2.5. Классификация математических моделей

По способу отражения в ММ тех или иных особенностей ТО выделяют структурные,

функциональные и структурно-функциональные ММ.

Если ММ отображает устройство ТО, его конструкцию, то ее называют структурной ММ. Если же модель описывает функционирование ТО, то ее относят к функциональным моделям. Функционирование ТО может быть реализовано физическим, механическим, химическим или каким-нибудь другим процессом. Существуют и комбинированные ММ, которые описывают как функционирование, так и устройство ТО. Такие модели называют структурно-

функциональными.

Структурные ММ делят на топологические и геометрические. Топологические ММ отображают состав ТО и связи между его элементами. Такие модели представляют в виде графов, матриц, таблиц, списков и т.п. Их целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи.

Геометрическая ММ содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам. Такую ММ иногда задают координатами некоторого множества точек, по которым интерполированием можно построить ограничивающие область линии или поверхности. Границы области задают и кинематическим способом: линию — как траекторию движения точки, а поверхность — как результат перемещения линии. Возможно, представление формы и размеров области совокупностью типовых фрагментов достаточно простой конфигурации. Геометрические ММ находят применение при разработке технической документации и при осуществлении технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с числовым программным управлением).

Функциональные ММ обычно состоят из соотношений, связывающих между собой различные параметры ТО. Функционирование сложных ТО нередко удается описать, изучив совокупность его реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия (сигналы), т.е. в этом случае ТО рассматривают как черный ящик. Такую разновидность функциональной модели обычно называют имитационной ММ, имея в виду, что она лишь описывает внешние проявления функционирования ТО, не раскрывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные ММ нашли широкое применение, например, в технической кибернетике. Если связь между входными и выходными параметрами ТО удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде программы для ЭВМ, то представленная имитационная ММ является примером алгоритмической ММ. По этому признаку к алгоритмическим моделям относят как функциональные, так и структурные ММ.

Если связи между параметрами ТО можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитической ММ. При построении иерархии моделей одного и того же ТО обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант модели был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных моделей рассматриваемого ТО.

По способу получения ММ делят на теоретические и эмпирические. Первые получают в результате использования теоретических сведений о свойствах ТО, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения проявлений этих свойств.

Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, и в последующем представлении результатов этих исследований в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической модели.

При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энер-

12

гия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (соотношения, связывающие между собой параметры, характеризующие состояние или эволюцию ТО). В роли таких соотношений могут выступать так называемые феноменологические законы. Эти законы устанавливают взаимосвязь между параметрами, характеризующими состояние или эволюцию изучаемого объекта, путем непосредственных наблюдений над происходящим явлением (фенóменом). Примерами таких законов являются закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т.п.

Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими.

2.5.1. Особенности функциональных моделей

Одной из характерных особенностей функциональной модели является возможность использования при ее построении случайных величин или случайных функций. В этом случае ММ называют стохастической, а в противном случае — детерминированной.

Появление стохастических ММ обусловлено тем, что далеко не все величины или зависимости реальных ТО можно установить с требуемой точностью. Поэтому ММ таких ТО, строго говоря, следует отнести к стохастическим. Например, если изучаемый ТО является изделием массового производства, то его внутренние параметры могут принимать случайные значения в пределах допусков, установленных относительно номинальных значений. Случайными могут быть значения внешних параметров, которые характеризуют воздействие на ТО каких-то случайных явлений, например, порывы ветра, атмосферные явления и т.п. Если значения внутренних или внешних параметров изучаемого ТО являются случайными, то и выходные параметры этого ТО могут быть случайными величинами.

Для анализа стохастических ММ необходимо использовать методы теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов. Однако основная трудность их применения обычно связана с тем, что необходимые характеристики случайных величин или случайных функций часто неизвестны или известны с невысокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности. В таких случаях можно использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и в большей мере удовлетворяющую свойству робастности.

Пример. Пусть на поверхности тела с однородной по объему, но меняющейся во времени t температурой T(t) происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру TС (рис. 2).

Рис. 2. Расчетная схема теплообмена твердого тела с окружающей средой

Пусть плотность q теплового потока, передаваемого от окружающей среды к телу, пропорциональна разности температур TC −T , т.е.

q =α (TC −T ),

где α — коэффициент теплоотдачи. Тогда подводимый от окружающей среды к телу тепловой поток равен

13

где S — площадь поверхности тела.

