1.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНИКЕ

1.1.Математическое моделирование как основной способ исследования

Собщих позиций математическое моделирование можно рассматривать как метод познания реального мира. Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение известными методами.

Математическое моделирование как научное направление сформировалось в 70-х годах XX века. Его становление и развитие обусловлено появлением электронно-вычислительных машин (ЭВМ), используемых при изучении математической модели (ММ).

Так развитие сверхзвуковой авиации, возникновение ракетно-космической техники, и ряда быстро развивающихся наукоемких отраслей машиностроения и приборостроения привели к усложнению разрабатываемых и эксплуатируемых технических устройств и систем в 50-х годах XX века. Их экспериментальная отработка стала требовать все больших затрат времени и материальных ресурсов, а в ряде случаев ее проведение в полном объеме превратилось в проблему, не имеющую приемлемого решения. В этих условиях существенно возросло значение расчетно-теоретического анализа характеристик таких устройств и систем. Этому способствовал и прорыв в совершенствовании вычислительной техники, приведший к появлению ЭВМ с большим объемом памяти и высокой скоростью выполнения арифметических операций в 60-х годах XX века. В результате возникла материальная база для становления и быстрого развития математического моделирования, появились реальные предпосылки для использования вычислительного эксперимента не только в качестве расчетно-теоретического сопровождения на стадии отработки технического устройства, но и при его проектировании, подборе и оптимизации его эксплуатационных режимов, анализе его надежности и прогнозировании отказов и аварийных ситуаций, а также при оценке возможностей форсирования характеристик и модернизации технического устройства. Известны примеры математического моделирования условий, возникающих при автомобильных авариях и крупных техногенных катастрофах. Так на основе математической модели биосферы Земли составлен прогноз последствий ядерных взрывов при возможном военном конфликте, приводящих к так называемой “ядерной зиме”.

Изучение ММ с использованием средств вычислительной техники при помощи вычис- лительно–логических алгоритмов получило название вычислительного эксперимента, поскольку такое изучение ММ можно рассматривать как проведение эксперимента на ЭВМ. Термин “вычислительный эксперимент” часто используют как синоним термина “математическое моделирование”.

Отметим, что определенные предпосылки к широкому применению математического моделирования и вычислительного эксперимента в технике были созданы благодаря разработке методов аналогового моделирования. Основу большинства этих методов составляло использование электрических моделей-аналогов для исследования процессов в механических, тепловых и гидравлических системах. Это приводит к тому, что одна и та же ММ используется в различных предметных областях и возникает “родство” между различными отраслями знаний, приводящее к ускорению их совместного развития.

В настоящее время можно утверждать, что вычислительный эксперимент наряду с физическим и натурными экспериментами является основным способом исследования и получения новых знаний в различных областях естествознания.

Следует ожидать, что роль математического моделирования в дальнейшем будет возрастать, хотя оно не заменит физический или натурный эксперимент, так как опыт всегда останется основой исследования. Активное использование математического моделирования в различных областях человеческой деятельности обусловлено многими причинами, основными среди которых являются следующие:

•усложнение исследований, для которых необходимо использовать сложные экспериментальные установки или модельные объекты;

•большие финансовые, энергетические и другие затраты на обслуживание экспериментов;

3

•необходимость решения экологических, социальных и других сопутствующих исследованию проблем;

•невозможность проведения физического или натурного эксперимента в ряде областей исследования.

Кперечисленным выше причинам активного использования математического моделирования следует добавить возможность сокращения сроков исследования, а также возможность их многократного и быстрого повторения, уточнения и хранения результатов исследования и т.п.

Практическая реализация возможностей математического моделирования и вычислительного эксперимента существенно повышает эффективность инженерных разработок особенно при создании принципиально новых, не имеющих прототипов машин и приборов, материалов и технологий, что позволяет сократить затраты времени и средств на использование в технике передовых достижений физики, химии, механики и других фундаментальных наук. Использование математического моделирования позволяет повысить производительность труда и уменьшить влияние субъективного “человеческого фактора” при принятии решений.

Таким образом, математическое моделирование становится основным способом исследования и получения новых знаний. Поэтому дисциплина “Основы математического моделирования” является одной из основных при подготовке инженеров-математиков по специальности “Прикладная математика”. Можно сказать, что математическое моделирование — это то, чем занимаются прикладные математики.

