Плоскость в пространстве

Векторное и нормальное уравнения плоскости. Положение плоскости Р в пространственной декартовой системе координат ХОУZ можно задать с помощью единичного вектораn, перпендикулярного плоскости Р, и длиной перпендикулярар— опущенного на плоскость Р из начала координат. Пусть М — произвольная точка плоскости Р задана своими координатами (x,y,z) или радиусом-векторомr.Где бы не находилась точка М, проекция ее радиуса-вектораr на направлениеn всегда будет равнар:

пр_nr=p

Так как пр_nr=r cos  , гдеэто угол междуrиn, то эту проекцию можно представить в виде скалярного произведения двух векторов пр_nr=r n. Отсюда получимвекторное уравнениеплоскости:

r n– р = 0.

Общее уравнение плоскости. Покажем, что любое уравнение первой степени относительно переменныхx, y, zвида

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

некоторую плоскость в трехмерном пространстве. Введем вспомогательный вектор N =A i +B j + Ck, с модулем.С помощью этого вектора уравнение (1) можно записать в виде:

r N + D = 0, (2)

где r— радиус-вектор точкиМ(x,y,z). Разделим уравнение (2) наsign(-D) =Nи введем обозначенияи, в результате получим векторное уравнение плоскости и, следовательно, уравнение (1) есть ни что иное как уравнение плоскости в наиболее общем виде. Отметим, что векторN=Ai+Bj+Ckперпендикулярен плоскости.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.Двугранный угол между плоскостями Р₁и Р₂равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям. Пусть Р₁и Р₂заданы общими уравнениями:

Р₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0;N₁=A₁i+B₁ j+C₁k

Р₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0;N₂=A₂i+B₂ j+C₂k

При этих условиях мы можем найти угол между плоскостямииспользуя скалярное произведение векторовN₁иN₂:

Условие параллельностиплоскостей эквивалентно колинеар-ности векторовN₁иN₂, то есть пропорциональности их координат

.

Условие перпендикулярностиплоскостей, это условие перпендикулярность векторовN₁иN₂, то естьN₁N₂=0, или в коэффициентах уравнений плоскостей:

N₁N₂=

Уравнение плоскости в отрезках. Пусть задана плоскость пересекающая все три координатных оси и не проходящая через начало координат. В этом случае А0, В0 и С0 и D0, а уравнение плоскости может быть записано как

,

где .

Уравнение плоскости через заданную точку. Пусть задан векторN(А, В, С). Требуется построить плоскость, проходящую через точку М_о(x_o,y_oz_o).

Так как задан вектор N, то задано множество параллельных плоскостей

Ax + By + Cz + D = 0,

в которых число D может принимать любые значения. Но плоскость должна проходить через точку М_о, и следовательно координаты этой точки должны обращать уравнение в тождество. Это может иметь место только в том случае, когда D = -( Ax_о + By_о + Cz_о). Подставляя это значение в исходное уравнение получим:

A(x-x_о ) + B(y-y_о)+ C(z-z_о) = 0.

Так как вектор Nпроизволен, то последнее уравнение дает множество плоскостей, проходящих через одну точку и называетсяуравнением связки плоскостей.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданных точки. Пусть заданы 3 точки М₁(r₁), М₂(r₂) и М₃(r₃), а точка М(r) — произвольная точка плоскости. Очевидно, что вектораr - r₁ , r₂ - r₁, r₃ - r₁ лежат в одной плоскости, или компланарны. По условию компланарности смешанное произведение этих векторов должно ровняться 0:

(r - r₁)( r₂ - r₁)( r₃ - r₁) = 0.

— уравнение плоскости, проходящей через три точки в векторной форме. Переходя к координатам, получим

— уравнение плоскости, проходящей через три точки в координатнойформе.

Пучок плоскостей— это множество плоскостей, проходящих через одну прямую. Если плоскости

Р₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и Р₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

принадлежат пучку плоскостей (то есть пересекаются), то уравнение любой плоскости пучка можно записать в виде:

p(A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + q(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0,

где параметры p и q — некоторые числа. Если например p0, то уравнение пучка плоскостей можно записать более компактно:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ +(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0,=p/q