45вариант_DDZ

Вариант 45

Задание 1

Электрическая цепь состоит из пяти элементов, выход из строя которых в заданный промежуток времени – независимые события, имеющие вероятности p_i = 0.1 каждый. Найти вероятность Р отказа цепи за данный промежуток времени.

Решение

Рассмотрим порядок соединения для получения приведенной электрической схемы.

1. Элемент 1 и участок 2-5 соединены последовательно в участок 1-5.

2. Участки 2-3 и 4-5 соединены параллельно в участок 2-5.

3. Элементы 2,3 и 4,5 соединены последовательно.

Введем следующие обозначения событий:

A_i – работает элемент i (i=1, 2, …, 5),

– работает участок соединения из элементов .

По условию задачи

Необходимо найти вероятность события .

Будем находить вероятности событий, перечисленных в порядке соединения схемы.

При этом будем помнить, что для параллельного соединения проще найти вероятность отказа участка (все элементы соединения не работают), а для последовательного соединения проще найти вероятность работы участка (все элементы соединения работают).

Eсли соединение последовательное, нужно перемножать события, то есть

X=

X1 - работает первая группа элементов X2 - работает вторая группа элементов

Теперь рассмотрим каждую группу. В первой группе всего один элемент, то есть она работает, когда работает первый элемент цепи (X1=A1). Мы дошли до элемента, разбор этой группы закончен.

Рассмотрим вторую группу. Видно, что вторая группа имеет уже параллельную структуру элементов. А вот внутри A4⋅A5 элементы соединены последовательно, A2⋅A3 элементы также между собой последовательно.

Так как A4⋅A5 и A2⋅A3 группа соединены параллельно, речь идет о сумме этих событий, то есть вторая группа работает если:

X2=A2⋅A3+A4⋅A5.

Сводим все в одну формулу и выпишем искомое событие (Цепь работает исправно):

X=X1⋅X2=A1⋅(A2⋅A3+A4⋅A5).

Надо определить вероятность того, что ток проходит в цепи. Будем использовать формулы (1-3).

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B); (1)

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A)⋅P(B); (2)

P(A1+A2+...+An)=1−P( )⋅P( )⋅...⋅P( ). (3)

Так как вероятность произведения для независимых событий равна произведению вероятностей, получим:

P(X)=P(A1⋅(A2⋅A3+A4⋅A5))==P(A1)⋅P(A2⋅A3+A4⋅A5)=

Для множителей с суммой событий внутри используем формулу (2):

=P(A1)⋅[P(A2⋅A3)+P(A4⋅A5)−P(A2⋅A3⋅A4⋅A5)]=

И снова раскрываем вероятности произведений:

=P(A1)⋅[P(A2)⋅P(A3)+P(A4)⋅P(A5)−P(A2)⋅P(A3)⋅P(A4)⋅P(A5)].

Перейдем к более компактной записи, положив pi=P(Ai)

P(X)=p1⋅[p2⋅p3+p4⋅p5−p2⋅p3⋅p4⋅p5].

Вероятность работы цепи:

Мы нашли вероятность работы цепи. Вероятность отказа:

Ответ: 0.13249.

Задание 2

Дискретная случайная величина задана законом распределения p_i(x_i). Найти величину a, построить график функции распределения данной случайной величины. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

	0	2	4	6	8
		0,2	0,4	0,2	0,1

Решение

Так как сумма вероятностей должна быть равна 1, то величина а равна:

а = 1 – (0.2 + 0.4 + 0.2 + 0.1) = 0.1

Найдем функцию распределения:

Для нахождения интегральной функции распределения пользуемся ее определением применительно к каждому из промежутков изменения с.в.

Вид функции распределения:

График функции распределения:

Математическое ожидание:

Найдем дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение:

Задание 3

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана выражением:

Найти величину коэффициента а, написать аналитическое выражение и простроить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Найти вероятности попадания данной случайной величины в интервалы (0,6) и (6,10).

Решение

Найдем коэффициент a из условия:

Для нашей функции:

или

32·a-1 = 0

Откуда, a = 1/32

Найдём функцию распределения:

F(x) = 1, x > 8

Найдем математическое ожидание:

Найдём дисперсию непрерывной случайной величины Х:

 

Среднее квадратическое отклонение:

График плотности распределения:

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал найдем по формуле:

Поэтому:

Задание 4

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием m = 5 в интервал (4; 6) равна 0,8. Найти дисперсии данной случайной величины.

Решение

Для нормального распределения вероятность попадания случайной величины в интервал определяется по формуле:

где Ф(Х) – функция Лапласа, значения которой определяются по таблицам,

+ =2

2

Найдём дисперсию:

D(X)=

В данном случае:

Ответ: D(X)

Задание 5

Дискретная случайная величина задана выборкой:

1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 1

Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Решение

Составим ряд распределения в виде таблицы:

xi	1	2	3
ni	12	3	10

Строим полигон частот:

Находим относительные частоты:

Тогда функция распределения:

График функции распределения:

Выборочное среднее:

Найдем выборочную дисперсию: