Пример 1. Исследовать на max и min

2.

1)2)

Исследование функции на экстремум

с помощью второй производной.

Пусть при производная от обращается в нуль, т.е.. Пусть, кроме того,и непрерывна в окрестности. Тогда справедлива

Теорема. Пусть , тогда приимеет максимум, еслии минимум, если.

Доказательство. Пусть и. Т.к.непрерывна, томалый отрезок, содержащий, во всех точках которого.

Т.к. убывает на выбранном отрезке. Но, приипри. Т.е. при переходе черезменяет знак с “+” на “-“, а это значит, чтоимеет в.

Пусть теперь в окрестности. Т.к.приипри. Т.о., при переходе черезизменяет знак с “-” на “+“, т.о. мы имеем в.

Если в , то в этой точке может бытьmax, min, или не быть ни того ни другого. В этом случае исследование функции надо вести первым способом (т.е. исследовать знак первой производной).

Схема исследования.

		Крит. точка
0	<0, “ – “	max
0	>0, “+”	min
0	0	неизвестно

Пример:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть непрерывна на [a, b]. Тогда она достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений.

Предположим, что имеет на [a, b] конечное число критических точек. Если , где- точкаmax (одного из), точнее – наибольший max. Однако может случиться, что sup достигается на одном из концов отрезка.

Итак, достигаетsup либо в одной из точек max, либо на концах отрезка.

То же самое можно сказать и о наименьшем значении : оно достигается либо на конце (концах) отрезка, либо во внутренней точке, является точкойmin.

Итак, если требуется найти наибольшее (наименьшее) значение непрерывной , то необходимо:

1. Найти все max (min) на отрезке [a, b]

2. Вычислить значения при

3. Из всех полученных выше значений выбрать наибольшее (наименьшее).

Пример. . Найтиsupr и inf на

Формула Тейлора

Предположим, что имеет все произвольные доn+1 –го порядка включительно в окрестности . Найдём многочленстепени не вышеn, такой, что , а, где: Итак

(1)

Естественно предположить, то «близок» кв некотором смысле.

Будем искать в форме многочлена по степенямс неопределёнными коэффициентами:

(2)

будем искать из условия (1). Предварительно найдём производные от

(3)

Подставляя теперь вместо и заменяяна, согласно (1), получим:

Подставляя теперь вместо вполучим

(5)

Обозначим теперь через разность между:

и тогда или в развёрнутом виде

(6)

называют остаточным членом. Для тех значений , для которыхмал,даёт приближённое представление.

Т.о. (6) даёт возможность заменить многочленомс точностью, определяемой.

Следующая задача – оценить при различных. Запишемв форме

,

где - некоторая функция, которую нужно определить. При фиксированныхиимеет определённое значение.

Рассмотрим далее вспомогательную функцию от

Далее найдём

После сокращения получим

(*)

Итак, имеет производную для, причёми. Поэтому кприменима т. Ролля:, в которой. Отсюда и из (*) следует, что

или

и тогда

остаточный член в форме Лагранжа. Т.к. заключено междуи, то его можно представить в виде, где, и тогдаможно записать в виде:

Формула

называется формулой Тейлора для .

Если в формуле Тейлора положить , то

(**) .

Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.