9.5. Системы дифференциальных уравнений

9.5.1. …

Нормальной системой дифференциальных уравнений называют систему дифференциальных уравнений 1-го порядка снеизвестными функциями,, …,аргумента, в которой любое уравнение содержит производную 1-го порядка только от одной из функций:

. (1)

Теорема Коши.

Если – непрерывные функции по,, …,в некоторой области, то любой внутренней точкеобластисоответствует, и притом единственное, решение,, …,, удовлетворяюще этим начальным условиям. Такое решение называется частным.

Произвольно изменяя , получим бесконечное множество решений, или:

, …,

– такое решение называется общим. Частное решение всегда можно получить из общего.

Системы дифференциальных уравнений типа (1) и дифференциальные уравнения -го порядка можно преобразовывать друг в друга с помощью введения дополнительных переменных или их исключения.

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:

(2)

–действительные числа, – известные непрерывные функции. Если, то система называется однородной.

Рассмотрим метод интегрирования системы (2) приведением е к одному линейному дифференциальному уравнению -го порядка с одной искомой функцией(например). Для этого продифференцируем первое уравнение из (2) пои заменим получившиеся в правой частиих выражениями из (2):

.

Затем продифференцируем и его по и снова сделаем замены. После-го шага получим систему:

(*)

Выражая из первых уравнений,, …,через,,,, …,(предполагая) и подставляя в-е уравнение, получим

(**)

– линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами и одной неизвестной функцией.

Найдя общее решение (**) и используя производныеот него из (*) найдем,, …,.

Пример.

,

Получим систему

,

.

Дифференцируя и подставляя в, найдем:

.

37