1 сем / Лабники / lr_10

2. Теоретические основы работы

изическим маятником называется твердое тело, которое может со-

О

вершать колебания относительно неподвиж-

Ф

ной горизонтальной оси. Рассмотрим тело

массой m (рис. 1), подвешенное на горизон-

и

тальной оси, проходящей через точку О (точ-

ка подвеса). Если повернуть тело на угол от

Я

положения равновесия, то сила тяжести со-

здаст вращающий момент, проекция которо-

го на ось z, совпадающей с осью вращения,

будет выражаться соотношением

С

M z (mg) mgl sinφ,

(1)

Н

где l — расстояние от точки подвеса (точка О) до положения центра масс

тела (точка С). Знак “минус” в выражении (1) показывает, что возникший

вращающий момент направленИпротив углового перемещения тела и

стремится вернуть систему к положению равновесия.

Движение физического маятника

относительно

горизонтальной

оси,

У

проходящей через точку О описывается основным уравнением динамики

вращательного движения

Izεz Mz (mg),

которое, с учетом (1) принимает вид

М

Э

Iz z

mgl sin ,

(2)

где Iz — момент инерции тела относительно оси z,

εz — угловое ускоре-

ние в данный момент времени.

И

d2

Поскольку z

dt2 и при малых углах sin , то можно записать

d2

Iz

mgl 0

dt

2

или в стандартной форме

d2

2 0,

(3)

dt2

0

(t) m cos( 0t ),

(4)

О

mgl — собственная частота не-

где m — амплитуда колебаний; 0

Ф

I z

затухающих колебаний; — начальная фаза колебаний.

Поскольку пер од колебаний связан с циклической частотой 0

соот-

ношением

и

T

2

,

Я

0

то для периода колебаний физического маятника получаем

С

Iz

.

(5)

T 2

mgl

Частным случаем физического маятни-

ка является математический маятник, вся

Нмасса которого сосредоточена фактиче-

И

ски в точке и подвешена на достаточно

длинной нити. Момент инерции матери-

У

альной точки относительно оси опреде-

ляется выражением

Iz ml2.

М

(6)

Подставляя (6) в (5) получаем выраже-

Э

нием для периода колебаний математиче-

ского маятника Тм

И

Тм 2π

lм

,

g

(7)

где l — длина математического маятника.

Приведенной длиной физического ма-

Рис. 2. Оборотный

ятника lпр называют длину такого мате-

матического маятника, период колебаний

маятник

которого равен периоду колебаний физи-

ческого маятника. Из равенства периодов колебаний (5) и (7) получаем

l

Iz

,

(8)

пр

ml

Маятник, подвешенный на опоре А1 будет совершать колебания с пери-

одомФ

и

Т 2

Iz1

,

(9)

mgl

1

а подвешенныйЯна опоре А2 — с периодом1

С

Iz

2

Т2 2

.

(10)

mgl2

Оборотный маятник позволяетНдостаточно точно провести опытное

И

определение ускорения свободного падения. Перемещением одной из

опорных призм маятника (например,

А1) находят такое расположение

У

призм, при котором периоды колебаний маятника, подвешенного как на

призме А1, так и на призме А2, оказываются равными

Из (9) и (10) следует, что

Т1 Т2

Т0.

М

(11)

Iz

Iz

Э

,

l

l

2

1

1

2

И

Используя теорему Гюйгенса-Штейнера, получаем

I

c

mgl

2

I

c

mgl2

1

2

,

l2

откуда

l1

Ic ml1l2.

(12)

Iz

ml l

ml2

Iz

2

ml l

ml2

l

l

Т

2

1

2

1 2

1

Т

2

2

2

1 2

2

2

1

2

.

1

mgl1

mgl1

mgl2

mgl2

g

Тогда период колебаний маятника Т0 оказывается равным

Т0 2

l1 l2

.

(13)

g

Т1

Как следует из (13), при

найденном

положении призмы

А1 (когда

Т2 Т0) расстояние между опорными призмами L = l1 + l2 оказывает-

Ося равным приведенной длине физического маятника lпр. Точка К (рис. 1),

Ф

лежащая на л н и, соединяющей точку подвеса О с центром масс С на

расстоянии

lпр от точки подвеса О, называется центром качания. Точка

и

подвеса

точка качания обладают свойством взаимности: если маятник

подвесить так, чтобы ось подвеса прошла через точку К, то точка О ока-

Я

жется центром качания, а период колебаний маятника останется преж-

Ускорение свободного падения рассчитывается по соотношению (14):

С g

4 2L

,

(14)

T2

0

где Т0 определяется по результатам графической обработки эксперимен-

тальных данных,

L – расстояниеНмежду опорными призмами, которое в

случае Т1 = Т2 = Т0

оказывается равным lпр.

У

3. ОписаниеИсхемы установки

Название при-

Предел

Цена

Инструментальная

бора и его тип

измерения

деления

погрешность

О

Таблица 2

Ф

Определение периода колебаний маятника

№

Призма 2

Призма 1

опы

L= ,м

L= ,м

L= ,м

L= ,м

L= ,м

и

та

T2, с

Т1, с

1

Я

2

3

С

4

5

Н

4. Обработка результатов измерений

1. По данным табл.1 рассчитайте средние значения периода колебаний

маятника Т1

для каждого значения расстояния между призмами.

У

2. Постройте график зависимостиИпериода колебаний маятника Т1

от

расстояния L между призмами.

3. По данным табл.1 рассчитайте среднее значение периода колебаний

4. Определите по графику приведенную длину маятника lпр (найдя зна-

чение L, при котором Т1 Т2 Т0 ).

М

T

2

lпр

2

g g

4

о

.

T

l

о

пр

5. Контрольные вопросы

1.

Сформулируйте определения физического и математического маят-

ников.

2.

Дайте определение понятиям приведенная длина физического маят-

ника, центр подвеса и центр качаний маятника.

3.

Запишите основное уравнение динамики вращательного движения

для физического маятника и объясните смысл входящих в него величин.

4.

Запишите дифференциальное уравнение малых колебаний маятника.

О

5.

Выведите формулу периода колебаний физического маятника.

6.

Какой

маятник называют оборотным? Какие характеристики обо-

ротного маятника Вам известны?

7.

Вывед те формулу для определения приведенной длины физическо-

определение

гоФмаятника.

понятию “математический маятник“ как частно-

8.

Дайте

Я

му случаю ф з ческого маятника. Выведите формулу для периода коле-

баний математ ческого маятника.

С

Рекомендуемая литература

1.

Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие. В 3-х тт. Т.1.

Н

Механика. Молекулярная физика. 5-е изд., стер. — СПб.: Изд-во «Лань».

2006 г. С. 181 — 197.

2.

Д.А. Иванов, И.В. Иванова, А. . Седов, А.В. Славов. Механика. Мо-

лекулярная физика и термодинамика: Конспект лекций/ Под ред. А.В.

У

Кириченко. — М.: ИздательствоМЭИ. 2003. С.69 — 71.

М

Э

И