учебный год 2023 / Макет практического пособия 2011

d)(1 1) (0 1)

e)0 (0 (0 1))

4.Подтвердить таблицами истинности следующие равенства:

c)X = X (закон двойного отрицания)

d)X X = 0 (закон противоречия)

e)X X = 1 (закон исключения третьего)

f)X (Y Z ) = ( X Y ) Z (ассоциативность сложения)

g)X (Y Z ) = ( X Y ) Z (ассоциативность умножения)

относительно умножения)

5.Выбрать из списка все кодексы, которые были приняты в период с 1 июля 2002 года по 31 октября 2002 года.

Построить 2 характеристические функции f1 и f2, задав соответствующие подмножества на множествах аргументов Вид документа (A1) и Дата (A2). Выбрать и применить булеву функцию к значениям этих двух характеристических функций (вместо многоточия поставьте нужную булеву функцию). Сколько документов в списке, на которых эта булева функция принимает значение

11

и органами государственной власти Республики Саха (Якутия) (Москва, 26 сентября

2002 г.)

6Водный кодекс Российской Федерации от 16 ноября 1995

г. N 167-ФЗ

6.Выбрать из списка все документы, которые являются приказом или постановлением и были приняты в июле 2002 года.

Построить 3 характеристические функции (f1, f2и f3), задав соответствующие подмножества на множествах аргументов Вид документа (A1 и A2) и Дата (A3).

Выбрать и применить булевы функции к значениям этих характеристических функций (вместо многоточия поставьте нужные булевы функции).

Сколько документов в списке, на которых эти булевы функции принимают значение

1?

12

3Постановление Правительства РФ от 17 июля 2002 г. N 533 "О внесении изменений и дополнений в Положение о Министерстве Российской Федерации по связи и информатизации"

4Приказ Минэнерго РФ от 6 августа

2002 г. N 256 "О

внесении изменений в приказ Минэнерго России от 14 мая

2001 г. N 137"

5Арбитражный

процессуальный кодекс РФ от 24

июля 2002 г. N 95-

ФЗ

7.Выбрать из списка все федеральные законы, которые были приняты в период с 1 июля 2002 года по 31 июля 2002 года.

Построить 2 характеристические функции f1 и f2, задав соответствующие подмножества на множествах аргументов Вид документа (A1) и Дата (A2). Выбрать и применить булеву функцию к значениям этих двух характеристических функций (вместо многоточия поставьте нужную булеву функцию). Сколько документов в списке, на которых эта булева функция принимает значение 1?

8.Выбрать из списка все документы, которые являются приказом или инструкцией и были приняты в октябре 2002 года.

13

Построить 3 характеристические функции f1, f2и f3, задав соответствующие подмножества на множествах аргументов Вид документа (A1 и A2) и Дата (A3). Выбрать и применить булевы функции к значениям этих характеристических функций (вместо многоточия поставьте нужные булевы функции). Сколько документов в списке, на которых эти булевы функции принимают значение 1?

1.Что такое функция?

2.Что такое нечеткое множество?

3.Что такое характеристическая функция?

4.Что такое булевы функции?

3.Основы теории вероятности.

Событие называется случайным, если при некотором комплексе условий оно может либо произойти, либо не произойти.

Относительной частотой случайного события A называется отношение числа случаев появления этого события m к общему числу испытаний n .

0 ≤ m ≤ 1 n

Событие называется достоверным, если в рассматриваемом испытании оно обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если в рассматриваемом испытании оно произойти не может.

14

Суммой A + B случайных событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из них.

Произведением AB событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошли оба события.

Пусть имеется множество из n-случайных событий. События называются элементарными, если при всяком испытании произойдет одно и только одно из этих n событий и все события равновозможны.

Классическое определение вероятности. Если событие A является суммой m

элементарных событий, то его вероятностью называется дробь m , где n - число

n

всех элементарных событий.

События A и B называются несовместными, если появление одного из них в некотором испытании исключает появление другого.

Если A и B совместные события, то справедлива формула:

P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB)

Обозначим через A событие, заключающееся в том, что событие A не произошло.

События A и A называются противоположными.

События A1, A2 ,..., An образуют полную группу событий для данного испытания, если в результате испытания произойдет одно и только одно из этих событий.

Вероятность события A при условии, что произошло некоторое другое событие B называют условной и обозначают символом PB ( A) .

Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого в предположении, что первое событие произошло:

P( AB) = P( A) × PA (B)

Два события называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие:

P( A) = PB ( A) = PB ( A)

Примеры решений задач.

1.Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпадет шесть очков.

Решение.

При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных исходов равно числу пар (x, y), где x и y принимают значения 1, 2, 3,

4, 5, 6:

15

т. е. общее число исходов равно 36, число исходов благоприятных для события А ("в сумме выпадет шесть очков") равно 5. Р(А)=5/36.

