Разложение вектора по осям координат

Проекцией вектора ана ось OL называют отрезок АВ, заключенный между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектораана OL. АВ берется со знаком плюс, если он ориентирован также как и OL, и со знаком минус, если в противоположную сторону.

а

а



O A B L

Из рисунка видно, что

АВ = пр _OL a = a cos 

Свойства проекций:

1. пр _OL a = 0, если a = 0 илиаOL

2. пр _OL (a  b) =. пр _OL a  пр _OL b

3. пр _OL (a)=  пр _OL a

Пусть теперь на плоскости задана декартовая прямоугольная система координат ХОУ. Единичные вектора i и j, направления которых совпадают с направлениями осей ОХ и ОУ соответственно, называют ортами (или координатными ортами):

Y

y=a_y

а

j

O i x=a_x X

Из рисунка видно, что если поместить начало вектора а в начало координат, то его проекциями будут числа a_х и a_у , которые совпадают с координатами х и у конца вектора а. Очевидно, что

a = a_x i + a_y j

Последняя формула и дает разложение вектора по осям координат на плоскости.

В трехмерном пространстве вводятся три координатных орта — i, j, k направления которых совпадают с направлениями осей координат ОХ, ОУ и ОZ соответственно. Вектор а может быть представлен в виде:

a = a_x i + a_y j + a_z k

где a_x , a_y , a_z определенные числа, которые называют координатами этого вектора. Эти координаты одновременно являются и проекциями вектора а на оси координат.

Пусть , ,  — это углы, которые составляет вектор а с осями координат или с ортами. Cos , cos , cos  — называют направляющими косинусами вектора а.

Так как a_x , a_y , a_z проекции вектора а, то

a_x = a cos , cos  = a_x /a,

a_y = a cos , cos  = a_y /a,

a_z = a cos , cos  = a_z /a,

где .

Для единичного вектора а_о проекциями будут соs , cos , cos  . Используя последние равенства нетрудно показать, что

cos²  + cos²  + cos²  = 1,

Действия над векторами разложенными по ортам. Два вектора равны только тогда, когда равны их соответствующие координаты. То есть из равенства a=b, следуют:

a_x=b_x, a_y=b_y, a_z=b_z.

Одноименные координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Если a = b , то

a_x=b_x, a_y=b_y, a_z=b_z

Операции сложения, вычитания и умножения вектора на скаляр описываются формулами:

a  b = (a_x  b_x)i + (a_y  b_y)j + (a_z  b_z)k,

b = b_xi+ b_y j + b_z k, и в частности -b = - b_xi - b_y j - b_z k.

Радиус-вектор точки. Задание вектора координатами его начала и конца. Положение точки M(x, y, z) можно определить вектором r. Так как координаты вектора r совпадают с координатами точки М, то

r = xi +yj + zk.

Вектор можно задать координатами его начала и конца, то есть точек М₁ и М₂:

, или

,

То есть координатами вектора являются разности одноименных координат его конца и начала.

Следовательно, расстояние между двумя точками можно найти по формуле

,

а направляющие косинусы

В качестве применения операций над векторами рассмотрим параллельный перенос координат. Допустим, что начало новой системы координат расположено в точке О₁(x₁, y₁, z₁)

Очевидны следующие соотношения между радиус-векторами точки М в старой системе координат — r, новой системе —r’ и радиусом-вектором ОО₁—r₁.

r = r’ + r₁ ; r₁ = r’ - r

Или в координатной форме

которые и дают переход от одной системы к другой обратно.