Кроме декартовой системы координат в пространстве используются и так называемые цилиндрическая и сферическая системы. Действия над векторами в математике вектора обозначают символами:

В

А АВ, а, или а

Модуль вектора записывают как АВ или АВ, а или просто а.

Вектор 0, длина которого равна 0, называют нуль вектором. Параллельные векторы, имеющие равные модули, но противоположные направления называют противоположными. Все векторы рассматриваются в математике как свободные, то есть их можно перемещать в пространстве как угодно, но сохраняя при этом их длину и направление. Поэтому два вектора считаются равными если они имеют одинаковую длину и одинаковые направления. Равенство векторов a и b обозначают символом равенства

a = b .

Сложение векторов.Суммой векторовa иb называют векторс, который находится по следующему правилу. Начало вектораbсовмещают с концом вектораа и тогда начало векторасбудет в началеа, а конец в концеb:

b c=a+b

a b

a

Очевидно, что при перемене мест слагаемых сумма не изменяется —

a + b = b + a.

Кроме того сумму векторов можно находить и по правилу параллелограмма:

a

b a+b

b

a

То есть сумма двух векторов есть диагональ параллелограмма, проведенная из совмещенных начальных точек векторов a и b.

Сложение нескольких векторов выполняется последовательно

Вычитание векторов определяется как действие, обратное сложению: разностью векторов аиbназывают такой векторс, который в сумме сbдает вектора-

c = a – b c + b = a

Для построения разности векторов необходимо совместить их начала и тогда вектором с будет вектор начало которого совпадает с концом вектора b а конец – с концом вектора а.

а c= a-b

b

Произведением вектора а на число (скаляр) k называют вектор b=ka, который параллелен вектору а, а его модуль равен произведению модуля числа k на модуль вектора а

b = k a.

Если k>0, то направление вектора b совпадает с направлением а, если же k<0 – направление b противоположно направлению а. При k=0 вектор b – будет нуль вектором.

Произведение вектора на скаляр подчиняется распределительному закону в двух формах:

1. k(a + b) = ka +kb,

2. (k + l)a = ka + la.

Два параллельных вектора называют коллинеарными. Из определения произведения вектора на скаляр следует, что коллинеарные вектора а и b всегда связаны соотношением

a = k b,

Три вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости, или параллельны одной и той же плоскости.

Необходимым и достаточным условием компланарности векторов a, b, c является линейная зависимость между ними, то есть должно выполнятся равенство:

c = ma + nb,

где m и n некоторые действительные числа. Необходимость вытекает из построения вектора с

nb

c

b

a ma

Достаточность следует из того, что если c = ma + nb, то с лежит в той же плоскости, что и вектора a и b.

Таким образом операция разложения вектора сна две составляющиеma и nbвозможна только в том случае, когда вектораaиbлежат в одной с ним плоскости и неколлинеарны (то есть не существует такого числаk, чтобы выполнилось равенствоb=ka). Ниже мы покажем, что вектор можно разложить на три составляющие только в том случае, когда они некомпланарны.

Вектор, длина которого в выбранном масштабе равна единице, называют единичным вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает с вектором aобозначают символомa_о.

a_о=a_о= 1

Очевидно, что любой вектор bможно представить в виде

b = b b_o

Указанные свойства сложения, вычитания и умножения векторов на число показывают, что с векторными равенствами, не нарушая их, можно производить ряд алгебраических действий. Это свойство позволяет назвать этот раздел векторной алгеброй.