5.5. Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов
Неопределенность
раскрывается делением числителя и
знаменателя на х в наивысшей степени.
Пример:
5.13. Вычислить предел:
=
=
=
.
Упражнения:
5.14. Вычислить пределы:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
Заметим, что если m и n – наивысшие показатели степеней числителя и знаменателя, то:
а) при m=n пределы равны отношению коэффициентов при старших степенях;
б) при mn предел равен 0;
в) при
m
n
предел равен
.
2) Неопределенность
раскрывается делением числителя и
знаменателя на множители, обращающие
их в 0.
Пример:
5.15 
.
Упражнение:
5.15 Вычислить пределы:
а)
; б)
;
в)
;
г)
.
3) Неопределенность
раскрывается умножением и делением на
выражение, сопряженное данному.
Пример:
15.16.
.
Упражнение:
5.17. Вычислить пределы:
а)
; б)
.
5.6. Первый замечательный предел
,
(5.3)
раскрывает
неопределенность
.
Упражнение:
5.17. Вычислить пределы.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
.
Пример:
5.18. 
.
Упражнение:
5.19.
а)
б)
в)
.
Пример:
5.20.
.
Преобразуем разность в произведение:
Тогда
предел принимает вид:
,
т.к.
,
(первый замечательный предел.)
Упражнение:
5.21
а)
б)
в)
г)
.
5.7. Второй замечательный предел
,
(5.4)
раскрывает
неопределенность (
).
Вычислить пределы
Упражнение.
5.22. а)
б)
в)
г)
д)
е)
.
Пример.
5.23. 
= (выделяем в числителе знаменатель)
=
(делим
почленно числитель на знаменатель) =
.
Вычислим пределы:
Тогда искомый предел принимает значение:
.
Упражнение:
5.24.
а)
б)
в)
г)
Пример.
5.25 а)
б)
;
в)
г)
д)
Упражнение:
6.
26 а)
б)
6. Непрерывность функции
6.1. Непрерывность функции в точке
Функция f называется непрерывной в точке х, если предел функции f(x) при ха существует и равен значению функции в этой точке:
(6.1)
Из
определения следует, что функция f
непрерывна в точке
,
если выполняются следующие условия:
1) функция
f
определена в точке
и ее окрестности;
2) существуют односторонние пределы:
и
;
3) односторонние пределы равны между собой:
;
4) односторонние
пределы равны значению функции в точке
:
.
Определение. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве.
Записывают:
f
( функцияf
непрерывна в точке
,
т. е. принадлежит классу
функций, непрерывных в точке
);
f
( функцияf
непрерывна на множестве У, т. е. принадлежит
классу функций, непрерывных на множестве
У ).
Можно доказать:
Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области их определения (или на каждом интервале области определения).
Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва.
В точках разрыва нарушается хотя бы одно из условий (1-4).
Классификация точек разрыва:
Точки разрыва первого рода – это точки, в которых существуют конечные односторонние пределы, но они не равны между собой или не равны значению функции в этой точке.
Точки
разрыва второго рода – это точки, в
которых хотя бы один односторонний
предел равен
.
Пример:
6.1 Точка
- точка разрыва первого рода ( геометрическая
иллюстрация рис. 2.1.)
у
у
А А
0
х 0
х
а) б)
у у
В
А
0
х 0
х
в) г)
Рис. 6.1. Точки разрыва I рода.
В случаях (а-б) функция имеет устранимый разрыв, можно:
а)
доопределить функцию, положив f(
)=А;
б)
переопределить функцию, положив f(
)=А;
В
случае (в) в точке
функция имеет неустранимый скачокh
= В – А;
Какие условия (1-4) нарушены в каждом из случаев на рис. 6.1.?
Точка
- точка разрыва второго рода (геометрическая
иллюстрация рис. 2.2.)
у у
х х
0
0
а) б)
у у
х х
0
0
в) г)
Рис. 6.2. Точки разрыва II рода.
Какие условия (1-4) нарушены в каждом случае (а-г) рис. 6.2.?
Пример:
6.3. Исследовать функцию f на непрерывность в точке х = 0:
(2.2)
у
1
0 х
-1
Рис. 6.3. График функций (6.2.)
Решение. Найдем односторонние пределы:
получили
.
Односторонние
пределы существуют, но различны.
Следовательно, функция
не имеет предела в точке
=0
и не является непрерывной в ней, функция
в точке
=0
терпит разрыв первого рода.
6.4 Исследовать функцию на непрерывность:
(2.3)
Решение.
у
2
1
х
1
Рис. 6.4. График функции (6.3.)
Функция
непрерывна на интервалах (-
;0);
(0;1); (1;+
),
т. к. составлена на них из непрерывных
функций.
Рассмотрим граничные точки:
х=0
f(0)=0; следовательно функция непрерывна в точке х=0;
х=1
функция терпит разрыв I рода в точке х=1; ( скачок h=1 ).
Итак,
функция (6.3.)
непрерывна на интервалах (
;
в точке с абсциссой х=1 функция терпит
разрыв первого рода (неустранимый скачокh=1).
6.5 Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента.
(6.4)
Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) найти предел функции у при приближении аргумента х к точке разрыва слева и справа;
3) сделать вывод;
4) сделать чертеж.
Решение.
Функция
непрерывна на каждом из интервалов
т. к. на них она представлена непрерывными
элементарными функциями. Рассмотрим
границы интервалов:
х=-2
f(-2)=0.
Имеем:
.
Следовательно, функция непрерывна в точке х=-2.
х=1.
f(1)=4-21=2.
Имеем:
- существуют и конечны односторонние
пределы, но не равны между собой,
следовательно, х=1 – точка разрыва
первого рода.
у
2
-2 1
х
у=х+2 -3 у=4-2х
у=
-4
-4
Рис. 6.5. График функции (6.4.)