2. Определить вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы на одной кости выпадет 6 очков.

Решение.

Пусть А – выпадение шести очков при бросании первой игральной кости и В – то же, но для второй игральной кости. Так как события А и В совместны, то Р(А)=1/6,

Р(В)=1/6, Р(АВ)=1/36, искомая вероятность Р(А+В)=1/6+1/6-1/36=11/36.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Пусть А, В и С – три произвольных события. Какое выражение описывает событие, состоящее в том, что из А, В и С все три события произошли: АВС, А+ В+С, АВ+ВС+СА?

2.Пусть А, В и С – три произвольных события. Какое выражение описывает событие, состоящее в том, что из А, В и С произошло хотя бы одно из этих событий: АВС, А+В+С, АВ+ВС+СА, ¬ А¬ В¬ С.

3.Пусть А, В и С – три произвольных события. Какое выражение описывает

событие, состоящее в том, что из А, В и С не произошло ни одно событие:

¬ А¬ В¬ С, ¬ А+¬ В+¬ С, АВС?

4.Пусть А, В и С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В и С

a)произошли А и В, но С не произошло;

b)все три события произошли;

c)произошло хотя бы одно из этих событий;

d)не произошло ни одно событие.

5.В семье Джонса пятеро детей - все девочки. М-с Джонс: "Надеюсь, наш следующий ребенок не будет девочкой". М-р Джонс: "Дорогая, после того как у нас родилось пять девочек, наш следующий ребенок непременно будет мальчиком". Верно ли мнение м-ра Джонса?

6.Бросают игральную кость. Чему равна вероятность , что выпал четный номер?

7.Бросают две игральные кости и смотрят сумму выпавших очков. Чему равна вероятность того, что сумма очков равна:

a)4

b)3

c)2 или 4

d)6 или 7 или 8

8.Бросают две игральные кости. Пусть А – событие, состоящее в том, что сумма очков – нечетное число, а В – событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица.

a)описать события АВ, А+В, и ВВ;

b)найти их вероятности, при условии, что все 36 элементарных событий равновероятны.

16

9.Из цифр {1,2,3,4,5} сначала выбирают одну, а затем из оставшихся четырех – вторую. Допустим, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что:

a)в первый раз будет выбрана нечетная цифра;

b)во второй раз будет выбрана нечетная цифра;

c)оба раза будет выбрана нечетная цифра.

10.Из колоды карт 36 листов вынимают 1 карту.

a)какова вероятность того, что вынут туз?

b)какова вероятность того, что вынут туз или дама?

c)какова вероятность того, что вынута пика?

11.Из колоды карт 36 листов вынимаются 4 карты.

1)какова вероятность того, что это дама, валет, король и туз?

2)какова вероятность того, что все карты одной масти?

12.Из колоды карт 52 листа вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что все они разной масти?

13.Подбрасывают две монеты.

a)какова вероятность, что выпадет 2 герба?

b)какова вероятность, что не выпадет 2 герба?

14.Из корзины с 7 шарами достают 2 шара. Какова вероятность вынуть 1 красный и 1 синий шар, если известно, что в корзине 3 белых и 2 синих шара, а остальные – красные?

15.Пусть в урне находится 10 шаров, 3 белых и 7 черных. Выбираем наудачу 1 шар, не возвращаем его в урну, выбираем 2– ой шар. С какой вероятностью оба шара будут белыми?

16.Вероятность попадания в цель при стрельбе у 1-го стрелка 0,9, у второго 0,7. Найти вероятность, что, стреляя 1 раз:

a)оба попадут в цель;

b)оба не попадут в цель.

17.Вероятность успешного прыжка у первого прыгуна р(А)=0,8, а у второго – Р(В)=0,9. Какова вероятность того, что:

a)оба возьмут высоту?

b)только один прыгун возьмет высоту?

18.На экспертизу поступили три партии одинаковых изделий по 20 шт. В первой коробке было одно бракованное изделие, во второй – 2, в третьей – 4. Из каждой коробки наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что все три изделия окажутся бракованными?

19.В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным?

20.Библиотека ВУЗа пополняет свой фонд, получая книги от трех издательств А, В, С. Вероятность поступления книг от издательства А равна 0,35, от издательства В – 0,4. Найти вероятность того, что очередная партия книг поступит от издательства С.

21.На каждой из 5 одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: К, И, Н, А, Г. Найти вероятность того, что в наугад расположенных карточках можно будет прочитать слово "КНИГА".

22.Из групп А, В и С студенты сдают работы. Вероятность поступления контрольной работы из группы А равна 0,6, из группы В - 0,1. Определить вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из группы С.

23.В комоде ровно 6 красных носков, 4 синих и 8 черных. Один черный носок вынули. Какова вероятность, что следующий носок, вынутый из комода, тоже будет черным?

