9.2.4. Существование фср (2)

Теорема:

Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство:

Рассмотрим дифференциальное уравнение

и две системы начальных условий:

, ,,

,,

где

.

Пусть и–частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему:

.

Теорема доказана.

Основная теорема:

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные.

Доказательство:

Пусть и– фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию

,

где ,есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить извыбороми.

Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий

, ,.

Положим , тогда

,

,

отсюда

и.

Так как , тои есть общее решение.

9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля

Зная одно частное решение (2), не равное нулю, можно с применением формулы Остроградского-Лиувилля найти фундаментальную систему и, следовательно, общее решение (2), вычислив два неопределённых интеграла.

Пусть есть известное решение и нужно найти. Так каки, то приполучаем:

.

И, наконец, при

.

Пример.Рассмотрим дифференциальное уравнение

,.

Тогда

.

Общее решение будет:

.

9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

9.3.1. Теоремы о частных решениях

Рассмотрим неоднородное уравнение

(1)

и соответствующее однородное уравнение

. (2)

Теорема 1:

Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Доказательство:

Пусть и– частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функциювместе с ее производными:

.

Теорема доказана.

Теорема 2:

Если – частное решение уравнения (1),– частное решение соответствующего однородного уравнения, то

есть новое частное решение уравнения (1).

Доказательство:

Справедливы следующие соотношения:

,

,

значит,

.

Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1).

Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

,

где иесть линейно независимые частные решения уравнения (2).

Теорема 3:

Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и, и еслиесть частное решение уравнения (1) с правой частью, а– частное решение уравнения (1) с правой частью, то– частное решение уравнения (1) с правой частью.

Доказательство:

Рассмотрим уравнение , подставимив уравненияисоответственно. После сложения последних уравнений и группировки слагаемых получим:

.

Теорема доказана.

Пример:

, (1)

,, (2)

,. (3)

Тогда – частное решение уравнения (1).