäi lµ hµm sè tang, kÝ hiÖu lµ y tan x.
9