Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения

Задача: Через точкуК, взятую на прямой общего положенияm, провести прямуюn, тоже общего положения, перпендикулярнуюm(рис. 4-15).

Рис. 4-15

Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, то решение задачи на построение взаимно перпендикулярных прямых приходится сводить к задаче на построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

При этом используется известное положение, что две прямые перпендикулярны в том, и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

Алгоритм решения:

1.Через точкуКпроводим плоскость, перпендикулярную прямойm. Плоскость задаём пересекающимися горизонталью и фронталью (рис. 4-16), причём,h₁  m₁, af₂  m₂.

Рис. 4-16

2.Так как плоскость(h  f)  m, то в этой плоскости можно взять некоторую прямую общего положенияn, проходящую через точкуК(рис. 4-17). Она будет перпендикулярнаm. Задаёмn₁.

Рис. 4-17

3.Известно, что прямую определяют две точки. Наn₁, кромеК₁, возьмём ещё одну точкуР₁.

4.Находимn₂в плоскости. Для этого проводим в этой плоскости прямую12(1₁ -2₁). ТочкаР₁принадлежит этой прямой, а, следовательно, плоскости. НаходимР₂и проводим прямуюn₂

Алгоритмическая запись решения:

1. m,  = h  f = K; h  m  h₁  m₁, h₂  K₂K₁; f  m  f₂  m₂, f₁  K₂K₁;

2. n = PK, n  , n₁ = P₁K₁; P₁  1₁2₁  P₁    P₂  n₂.

3.n    n  m.

Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Задача:Через точкуК, взятую вне плоскостиГ(АВС)провести плоскость  Г(рис. 4-18).

Рис. 4-18

Алгоритм:

1.Плоскость(рис. 4-19) задаём пересекающимися прямымиm  n = К. Согласно вышесказанному, одна из них должна быть перпендикулярна плоскостиГ. Пусть это будетn.

2.В плоскостиГберём горизонталь и фронталь.

3.Через точкуК₁проводимn₁  h₁, а черезК₂проводимn₂  f₂, следовательно,n  Г.

4.Прямуюm, проходящую через точкуК, задаём произвольно.

Таким образом, (nm)Г(АВС).

Рис. 4-19

Алгоритмическая запись решения:

1.hГh₂h₁, fГf₁f₂;

2.=mn=K,nГn₁h₁,n₂f₂.

3.Г.

Построение плоскости, касательной к поверхности

Касательная плоскость - это множество всех касательных прямых, проведённых к данной кривой поверхности и проходящих через одну её точку.

На чертеже плоскость, касательную к поверхности, можно задавать, например, двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых является касательной к поверхности в данной точке. Но можно касательную плоскость задавать различными условиями, характер которых зависит от вида поверхности.

Например, к конусу касательную плоскость можно провести так, чтобы она проходила через точку М(рис. 4-20), расположенную вне поверхности конуса. Причём, такая задача имеет два решения, так как через данную точку можно провести две плоскости, касающиеся поверхности конуса по образующимSKиSK', которые в то же время являются касательными, соответственно,tиt'.

Рис. 4-20

Как вы думаете?

1.Сколько плоскостей, касательных к поверхности конуса, можно провести через его вершину без других дополнительных условий?

2.Существуют ли особые точки на поверхностях сферы или эллипсоида, или они состоят только из обыкновенных точек? Для ответа на этот вопрос Вам нужно посмотреть модуль № 1, раздел "Касательная и нормаль к кривой", стр. М1-30.

3.Сколько касательных плоскостей можно провести к эллипсоиду через любую точку на его поверхности?

Задача: Через точкуМ(М₂)на сфереГс центром в точкеОпровести плоскость, касательную к её поверхности (рис. 4-21).

Рис. 4-21

Так как любая прямая, принадлежащая касательной плоскости к сфере, будет перпендикулярна к её радиусу, то задача сводится к построению плоскости, перпендикулярной прямой. Плоскость удобно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых будет перпендикулярна радиусу сферы.

Алгоритм:

1.НаходимМ₁по принадлежности сфере (рис 4-22).

Рис. 4-22

2.ПроводимR₁иR₂из центра сферыО₁иО₂к точкамМ₁иМ₂.

3.Проводимt₁  R₁- это горизонтальная проекция прямой, перпендикулярной радиусу, а, следовательно, касательной к сфере. Поскольку, прямой угол наП₁спроецирован в натуральную величину, то прямаяt-горизонталь, и её проекция наП₂будет перпендикулярна линиям связиt₂.

4.Аналогично проводим построения второй касательнойt', которая перпендикулярна радиусу (рис. 4-23):t₂'  R₂, t₁' линиям связи, то естьt'- фронталь.

5.Плоскость(t  t')  R  - касательная к сфере.

Примечание: В данной задаче видимость поверхности не учитывалась.

Рис. 4-23

Алгоритмическая запись решения:

1.М  Г  М₁.

2.ОМ = R  O₁M₁ = R₁, O₂M₂ = R₂.

3.(t  t') = M; t=h, t  R  t₁  R₁, t₂  M₂M₁.

4. t' = f, t'  R  t₂'  R₂, t₁'  M₂M₁.

5.  R   -  Г.

Для решения этой задачи можно использовать другие рассуждения.

1.Для нахождения точкиМ₁проводим параллельа(а₂, а₁)на поверхности сферы (рис. 4-24).

Рис. 4-24

2.Проводимt- касательную к окружности а(а₁, а₂).t₁будет перпендикулярна радиусу сферыR₁, аt₂, как касательная ка₂, совпадёт са₂.

3.Проводим через точкуМкасательную прямую к окружностис(с₁, с₂)(рис. 4-25).t₂',как касательная кс₂, будет перпендикулярна радиусуR₂, аt₁', как касательная кс₁, совпадёт сс₁.

Рис. 4-25

4.Конечный результат этой задачи тот же, что и рассмотренный выше, и представлен на рис. 4-23.