Центральное проецирование

Проецирование, когда проецирующий луч проходит через фиксированную точку S, называется центральным. На рис. 1-6 показано построение центральных проекций некоторых точек и прямой.

Рис. 1-6

П₁-плоскость проекций (картинная плоскость)

S- центр проецирования

В, С, D- точки в пространстве

С₁, В₁, D₁- проекции точек

l_B, l_C, l_D - проецирующие лучи

 - плоскость, проведенная через центр проецирования Sи прямуюа.

АМ- прямая в пространстве

А₁М₁- проекция прямой (или отрезка)

Через точку S(центр проецирования) и точкуВпроведем проецирующий лучl_В, отметим точку пересечения проецирующего луча с картинной плоскостью:S  l_В, B  l_В, l_В  П₁ = В₁, на чертеже видно, что каждой точке пространства соответствует единственная проекция на плоскости.

Аналогично точке Вможно построить проекцию любой точки пространства, например точкиС

С₁ = l_С  П₁, еслиС  П₁, то С = С₁.

Если l_D  П₁, то проекцией точкиD  D₁служит несобственная точка плоскостиП₁.

По принципу центрального проецирования работают фото - и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования. Изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе архитекторы, дизайнеры, геологи и др.

Описанным методом центрального проецирования может быть построена проекция любой точки геометрической фигуры, а, следовательно, и проекция самой фигуры. Например , центральную проекцию отрезка АМна плоскостьП₁можно построить как линию пересечения плоскости, проведенной через центрSи прямуюАВ, с плоскостью проекций. Так как две плоскости пересекаются по единственной прямой, то проекция прямой есть прямая, и притом, единственная, т. е.  S, АМ;   П₁  А₁М₁.

Параллельное проецирование

Проецирование называется параллельным, если центр проецирования удален в бесконечность, а все проецирующие лучи параллельны заданному направлению s.

s- направление проецирования

Чтобы найти точку А₁- параллельную проекцию точкиА, построенную по направлениюsна плоскости проекцийП₁, нужно через точкуАпровести проецирующий лучl_A, параллельный прямойs, и определить точку его пересечения с плоскостьюП₁:

l_A  A, l_A  s, l_A  П₁ = А₁

Точка А₁является параллельной проекцией как для точкиА, так и для точекА¹иА²

Рис. 1-7

Свойства параллельных проекций

Геометрическая фигура в общем случае проецируется на плоскость проекций с искажением, но некоторые свойства оригинала сохраняются в проекциях при любом преобразовании и называются его инвариантами (остаются неизменными).

Первое свойство. Проекция точки на плоскость проекций есть точка.

Важно не само свойство, а следствие из него:

Каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций. Доказательством может служить то, что через точку А можно провести только одну прямую, параллельную заданному направлению проецирования, и эта прямая пересечется с плоскостью проекций только в одной точке.

l_A  A, l_A  s, l_A  П₁ = А₁

Второе свойство. Проекция прямой линии в общем случае есть прямая.

Г  a, Г  П₁  a₁

Если прямая параллельна направлению проецирования, то она вырождается в точку.

l_C  C, l_C  s, l_C  П₁ = C₁; C₁ - точка

Рис. 1-8

Третье свойство – принадлежности.Если точка принадлежит прямой, то проекция точки

принадлежит проекции прямой, К  а  К₁  а₁

Это свойство следует из определения проекции фигуры, как совокупности проекций всех ее точек (см. рис. 1-8)

Четвертое свойство - свойство простого соотношения трех точек.Если точка делит отрезок в некотором отношении, то и проекция этой точки делит отрезок в том же отношении (см. рис. 1-8).

AK : KB = A₁K₁ : K₁B₁

Пятое свойство. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции .

m  n  m₁  n₁, т. к.Г  (Рис 1-9)

Рис. 1-9

Шестое свойство. Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций,АВ  СD  А₁В₁  С₁D₁(Рис 1-9)

Седьмое свойство. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскостей проекций:A₁B₁C₁ = A¹B¹C¹

Рис. 1-10

Если П₁  П₁¹, тоА₁А₁¹ = В₁В₁¹ = С₁С₁¹- как параллельные отрезки, заключенные между параллельными плоскостями, следовательно четырехугольникиА₁А₁¹В₁В₁¹ и В₁В₁¹С₁С₁¹иС₁С₁¹А₁А₁¹ являются параллелограммами, а у параллелограммов параллельные стороны равны. ПоэтомуА₁В₁С₁ = А₁¹В₁¹С₁¹

Рассмотренные свойства параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования.