учебный год 2023 / Макет практического пособия 2011-1

Полученный график называется полигоном частот, а многоугольник, который ограничен графиком, осью абсцисс и прямыми х = Х1 и х = Xm называется эмпирическим многоугольником распределения.

Если количество элементов выборки слишком велико то в этом случае закон распределения задается интервальным рядом. Для того, чтобы построить интервальный закон распределения необходимо:

1)найти минимальное и максимальное значение параметра выборки;

2)затем разделить отрезок от Хмин до Хмакс на равные интервалы так, чтобы в каждый интервал попало хотя бы одно значение признака;

3)подсчитать количество значений признака, попавших каждый в интервал, причем, если какое-то значение признака попадает на границу интервала, то абсолютную частоту данного значения напополам относят к левому и к правому интервалу;

4)составить интервальный ряд.

Гистограмма – это изображение интервального ряда графически. w = ni / n - высота строящегося прямоугольника.

Числовые характеристики выборки.

Выборочная средняя: Eв = (х1 + х2 + ... + хn ) / n (среднее арифметическое) Выборочная дисперсия:

Dв = ((х1 − Eв )2 + (х2 − Eв )2 + ... + (хn − Eв )2 ) / n или

Dв = Eв ( X 2 ) − (Eв ( X ))2 = (х12 + х22 + ... + хn2 ) / n − ((х1 + х2 + ... + хn ) / n)2

Примеры решений задач.

1.При проведении контроля качества среди 1000 случайно отобранных деталей оказалось 5 бракованных. Сколько бракованных деталей следует ожидать

среди 25 000 деталей?

Решение.

Вероятность того, что произведенная деталь бракованная : P = 5/1000 = 0,005. Следует ожидать такую частоту и в дальнейшем, поэтому среди 25 000 деталей окажется около 25 000 * 0,005 = 125 бракованных.

2.В таблице приведены ежегодные значения денежной массы и национального дохода в млрд. денежных единиц некоторой страны. Найти коэффициент корреляции между этими показателями (в программе Excel).

Решение.

Пусть X – денежная масса, Y национальный доход

21

ρв ( X , Y ) = Eв ( XY ) − Eв ( X )Eв (Y )

Dв ( X ) Dв (Y )

Eв (Y ) = (5+5,5+6+7+7,2+7,7+8,4+9+9,7+10)/10=7,55

Eв ( X ) = 3, 72

Eв ( XY ) = (2 5 + 2, 5 5, 5 + ... + 5 10) ÷ 10 = 29, 595 Eв ( X 2 ) = 14, 718

Eв (Y 2 ) = 59, 703

Dв ( X ) = Eв ( X 2 ) − (Eв ( X ))2 = 0, 93787

Dв (Y ) = Eв (Y 2 ) − (Eв (Y ))2 = 1, 643

ρв ( X , Y ) = 0, 979094

Вычислим эти значения в программе Excel двумя способами: по формулам приведенным выше и по статистическим формулам, встроенным в Excel.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Из озера выловили 86 рыб, которых пометили и отпустили обратно в озеро. Через неделю произвели повторный отлов – на этот раз поймали 78 рыб, среди которых оказалось 6 помеченных. Сколько приблизительно рыб живет в озере?

2.Население города N составляет около 400 000 жителей. Сколько жителей города N родилось 29 февраля?

22

3. В коробке 100 шаров белого и черного цвета. Из нее 60 раз вынули шар, возвращая его каждый раз обратно. При этом белый шар появился в 18 случаях. Сколько белых шаров в коробке?

4. Определить коэффициент корреляции между успеваемостью и посещаемостью студентами занятий. Если X – количество занятий, посещенных студентами, Y

– количество сданных в срок зачетов и экзаменов.

5. Используя Excel, по формуле найти коэффициент корреляции между случайными величинами, представленными выборками: a) X3 и X5, б) X4 и X5, c) X1 и X2, d) X4 и X3.Проверить результат, воспользовавшись функцией КОРРЕЛ из категории статистические.

6.Используя Excel, по формуле найти коэффициент корреляции между случайными величинами: курсом доллара США и ЕВРО.