Количество тепловой энергии, переданное телу, вызывает приращение внутренней энергии u тела, которое пропорционально приращению температуры этого тела, а коэффициентом пропорциональности служит полная теплоемкость CТ тела, измеряемая в Дж/К и равная количеству тепловой энергии, необходимой для повышения температуры тела на 1 K . Таким обра-

зом

Для построения ММ, которая описывает изменение температуры T(t) тела во времени t, подставим (1) в (2) и получим ОДУ первого порядка

Очевидно, что при вполне определенном значении α такую ММ следует считать детерминированной.

Но реальный процесс теплообмена является довольно сложным, а его интенсивность зависит от большого числа факторов. Некоторые из этих факторов носят либо случайный характер, либо не поддаются или поддаются с трудом контролю и учету. Поэтому коэффициент теплоотдачи, вообще говоря, нельзя считать достоверно известным и постоянным во времени. Его следует рассматривать как некоторую случайную функцию времени t. Если такую функцию ввести в ОДУ (3), то вместо детерминированной ММ получим стохастическую. Использовать такую ММ имеет смысл лишь в том случае, если располагать необходимыми характеристиками случайной функции.

Однако часто удается установить границы возможного изменения значений α и определить влияние погрешностей задания величин в уравнении (4) на точность определяемой температуры тела.

Такая задача возникает всякий раз, когда задана дифференцируемая в рассматриваемой

которая позволяет определить верхнюю границу относительной погрешности величины y, где

Если влияние погрешности задания коэффициента теплоотдачи на точность определяемой температуры тела не велико по сравнению с влиянием погрешности других величин в уравнении (4), то разумно использовать детерминированную модель.

Существенным признаком классификации модели является ее способность описывать изменение во времени параметров ТО, которые представляют интерес. Такую ММ называют нестационарной (или эволюционной). Так, рассмотренная в примере модель, учитывает такое изменение, и ее относят к нестационарным (или эволюционным) ММ.

14

Если ММ не учитывает изменение во времени параметров ТО, которые представляют интерес, то такую модель называют стационарной. Например, рассмотрим математический маятник, совершающий периодические колебания. ММ этого ТО является стационарной по отношению к периоду и полуразмаху колебаний, хотя материальная точка перемещается во времени относительно положения равновесия.

Если интересующие нас параметры ТО изменяются медленно и таким изменением можно пренебречь, то говорят о квазистационарной ММ. При описании некоторых процессов нестационарная ММ может быть преобразована в квазистационарную соответствующим выбором системы координат. Например, при дуговой электросварке температурное поле в свариваемых стальных листах в окрестности движущегося с постоянной скоростью электрода в неподвижной системе координат описывает нестационарная ММ, а в подвижной системе координат, связанной с электродом, — квазистационарная ММ.

При математическом моделировании реального ТО полезно иметь в виду ситуации, когда его параметры остаются постоянными при постоянных внешних воздействиях, т.е. когда ТО находится в состоянии равновесия. Если ММ описывают ТО в состоянии равновесия, то ее называют статической. Если изменение параметров ТО происходит столь медленно, что этим изменением можно пренебречь, то говорят о квазистатической ММ. Например, в медленно протекающих механических процессах можно пренебречь инерционными силами, а при медленно изменяющейся силе тока в электрической цепи — индуктивностью элементов этой цепи.

Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность. В линейной ММ изучаемого объекта его параметры связаны линейными соотношениями. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра ТО линейная

ММпредсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров — сложение их влияний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции (от латинского слова superpositio — наложение). Если ММ не обладает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной. Для количественного анализа линейных ММ разработано большое число математических методов, тогда как возможности анализа нелинейных

ММсвязаны в основном с методами вычислительной математики.

Иногда для исследования нелинейной ММ ее нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную ММ рассматриваемого ТО. Так как линеаризация связана с внесением дополнительных погрешностей, то к результатам анализа линеаризованной модели следует относиться с определенной осторожностью. Дело в том, что линеаризация ММ может привести к утрате или существенному искажению реальных свойств ТО.

Каждый параметр ТО может быть двух типов — непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения. Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой — только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные, дискретные и смешанные ММ. В процессе анализа ММ этих типов они могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности ММ рассматриваемому ТО.

15