Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением аb двух векторов а и b называют число (скаляр), равное произведению их длин на косинус угла между ними — cos :

аb = а b cos 

Свойства скалярного произведения:

1) аb = 0, если хотя бы один векторов — нуль-вектор, или вектора перпендикулярны;

2) аа = а²

3) аb = bа;

4) аb = а пр_а b = b пр_b a;

5) (a + b) c = ac + bc;

6) m(аb) = (ma)b = a(mb).

Пусть вектора а иbразложены по ортам:

a = a_x i + a_y j + a_z k,

b = b_x i + b_y j + b_z k.

Используя свойства скалярного произведения мы можем найти его выражение через координаты. Так как орты взаимно перпендику-лярны, то произведения ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0,тогда как

ii = jj = kk = 1

Поэтому

ab = (a_x i + a_y j + a_z k)(b_x i + b_y j + b_z k)=

= a_xb_x (ii) + a_yb_x(ji) + a_zb_x(ki) +

+ a_xb_y (ij) + a_yb_y(jj) + a_zb_y(kj) +

+ a_xb_z (ik) + a_yb_z(jk) + a_zb_z(kk) =

= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z .

Таким образом скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

ab= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z .

Используя скалярное произведение и зная координаты векторов можно найти и угол между ними по формуле

,

Условием перпендикулярностидвух векторов служит равенство нулю их скалярного произведения.

ab= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0

В частности нуль-вектор перпендикулярен любому другому.

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением ab двух векторовa, bназывают такойвекторс=ab , который удовлетворяет трем условиям:

1. Модуль вектора с равен площади параллелограмма, построенного на векторах a, b:

c=a b sin 

где  —угол между векторамиa, b.

2. Вектор с перпендикулярен вектору a и вектору b.

3. Вектора a, b, с должны образовывать правую тройку, то есть кратчайший поворот от первого вектора — a ко второму — b, если смотреть на него с конца векторасдолжен происходить против хода часовой стрелки (0)

Свойства векторного произведения

1) аb = 0, если хотя бы один векторов — нуль-вектор, или вектора параллельны;

2) аа = 0

3) аb = - bа;

4) (m+n)(аb) = m(аb) + n(аb)

5) (a + b) c = ac + bc;

6) m(аb) = (ma)b = a(mb).

Рассмотрим теперь как выражается векторное произведение через координаты сомножителей:

ab = (a_x i + a_y j + a_z k)(b_x i + b_y j + b_z k)=

= a_xb_x (ii) + a_yb_x(ji) + a_zb_x(ki) +

+ a_xb_y (ij) + a_yb_y(jj) + a_zb_y(kj) +

+ a_xb_z (ik) + a_yb_z(jk) + a_zb_z(kk)

Принимая во внимание, что ii = jj = kk = 0,а

(ij) = -(ji) = k,

(ik) = -(ki) = j,

(jk) = -(kj) = i,

получим:

ab = a_yb_x(-k) + a_zb_x(-j) +a_xb_y k + a_zb_y(-i) + a_xb_z j + a_yb_zi =

= (a_yb_z - a_zb_y)i - (a_zb_x- a_xb_z )j + (a_xb_y- a_yb_x)k ,

Последнее выражение есть ни что иное, как определитель 3-го порядка

.

Смешанное (векторно-скалярное) произведение 3-х векторов.

Смешанным или векторно-скалярным произведением трех векторов a, b, c называют произведение вида (ab)c. Первые два вектора перемножаются векторно, а затем результат — скалярно на третий вектор. В результате получается число (скаляр).

Абсолютная величина смещанного произведения равна объема пареллелипипеда, построенного на данных трех векторах:

Смешанное произведение положительно, если вектора a, b, c образуют правую тройку, и отрицательно — если левую.

Свойства смешанного произведения:

1) Смещанное произведение не изменяется

а) если перемножаемые вектора переставлять в круговом порядке

(ab)c = (сa)b = (bc)a

б) если поменять местами векторное и скалярное произведение

(ab)c = a(bс)

Этот факт позволяет записывать смешанное произведение без указания порядка векторного и скалярного умножения:

(ab)c = abс.

2) Перестановка в abслюбых двух векторов изменяет знак произведения

abс = -baс abс = - cba, …

3) Смешанное произведение равно 0, если

а) хотя бы один из трех векторов есть нуль-вектор;

б) два из перемножаемых векторов колинеарны;

в) три вектора компланарны.

Разлагая все вектора по ортам нетрудно получить выражение смешанного произведения через координаты:

Очевидно, что условием компланарноститрех векторов будет служить равенство нулю их смешанного произведения:

= 0.