Функция и её предел
1. Функция
Функцией
называется отображение множества Х на
множество У, при котором каждому элементу
х
Х
соответствует единственный элемент
у
У.
Это определение можно записать так:
х
Х,
!
у
У
: х
у,
или у =f(х)
(5.1)
Мы
будем рассматривать числовые функции,
заданные аналитически, т. е. формулой
(5.1.).
Множество Х называется областью
определения
функции и обозначается Д(f).
Множество тех значений у
У,
для которых у=f(х),
называется областью
значений
функции и обозначается Е(f).
Графиком функции у = f( х ) называется множество точек плоскости (хоу) с координатами (х; f( х )).
Функция у = f( х ) называется четной, если 1) область определения ее симметрична относительно начала координат и 2) f(- х ) = f( х ).
Функция у = f( х ) называется нечетной, если 1) область определения ее симметрична относительно начала координат и 2) f( -х ) = - f( х ).
Графики четных функций симметричны относительно оси (оу); графики нечетных функций симметричны относительно начала координат.
Функция
у = f(
х ) называется периодической,
если существует положительное число Т
такое, что 1) при всех х
Д(f
) числа х + Т и х – Т также принадлежат
области определения и 2) f(
х + Т ) = f(
х ).
Наименьшее положительное число Т, обладающее указанными свойствами, называется основным периодом функции.
Функция
называется ограниченной
на множестве
Х, если существует число С0
такое, что f(
х )
С при всех х
Х. В противном случае функция называетсянеограниченной.
Функция
у = f(
х ) называется возрастающей
(убывающей)
на некотором множестве Х, если большему
значению х
Х соответствует большее (меньшее)
значение у;
Х,
если
иf(
)
f(
),
тоf
(возрастающая);
если
иf(
)f(
),
тоf
(убывающая).
Функции возрастающие или убывающие называются монотонными.
Рассмотрим
функцию у = f(
х ), Д( f
) = Х; Е( f
) = У. Каждому элементу у
У поставим в соответствие единственное
значение х
Х, такое, чтоf(
х ) = у. Получим функцию х = (
у ), Д()
= У; Е()
= Х. Функция
называется обратной для f
и обозначается
=
и записывается традиционно:
у
=
(
х )(5.2)
Всякая строго монотонная функция имеет обратную.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.
Определение. Пусть заданы две функции у = g(х) и z = (у). Область определения функции у содержит область значений функции g. Функция z=(g(х)) называется сложной функцией, составленной из функций g и .
Примеры:
5.1 Функция
=
есть сложная функция, составленная изz
= 3lgу
и у=1+
.
Функция z =
есть сложная функция, составленная из
функций
z
=
;
у=
.
Упражнение:
5.3. Даны функции:
;
g(x)=lgx;
.
Задайте с помощью формул функции:
а) f(g(x)); б) f(p(x)); в) g(f(x)); г) p(f(х)); д) g(f(x)); е) p(g(x)).
5.4. Найдите области определения функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
Найдите области значений функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Найдите основные периоды функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Установите четность или нечетность функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Постройте графики элементарных функций.