17

24.Имеется 20 экзаменационных билетов, пять из которых счастливые. У кого больше шансов вытащить счастливый билет – у студента, который берет билет первым, или у студента, который берет билет вторым?

25.Студент пришел на экзамен, зная 15 из 20 билетов. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если после отказа отвечать на билет ему предоставляется возможность вытянуть еще один билет.

Контрольные вопросы:

1.Что изучает теория вероятностей?

2.Что такое вероятность?

3.Что понимают под случайностью?

4.Что понимают под случайным событием?

5.Чем характеризуется пространство элементарных событий в классической вероятностной модели?

6.Какие события называются независимыми, несовместными, противоположными?

7.Для каких двух событий A и В верна формула: P(A*B)=Р(А)*Р(В)?

8.Для каких двух событий A и В верна формула: P(A+B)=Р(А)+Р(В)?

4.Случайные величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает наперед неизвестное значение, зависящее от многих причин, которые нельзя учесть. Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

случайной величины и их вероятностями называют законом распределения случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число E( X ) , которое вычисляется следующим образом:

E( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn .

Дисперсией дискретной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D( X ) = E [ X − E( X )]2

Коэффициент корреляции симметричен относительно X и Y .

Свойства коэффициента корреляции:

1. −1 ≤ ρ ( X , Y ) ≤ 1 для любых случайных величин X и Y .

18

ρ( X , Y ) = 0 может иметь место и для зависимых X и Y .

4.ρ (a1 x + b1 , a2 y + b2 ) = ρ (x, y) для любых действительных чисел a1 , b1 , a2 , b2 .

Примеры решений задач.

1. Игра с подбрасыванием монеты. Один из игроков делает ставку на орла, а второй – на решку. Монету подбрасывают. Если она упадет орлом, то второй платит первому, например, рубль, а если решкой – первый платит второму рубль. Так как вероятности выпадения и орла и решки равны 0,5, то математическое ожидание выигрыша любого игрока равна 0 (безобидная игра).

Решение.

Е(Х)=1*0,5+(-1)*0,5=0

Задачи для самостоятельного решения.

1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании правильной монеты два

раза подряд. Определим X как случайную величину, равную числу выпавших "гербов". Написать закон распределения этой случайной величины. Найти математическое ожидание и дисперсию.

2.В урне 2 черных и 3 белых шара. Из урны наугад вынимают 2 шара. Случайная величина Х – число белых шаров среди вынутых. Построить закон распределения случайной величины Х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

3.Пусть в кошельке 3 купюры достоинством 10 рублей, 2 купюры достоинством 100 рублей и 2 купюры достоинством 500 рублей. Случайная величина Х – номинал купюры, случайно вынутой из кошелька. Построить закон распределения случайной величины Х. Найти для нее математическое ожидание и дисперсию.

4.Международный автомобильный концерн рассматривает возможность построения завода на территории другой страны для более эффективного распределения труда. Этот проект имеет три сценария: пессимистичный - потери 1 млрд. долларов, реалистичный - прибыль 2 млрд. долларов и оптимистичный - прибыль 3 млрд. долларов. Эксперты оценивают вероятности этих сценариев 25%, 50% и 25 % соответственно. Построить закон распределения случайной величины Х – предполагаемая прибыль проекта.

5.Строительная компания рассматривает строительство бизнес центра. Если площади удастся сдать в первый год после завершения строительства, то прибыль составит 3 млн. рублей. Если в течение 2-х лет, то 2 млн. рублей. Если в течение 3-х лет, то 1 млн. рублей. Эксперты по недвижимости подсчитали, что вероятность первого, второго и третьего варианта реализации площадей составляют соответственно 25%, 50% и 25%. Построить закон распределения случайной величины Х – предполагаемая прибыль. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Контрольные вопросы:

1.Что такое случайная величина?

2.Какая случайная величина называется дискретной, а какая – непрерывной?

3.Что такое математическое ожидание случайной величины (смысл и формула для дискретной случайной величины)?

19

4.Что такое дисперсия случайной величины (смысл и формула для дискретной случайной величины)?

5.Что такое коэффициент корреляции (смысл и формула для дискретных случайных величин)?

5.Элементы статистики.

Математическая статистика – это раздел математики, который занимается обработкой больших массивов данных.

Генеральная совокупность – вся совокупность объектов, подлежащих исследованию.

Выборкой называется подмножество исследуемых объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Выборка, которая адекватно отражает свойства генеральной совокупности, называется репрезентативной. Выборка будет репрезентативной, если она производится случайным образом.

Если генеральная совокупность неоднородна, то нужно разделить ее на существенно различные группы и из каждой группы выбрать случайным образом одно и то же количество элементов.

Пусть имеется выборка из n элементов, каждое из которых характеризуется значением признака Хi. Составим таблицу - эмпирический закон распределения:

Частоты будут близки к вероятности, при условии, что n достаточно большое число. Изобразим данные таблицы на графике:

б

20