
- •Учебное пособие
- •Модуль №4
- •Метрические задачи. Преобразование комплексного чертежа
- •Метрические задачи
- •Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости.
- •Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения
- •Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения
- •Построение плоскости, касательной к поверхности
- •Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
- •Преобразование комплексного чертежа
- •Способ замены плоскостей проекций
- •Пространственная модель
- •Плоский чертёж
- •Первая основная задача преобразования комплексного чертежа
- •Вторая основная задача преобразования комплексного чертежа
- •Третья основная задача преобразования комплексного чертежа
- •Четвёртая основная задача преобразования комплексного чертежа
- •Способ вращения вокруг проецирующей оси
- •Решение четырех основных задач преобразованием комплексного чертежа способом вращения вокруг проецирующей оси Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа
- •Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа
- •Контрольные вопросы
- •Тест №1
- •Тест №2
- •Ответы к тесту №1
- •Ответы к тесту №2
Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения
Задача: Через точкуК, взятую на прямой общего положенияm, провести прямуюn, тоже общего положения, перпендикулярнуюm(рис. 4-15).
Рис. 4-15
Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, то решение задачи на построение взаимно перпендикулярных прямых приходится сводить к задаче на построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
При этом используется известное положение, что две прямые перпендикулярны в том, и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
Алгоритм решения:
1.Через точкуКпроводим плоскость, перпендикулярную прямойm. Плоскость задаём пересекающимися горизонталью и фронталью (рис. 4-16), причём,h1 m1, af2 m2.
Рис. 4-16
2.Так как плоскость(h f) m, то в этой плоскости можно взять некоторую прямую общего положенияn, проходящую через точкуК(рис. 4-17). Она будет перпендикулярнаm. Задаёмn1.
Рис. 4-17
3.Известно, что прямую определяют две точки. Наn1, кромеК1, возьмём ещё одну точкуР1.
4.Находимn2в плоскости. Для этого проводим в этой плоскости прямую12(11 -21). ТочкаР1принадлежит этой прямой, а, следовательно, плоскости. НаходимР2и проводим прямуюn2
Алгоритмическая запись решения:
1. m, = h f = K; h m h1 m1, h2 K2K1; f m f2 m2, f1 K2K1;
2. n = PK, n , n1 = P1K1; P1 1121 P1 P2 n2.
3.n n m.
Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения
Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
Задача:Через точкуК, взятую вне плоскостиГ(АВС)провести плоскость Г(рис. 4-18).
Рис. 4-18
Алгоритм:
1.Плоскость(рис. 4-19) задаём пересекающимися прямымиm n = К. Согласно вышесказанному, одна из них должна быть перпендикулярна плоскостиГ. Пусть это будетn.
2.В плоскостиГберём горизонталь и фронталь.
3.Через точкуК1проводимn1 h1, а черезК2проводимn2 f2, следовательно,n Г.
4.Прямуюm, проходящую через точкуК, задаём произвольно.
Таким образом, (nm)Г(АВС).
Рис. 4-19
Алгоритмическая запись решения:
1.hГh2h1, fГf1f2;
2.=mn=K,nГn1h1,n2f2.
3.Г.
Построение плоскости, касательной к поверхности
Касательная плоскость - это множество всех касательных прямых, проведённых к данной кривой поверхности и проходящих через одну её точку.
На чертеже плоскость, касательную к поверхности, можно задавать, например, двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых является касательной к поверхности в данной точке. Но можно касательную плоскость задавать различными условиями, характер которых зависит от вида поверхности.
Например, к конусу касательную плоскость можно провести так, чтобы она проходила через точку М(рис. 4-20), расположенную вне поверхности конуса. Причём, такая задача имеет два решения, так как через данную точку можно провести две плоскости, касающиеся поверхности конуса по образующимSKиSK', которые в то же время являются касательными, соответственно,tиt'.
Рис. 4-20
Как вы думаете?
1.Сколько плоскостей, касательных к поверхности конуса, можно провести через его вершину без других дополнительных условий?
2.Существуют ли особые точки на поверхностях сферы или эллипсоида, или они состоят только из обыкновенных точек? Для ответа на этот вопрос Вам нужно посмотреть модуль № 1, раздел "Касательная и нормаль к кривой", стр. М1-30.
3.Сколько касательных плоскостей можно провести к эллипсоиду через любую точку на его поверхности?
Задача: Через точкуМ(М2)на сфереГс центром в точкеОпровести плоскость, касательную к её поверхности (рис. 4-21).
Рис. 4-21
Так как любая прямая, принадлежащая касательной плоскости к сфере, будет перпендикулярна к её радиусу, то задача сводится к построению плоскости, перпендикулярной прямой. Плоскость удобно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых будет перпендикулярна радиусу сферы.
Алгоритм:
1.НаходимМ1по принадлежности сфере (рис 4-22).
Рис. 4-22
2.ПроводимR1иR2из центра сферыО1иО2к точкамМ1иМ2.
3.Проводимt1 R1- это горизонтальная проекция прямой, перпендикулярной радиусу, а, следовательно, касательной к сфере. Поскольку, прямой угол наП1спроецирован в натуральную величину, то прямаяt-горизонталь, и её проекция наП2будет перпендикулярна линиям связиt2.
4.Аналогично проводим построения второй касательнойt', которая перпендикулярна радиусу (рис. 4-23):t2' R2, t1' линиям связи, то естьt'- фронталь.
5.Плоскость(t t') R - касательная к сфере.
Примечание: В данной задаче видимость поверхности не учитывалась.
Рис. 4-23
Алгоритмическая запись решения:
1.М Г М1.
2.ОМ = R O1M1 = R1, O2M2 = R2.
3.(t t') = M; t=h, t R t1 R1, t2 M2M1.
4. t' = f, t' R t2' R2, t1' M2M1.
5. R - Г.
Для решения этой задачи можно использовать другие рассуждения.
1.Для нахождения точкиМ1проводим параллельа(а2, а1)на поверхности сферы (рис. 4-24).
Рис. 4-24
2.Проводимt- касательную к окружности а(а1, а2).t1будет перпендикулярна радиусу сферыR1, аt2, как касательная ка2, совпадёт са2.
3.Проводим через точкуМкасательную прямую к окружностис(с1, с2)(рис. 4-25).t2',как касательная кс2, будет перпендикулярна радиусуR2, аt1', как касательная кс1, совпадёт сс1.
Рис. 4-25
4.Конечный результат этой задачи тот же, что и рассмотренный выше, и представлен на рис. 4-23.