Понятие о производной

Мгновенная скорость движения

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела, которое будем характеризовать материальной точкой М. Расстояние S от отсчитываемое от М_о будет зависеть от t:

S = f(t) (1)

Пусть в момент t, М находилась на расстоянии S от М_о, а в момент t+t – М₁ S+S. Т.о. за t S изменилось на S. Отношение дает среднюю скорость движения заt:

(2)

Тем не менее за t скорость может и не быть постоянной и V_ср не дает представления о скорости в момент t. Однако, чем меньше t, тем точнее мы будет знать скорость в момент t. Наиболее точно скорость М в t будет тот предел, к которому стремится V_ср при t0:

(3)

Этот предел, если он существует, и называют скоростью движения М в момент t.

Определение: Скоростью движения в данный момент (мгновенной скоростью) называется предел отношения приращения пути S к приращению времени t, когда t0.

Т.к. S=f(t+t)-f(t) 

(3`)

Из (3`) следует, что V не зависит от t, а определяется только видом f(t) и t.

Пример. Пусть . НайтиV(t).

Определение производной

Пусть y=f(x) определена в некотором промежутке. Пусть аргумент x получил приращение x. Тогда функция получит некоторое приращение y:

x  f(x)

x+x  y+y=f(x+x)  y=f(x+x) - f(x)

Составим отношение

Если существует, то его называют производной функции f(x):

Определение: Производной функции f(x) по аргументу x называется предел отношения y к приращению х, когда последнее произвольным образом стремится к нулю (0).

В общем случае для x имеет определенной значение, т.е. производная также является функцией отx. Наряду с обозначениемf(x)употребляется:

Конкретное значение f(x) при x=a:

или

Операция взятия производной от f (x)называется дифференцированиемf (x).

Пример: y=x², x+х  y+y=(x+х)², y=2xх+х²

y=1/x …

Геометрический смысл производной

Выше мы установили, что скорость является производной от пути S(t)по времениt. Теперь – геометрической толкование. В первую очередь введем понятие касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеется некоторая кривая y=f(x). Возьмем на ней фиксированную точкуМ₀(x₀,y₀=f(x₀))и точкуМ₁y=f(x). ТогдаМ₀М₁- прямая, которая называется секущей. Пусть теперьМ₁М₀, но всегдаМ₁y. Если при неограниченном приближенииМ₁кМ₀секущаяМ₀М₁стремиться занять положениеМ₀T, тоМ₀T - называется касательной к y в точкеМ₀.

Итак, пусть М₀=(x₀,y₀), а М₁=(x₀+x,y₀+y) и пусть - угол между М₀М₁ и ОХ. Тогда

Если x0  М₀М₁, М₀М₁будет поворачиваться вокруг М₀ (т.к. она «закреплена») и  будет меняться с изменением x . Если при x0 , то прямая, проходящая через точку М₀ и составляющая с ОХ угол  и будет некоторой касательной:

 , т.е.

f(x₀)=tg

Геометрический смысл:

Значение производной f(x) при заданном x равно tg, образованного касательной к графику f(x)в точке M(x,y) с положительным направлением оси ОХ..

Чтобы вывести уравнение касательной к f(x) в точке М₀=(x₀,y₀) можно поступить следующим образом. Нам известна точка, через которую она проходит, и ее угловой коэффициент, равный tg или f(x₀), т.е. k₀=f(x₀). Уравнение такой прямой имеет вид:

y-y₀=k₀(x-x₀) или

y-y₀=f(x₀)(x-x₀)

Непрерывность и дифференцируемость функций

Согласно определению

Естественно, что такой предел существует далеко не для всякой функции f(x) или не во всех точках области определения f(x).

Определение: Функция, имеющая в точке x=x₀ производную, называется дифференцируемой в x₀. Функция, имеющая производную во всех точках x(a,b) называется дифференцируемой на (a,b).

Очевидно, что необходимым условием дифференцируемости функции в точке x₀или на(a,b)является ее непрерывность ( в точкеx₀или на(a,b)).

В самом деле существует тогда, когда y бесконечно малая одновременно с x. Докажем это утверждение:

Пустьy=f(x) - дифференцируема в x₀ и y(x₀)= y₀. Это значит, что при x=x₀, так как предел  (*),

где  - бесконечно малая величина.

Умножая (*) на x получим y=(y₀+)x,так как (y₀+) - ограниченная величина  y - бесконечно малая величина и следовательно f(x) -непрерывна в x=x₀.

Однако непрерывность f(x)не являетсядостаточнымусловием дифференцируемости, так как для двух бесконечно малых величин предел их отношения может и не существовать (в частности равен). Это означает, что не существует определенной касательной, или=90^oиtg=.( Графические примеры).

Заключение: не всякая непрерывная функция дифференцируема, но всякая дифференцируемая функция непрерывна.

Определение. Дифференцируемая на (a,b) функция называется гладкой.

Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой на отрезке [a,b], если она дифференцируема на интервале (a,b) и дифференцируема на концах отрезка в смысле существования правосторонней и левосторонней производной, то есть если существуют

и

Существует класс кусочно-гладких (дифференцируемых) и кусочно-непрерывных функций, для которых условия дифференцируемости (непрерывности) нарушаются в конечном числе изолированных точек.

В качестве примера нахождения производной рассмотрим дифференциацию функции y=xⁿ, nN.

Производная от y=xⁿ.

Исходя из определения, необходимо произвести следующие действия:

1. дать x приращение x и вычислить значение f(x+x):

y+y=f(x+x)

2. найти y: y=f(x+x)-f(x)

3. составить отношение :

4. найти предел при x0 :

Теорема. Производная от y=xⁿ, гдеn>0иnN, равнаnx^n-1.