Одной из важнейших задач математической статистики является нахождение взаимосвязи между факторами и откликом при наличии входных неконтролируемых параметров. Например, зависимость между факторами и откликом можно представить в виде

где β0, β1, ..., βd — коэффициенты регрессии; F0, F1, ..., Fd — линейно независимые базисные функции; e — случайная величина.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Основное назначение регрессионного анализа — получение по экспериментальным данным регрессионных моделей. Далее ограничимся рассмотрением только регрессионных моделей вида (1), т. е. моделей линейных по параметрам

β0, β1, ..., βd.

Система базисных функций выбирается обычно исходя

тов. В качестве базисных функций обычно используют тригонометрические функции, системы ортогональных полиномов и др. В настоящее время чаще всего применяют полиномиальные регрессионные модели.

В регрессионном анализе считают, что вид модели (1) известен полностью. Однако такая ситуация, когда заранее можно указать форму регрессионной модели, полностью соответствующей объекту исследования, встречается весьма редко. Поэтому проводят постепенное усложнение модели.

5

Например, в случае полиномиальной регрессионной модели повышают порядок полинома, начиная с линейной регрессионной модели

y (x1, x2 , ..., xn )=β0 +β1 x1 +β2 x2 +... +βn xn +e , (2)

где β0, β1, ..., βn — коэффициенты регрессии; 1, x1, ..., xn — базисные функции (F0 = 1, F1 = x1, ..., Fn = xn); e — случайная величина.

Классический регрессионный анализ может быть применен при выполнении следующих условий.

1.Случайная величина e подчиняется нормальному закону, т. е. e N (0, σe ).

2.Случайные величины e при различных наблюдениях некоррелированы. На практике полагают, что для обеспечения данного требования достаточно использовать рандомизацию.

3.Вклад, вносимый случайными ошибками измерения в

дисперсию σe2 случайной величины e, должен быть пренебрежимо мал.

4. Векторы

(f1 j , f2 j , ..., fNj ), j = 0, …, d,

являются линейно независимыми, где fij — значение j-й базисной функции Fj в i-м опыте. Это условие ограничивает общее число коэффициентов, входящих в регрессионную модель, т. е. d +1 ≤ N , где d +1 — число базисных функций; N — число опытов.

Регрессионный анализ включает в себя:

•определение точечных оценок неизвестных коэффициентов регрессии и дисперсии случайной величины e;

•статистический анализ полученных результатов, т. е. выявление значимых коэффициентов регрессии, проверку адекватности и работоспособности регрессионной модели.

6