Правила

1. x=1

2. c=0

3. (u+v)=u+v

4. (uv)=uv+vu

5. (cu)=cu

6. 

7. 

8. y=f(z), z=(x),  y_x=f_zz_x

Формулы

1. (a^x)= a^xlna; (e^x)= e^x

2. ;

3. (xⁿ)=nx^n-1

4. (sin x)=cos x; (cos x) = -sin x.

5. 

6. ;

7. ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Примеры:

y=e^kx, y=sin kx, y=(ax+b)ⁿ, y=1+x², y=ln sin x,

y=ln(x+1+x²), y=arcsec x, y=sin³x, ,

y=arctg lnx,

Дифференцирование неявных функций и заданных параметрических

Если f(x)(x)  f|(x)(x).

Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.

Например:

(*) x²+y³=a² – определяет , подставляя которую в (*), получим тождество: , 

что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y, которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y=y(x) и y=y(x).

Так как * в общем случае не известны * всегда можно найти *.

Дифференцируя (*), найдем

2x+3y²y=0 

Правило. Если F(x,y)=0  для нахождения y надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y, найдем выражение y через x и y.

Примеры

1. x³+y³-3axy=0

2. xe^y+y=a

Пусть теперь x=(t) и y=(t), где (t) и (t) - дифференцируемые функции, и 0. Естественно, что (x) и (x) непрерывны и поэтому при t0, x0 и y0.

Так как (t)0 x=(t) - монотонная функция и поэтому t и x 0 одновременно. Тогда

Примеры x=acost, y =asin t

x=a(t-sin t), y=a(1-cost) (y=ctg(t/2))

Иногда, при дифференцировании произведения многих функций или частного, а также при дифференцировании показательно-степенной функции y=[u(x)]^v(x) используется так называемое логарифмическое дифференцирование. Сначала находят ln y, затем

и потом находят

y=y(ln y)

Пример:

1. y=u^v, ln y=vln u

(ln y)=vln u + vu/u 

2. 

Дифференциал функции

Столь же важным в математическом анализе, как и производная, является понятие дифференциала функции.

Для любой дифференцируемой f(x) связь между y и x записывается в виде (*) y=(y+)x=yx+x

Величина  - бесконечно малая вместе с x , то есть

В силу этого x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с x , а yx - бесконечно малая величина того же порядка, что и x, если y0 при данном x.

Таким образом (*) определяет бесконечно малую y (y0) в виде суммы двух слагаемых: yx=O(x) и x=o(x). Поэтому yx - будет главной частью приращения y, причем пропорциональной x.

Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:

(**) dy=yx

Если (**) применить к аргументу x, то так как (x)=1 

dx=(x)x=1x=x

Поэтому dy=yx

Внося dy и dx в (*) получим:

(***) y=dy+dx

Таким образом установлены следующие свойства дифференциала и его связь с приращением функции:

1. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента ( то есть независимой переменной ).

dy=yx

2. Разность между приращением функции y и ее дифференциалом dy есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с x

y-dy=o(x)

а также (при y0) высшего порядка по сравнению с y или dy

y-dy=o(y) (т.к. y=O(x),

y-dy=o(dy) (т.к. dy=yx)

3. В силу последнего свойства, при y0 приращение y и дифференциал dy при бесконечно малом x являются равносильными бесконечно малыми величинами:

dy~y

Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:

Значение дифференциала функции при данных xи xравно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссойxграфикаf(x)при переходе отxк точке с абсциссойx+x.

В самом деле dy=KN, то есть катет РИСУНОК

MNK, MK=x, KMN=, tg=y 

KN=MKtg=yx=dy