Возможности, которые открывает математическое моделирование, являются перспективными и заслуживают детального рассмотрения.

1.2. Основные этапы математического моделирования

Для рассмотрения основных этапов математического моделирования целесообразно предварительно рассмотреть условную схему (рис. 1), определяющую последовательность проведения этих этапов.

Исходной позицией любого исследования является объект исследования — носитель неизвестных свойств и качеств, подлежащих изучению. Он выбирается согласно целям и задачам исследования. Далее под объектом исследования будем понимать технический объект (ТО), т.е. техническое устройство, его узел1, агрегат2 или систему3 устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в устройстве или системе.

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме (РС). Под РС следует понимать условное описание ТО, которое должно учитывать особенности и количественные характеристики объекта, существенные для рассматриваемого случая. При этом обосновывают допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в РС те особенности ТО, влияние которых предполагают несущественным. Иногда вместо РС используют термин содержательная модель ТО, а в некоторых случаях — концептуальная модель.

Успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в РС свойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения в дальнейшем достоверных результатов математического моделирования.

1Узел — часть машины, механизма, установки и т.п., которая состоит из нескольких более простых элементов (деталей).

2Агрегат — несколько машин, механизмов, работающих в комплексе (от латинского слова aggrego — присоединяю).

3Система — множество элементов, находящихся в отношениях, связанных друг с другом, образующих некоторую целостность (от греческого слова sysntema — целое, составленное из частей; соединение).

4

того, такое сравнение позволяет наилучшим образом выбрать рабочий вариант ММ для детального количественного анализа.

Итог анализа на рассматриваемом этапе — это обоснованный выбор рабочей ММ.

На четвертом этапе формулируют вычислительную задачу, анализируя результаты решения которой можно получить ответы на интересующие вопросы, осуществляют обоснованный выбор или построение численного метода.

Как правило, численный метод содержит только принципиальную схему решения вычислительной задачи, не включающую многие детали, без которых становится невозможным использование средств вычислительной техники для реализации этого метода. Тут необходима подробная детализация всех этапов вычислений, для того чтобы получить реализуемый алгоритм вычислительного эксперимента.

Разработка эффективного алгоритма вычислительного эксперимента является итогом четвертого этапа математического моделирования.

Пятый этап математического моделирования состоит в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость корректировки РС и соответствующей ММ.

После устранения всех выявленных недочетов приступают к проведению вычислительного эксперимента, что составляет содержание завершающего седьмого этапа математического моделирования. Результаты вычислительного эксперимента справедливы при тех же условиях, при которых адекватна рабочая ММ. В связи с этим обоснование достоверности полученных результатов может привести к необходимости изменения РС и соответствующей ММ.

Итогом выполнения седьмого этапа является достижение поставленных целей и решение задач исследования.

Представленная последовательность этапов имеет общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться.

1.3. Математические модели в инженерных дисциплинах

Осуществление отдельных этапов математического моделирования, рассмотренных выше, требует определенных знаний, навыков и практической подготовки. Если первый, седьмой и частично шестой этапы применительно к моделированию ТО типичны для инженера, то второй, третий и четвертый этапы предполагают наличие серьезной математической подготовки, а пятый – навыков в разработке и отладке ЭВМ-программ. Поэтому к математическому моделированию сложных ТО приходится привлекать и инженеров, и математиков, и программистов. Однако для координации их усилий необходимы специалисты, способные осуществить каждый из рассмотренных этапов на высоком профессиональном уровне.

Подготовка таких специалистов составляет одну из ключевых проблем, от успешного решения которой зависит эффективное использование возможностей математического моделирования при создании технических устройств и их систем. Решение этой проблемы, вероятно, по силам ряду созданных в последние годы технических университетов.

Успех в решении указанной проблемы в значительной степени зависит от укрепления междисциплинарных связей между курсами высшей математики, физики, теоретической механики, химии, информатики и инженерными дисциплинами. Связующим звеном при этом могут быть ММ явлений и процессов, являющихся предметом изучения в дисциплинах естественнонаучного цикла и лежащих в основе функционирования ТО в конкретных областях техники. Эта связь может обеспечить методическое единство и преемственность циклов математической, естественнонаучной и специальной подготовки будущего инженера.

6