Проверить результат, воспользовавшись функцией КОРРЕЛ из категории статистические.

Контрольные вопросы:

1.Что такое генеральная совокупность?

2.Что такое выборка?

23

3.При каких условиях выборка будет репрезентативной?

4.Что такое эмпирический закон распределения?

5.Какие числовые характеристики выборки?

24

cov( X ,Y ) = 1 ∑n (xi - x) × ( yi - y) = xy - x × y - ковариация, n i=1

ρ( X ,Y ) = cov(X ,Y ) - коэффициент корреляции.

σx ×σ y

Регрессия. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов.

Регрессия – это зависимость среднего значения случайной величины от какой-либо другой случайной величины или нескольких величин.

Пусть X и Y – случайные величины.

Если Y = f(X), где X – независимая переменная, а Y – зависимая, то величины X и Y связаны строгой функциональной зависимостью.

Если же такой строгой зависимости нет, то можно подобрать такую функцию f(X,β), где β – некоторый параметр, которая наилучшим образом описывает зависимость X

и Y.

Такая замена одних объектов другими, близкими к исходным, называется аппроксимацией. В данном случае функция f(X,β) аппроксимирует зависимость между X и Y, является так называемым приближением к f(X).

Стандартный метод оценки регрессии основан на использовании полиномиальной

модели (n³1): Y = f(X,β) = β0+β1X+β2X2+…+ βnXn, где β = (β0,β1,β2,…, βn).

Это уравнение называется уравнением регрессии, соответствующий график – линией регрессии, β0,β1,β2,…, βn – коэффициентами регрессии величины Y по X, а переменная Х – регрессором.

Коэффициент корреляции ρ(X,Y) служит мерой зависимости, которой соответствует линейная регрессия (n=1): f(X,β)=β0+β1X, или, в более привычном виде: f(X,β)=aX+b, где b=β0, a=β1. Если коэффициент корреляции близок к 1 или -1, то линейная регрессия дает наилучший результат.

Регрессионная зависимость между случайными величинами исследуется по статистическим данным. При этом решаются три основные задачи:

1)выбор модели регрессии, что включает в себя предположение о зависимости функции регрессии от X и β, и выбор этой функции;

2)оценка параметров в выбранной модели методом наименьших квадратов;

3)проверка статистических гипотез, т.е. проверка результатов путем вычисления ошибок аппроксимации.

Все эти задачи решаются в разделе математической статистики, называемом

регрессионный анализ.

Метод наименьших квадратов (МНК) - статистический метод оценки неизвестных величин по результатам измерений, наблюдений, т.е. статистических данных, содержащих случайные ошибки.

С помощью МНК решается задача аппроксимации набора значений случайных величин X и Y линейной функцией Y = f(X,β)=aX+b.

25

Задача состоит в оценке (подборе) коэффициентов a и b таким образом, чтобы минимизировать квадратичное отклонение функции f(X,β) = aX+b от случайной величины Y:

n

F (x) = ∑( yi - (axi + b))2 , где xi , yi - значения случайных величин X и Y

i =1

соответственно.

Оценки коэффициентов по методу наименьших квадратов вычисляются по формулам:

= xy - x × y

a , b = y − ax . x2 - x 2

Для вычисления коэффициентов регрессии можно использовать программу MS Excel, статистическую функцию ЛИНЕЙН().

Подставив коэффициенты a и b в уравнение, можно вычислить значения Y для любых значений Х, построить соответствующий полученному уравнению график – линию регрессии (на диаграмме MS Excel - линию тренда).

Можно также вычислять прогнозные значения случайной величины Y для новых значений случайной величины X, используя функции ПРЕДСКАЗ() и ТЕНДЕНЦИЯ(). Существуют различные оценки качества полученного уравнения регрессии. Одной из таких оценок, например, является средняя относительная ошибка аппроксимации, вычисляемая по формуле:

считается 8-10%. Абсолютные ошибки вычисляются как разность yi - (axi + b) .

