4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ ИЗ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

При переходе от РС сложной системы, состоящей из большого числа взаимосвязанных между собой типовых элементов, к ее ММ макроуровня удобно оперировать эквивалентными схемами, основанными на аналогиях между ММ элементов, принадлежащих различным техническим системам. При этом предпочтительнее привлекать аналогии между электрической системой и другими техническими системами, так как они позволяют применять хорошо разработанные и формализованные приемы получения ММ электрических систем.

В дальнейшем под эквивалентной схемой технической системы из типовых элементов, будем понимать условное изображение этой системы в виде электрической цепи, состоящей из электрических двухполюсников.

4.1. Дуальные электрические цепи

Построим ММ электрической цепи, которая включает источник электрического напряжения, задающий переменное во времени t падение напряжения U (t) , резистор сопротивлением R, конденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L (рис. 29).

Рис. 29. Электрическая цепь, содержащая источник напряжения

Эта цепь состоит из одного замкнутого контура, в который последовательно включены указанные выше двухполюсники. Очевидно, что в любой момент времени t сила I (t) тока во

всех участках данной электрической цепи одинакова. Для участков электрической цепи, содержащих резистор, конденсатор и индуктивную катушку, запишем:

При обходе замкнутого контура по ходу часовой стрелки в соответствии со вторым законом Кирхгофа получим

UR +UC +UL −U (t) = 0 .

Затем приходим к нормальной системе ОДУ

которая является ММ данной электрической системы.

64

В качестве второго примера рассмотрим электрическую цепь, которая наряду с пассивными электрическими двухполюсниками содержит источник электрического тока, сила

тока которого изменяется по определенному закону I (t) (рис. 30).

Рис. 30. Электрическая цепь, содержащая источник тока

Очевидно, что падение напряжения U (t) в каждой из ветвей этой цепи в любой фиксирован-

ный момент времени t одинаково. Для участков электрической цепи, содержащих резистор, индуктивную катушку и конденсатор, запишем:

где G =1/ R — проводимость резистора. Все ветви этой цепи сходятся в два узла A и B. Применяя первый закон Кирхгофа к одному из узлов, например, к узлу B, получим

IR + IL + IC − I (t) = 0 .

Затем приходим к нормальной системе ОДУ

которая является ММ данной электрической системы.

Таким образом, модели (41) и (43) рассмотренных электрических цепей являются идентичными по своей форме и содержат величины, между которыми можно установить соответствие. Это соответствие удобно представить в виде табл. 5.

Таблица 5

Соответствие между величинами дуальных электрических цепей

65

Две электрические цепи, ММ которых удовлетворяют указанному соответствию величин, принято называть дуальными. При этом имеет место соответствие между формулами (40) и (42). Если связь между законами изменения падения напряжения и силы тока источников в дуальных цепях подчиняется зависимости

U (t) = R0 I (t) ,

где R0 — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность сопротивления, то из сопоставления (40), (41) и (42), (43) можно установить, что

Из определения следует, что построение дуальной цепи по отношению к дуальной позволяет получить исходную электрическую цепь. Это можно использовать для проверки правильности преобразования электрической цепи в дуальную.

Дуальность электрических цепей позволяет расширить возможности построения и преобразования эквивалентных схем применительно к различным техническим системам.

Предположим, что сила тока в электрической цепи, представленной на рис. 29, изменяется во времени t по закону I (t) = I0 sinωt , где I0 — амплитуда колебаний силы тока, ω

— угловая частота колебаний. После подстановки выражения для I(t) в (41) получим один из возможных законов изменения падения напряжения на полюсах источника

U (t) = R I0 sinωt −ωI0C cosωt +ω L I0 cosωt .

Запишем функцию в виде

U (t) = Im I0 R − ωiC + iω L eiωt = Im (U eiωt ),

конденсатора и индуктивной катушки соответственно. Так как комплексная амплитуда I силы тока I (t) = Im(I0 ei ωt )= Im(I ei ωt ) равна I0, то

UI = ZR + ZC + ZL = Z ,

где Z — полное комплексное сопротивление участка цепи из последовательно соединенных резистора, конденсатора и индуктивной катушки. В общем случае комплексное сопротивление участка цепи из последовательно соединенных электрических двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений.

Теперь предположим, что падение напряжения во всех ветвях цепи, представленной на рис. 30, изменяется во времени t по закону U (t) =U0 sinω t , где U0 — амплитуда колеба-

ний падения напряжения, ω — угловая частота колебаний. После подстановки выражения

~

для U (t) в (43) получим один из возможных законов изменения силы тока источника

66

где ZR = R , ZL = iω L , ZC = ω−Ci — комплексные сопротивления резистора, индуктивной ка-

тушки и конденсатора соответственно. Так как комплексная амплитуда U падения напряжения U(t) = Im (U0 eiωt )= Im (U eiωt ) равна U0, то

где Z — полное комплексное сопротивление участка цепи из параллельно соединенных резистора, индуктивной катушки и конденсатора. В общем случае комплексная проводимость участка цепи из параллельно соединенных электрических двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.

Таким образом, установленное выше соответствие между величинами дуальных электрических цепей распространяется, например, на комплексные сопротивления и проводимости, приведенные в табл. 6.

Таблица 6

Соответствие между величинами дуальных электрических цепей

67