Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона.

Пусть из результатов нам известны числовые значения некоторой функциисоответствующие числовым значениямМожно считать, чтозадана таблично:

Такие таблицы составляются и для некоторых аналитически заданных функций .

Довольно часто возникает потребность в вычислении промежуточных значений не имеющихся в таблице. Часто решается задача поиска аналитического вида функции, заданной таблично. При этом ищется такая функция, чтобы приона принимала значения

Довольно часто в качестве искомой функции берут многочлен степени, не превышающейтакой, чтоЭтот многочлен называют интерполирующим.

Решение этих задач составляет раздел вычислительной математики, назывемый интерполированием функций.

Интерполирующая функция Лагранжа.

Пусть мы имеем таблично заданную функцию. называют узлами интерполяции. И пустьесть интерполирующий многочлен вида:

где константы, подлежащие определению. Для их нахождения поочерёдно будем полагатьтребуя при этом, чтобыМы получим

Подставляя найденные значения получим интерполяционную формулу Лагранжа:

Полагая в этой формуле мы всегда имееми получим возможность оценки значенийсоответствующих значениям

Найденное выражение позволяет выполнить и оценку производнойв некоторых точках.

Интерполяционная формула Ньютона.

Если узлы интерполяции являются равноотстоящими, т.е. образуют арифметическую прогрессию:

где называют шагом интерполяции, то лучше использовать более простую интерполяционную формулу Ньютона. Эта формула построена на т.н. конечных разностях функции

Определение. Конечной разностью первого порядка величины называют разность между двумя её последовательными табличными значениями.

Конечной разностью второго порядка называется разность между двумя последовательными разностями первого порядка.

Аналогично определяются разности более высоких порядков.

Для вывода формулы Ньютона нам потребуются конечные разности до порядка включительно. Поэтому составляется таблица:

Используя эту таблицу можно найти

(*)

В (*) есть табличный номерили число шагов, отделяющих табличное значениеотТ.е.

т.к.

Если теперь вычислять нетабличное и сохранить вид правой части (*), то величинабудет давать намдля любого табличноготогда как длямы будем получать значеният.е.

В развернутой форме является многочленом степени не вышеи представляет собой интерполяционную формулу Ньютона.

Можно показать, что для равноотстоящих узлов формулы Лагранжа и Ньютона дают один и тот же многочлен, т.е. являются тождественными.