В MS Excel есть возможность вычислить и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2. Эта величина может принимать значения от 0 до 1 и называется квадратом смешанной корреляции, который при хорошей аппроксимации близок к 1.

Лабораторная работа №1.

Выполнить задание и сохранить результаты в папку "Мои документы". Дать файлу имя ЛП-Фамилии студентов, например: Л1-ИвановПетров.xls

26

Коэффициент корреляции ρ =0,979094337

Если коэффициент корреляции близок к 1, то зависимость между случайными величинами близка к линейной.

В этом случае можно аппроксимировать эту зависимость при помощи линейной функции y = ax+b.

Для построения графика этой функции необходимо вычислить коэффициенты a и b.

Сначала научимся строить диаграмму, показывающую зависимость двух рядов данных друг от друга:

Отсортировать данные в таблице по возрастанию по столбцу "Денежная масса":

Выделить таблицу и выбрать команду Данные-Сортировка, установить сортировку по указанному столбцу.

Построение графика зависимости денежной массы от национального дохода.

1)Выделить в таблице столбцы "Денежная масса" и "Национальный доход" вместе с заголовками

2)Выбрать команду Вставка-Диаграмма

3)В Мастере диаграмм:(шаг 1) Выбрать тип диаграммы "Точечная" , (шаг 2) ряды данных - в столбцах, (шаг 3) легенда - внизу, заголовоки: название диаграммы -"Линейная зависимость", (шаг 4) - на

имеющемся листе.

4)Щелкнуть на точках диаграммы правой кнопкой мыши, Формат рядов данных: линия - обычная.

Построение графика линейного приближения:

1) Построить таблицу:

2)Выделить пустые ячейки этой таблицы и выбрать команду: Вставка-Функция

3)В группе "Статистические" выбрать функцию ЛИНЕЙН(), во втором шаге указать:

Известные значения у - из столбца "Национальный доход",

Известные значения х - из столбца "Денежная масса",

закончить команду не щелчком на кнопке "ОК", а нажатием комбинации клавиш Ctrl-Shift-Enter

4) Добавить в таблицу столбец: ax+b, значения вычислить по формуле, приняв за х соответству

27

значение денежной массы из той же строки таблицы, например: =$A$58*B46+$B$58

5) Щелкнуть правой кнопкой мыши на области диаграммы, выбрать Исходные данные, добавить ряд "ax+b",

Имя: "Линейное приближение", Х - выделить значения из столбца "Денежная масса", Y - выделить значения

из столбца "ax+b", после добавления ряда щелкнуть на точках диаграммы правой кнопкой, выбрать "формат ряда данных", добавить линию, соединяющую точки.

Построить линию тренда - линейное приближение.

1)Щелкнуть правой кнопкой на линии ряда "Национальный доход" на диаграмме.

2)Выбрать "Добавить линию тренда", Тип - линейный, ОК. Убедиться, что две последних линии совпал

28

Вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

1)Добавить в таблицу столбец для вычисления относительной ошибки аппроксимации в каждой точке (y-(ax+b))/y.

2)В каждую ячейку этого столбца записать соответствующую формулу, используя столбцы Y и

ax+b.

3)Под этим столбцом записать формулу для вычисления средней относительной ошибки.

4)Записать полученный результат: Ā = ______________________ Превышает ли полученное значение 10%? ________

29

Лабораторная работа №2.

Выполнить задание и сохранить результаты в папку "Мои документы".

Дать файлу имя по фамилии студентов, например: Л2-ИвановПетров.xls

Наберем таблицу в MS Excel и вычислим сумму по столбцам Y1,Y2.

Вычислим среднее выборочное значение каждой случайной величины

E(Y1)=СРЗНАЧ($B$7:$B$13)

E(Y2)=СРЗНАЧ($C$7:$C$13)

икоэффициент корреляции этих случайных величин:

ρ(Y1,Y2)=КОРРЕЛ(B7:B13;C7:C13)

Построим графики случайных величин Y1,Y2 и убедимся, что они похожи. Используем команду Вставка-Диаграмма, Тип - график, ряд данных - столбец Y1,

30