1 сем / Лабники / lr_09

О

1. Метод измерения и расчетные соотношения

цилиндр, шар, параллелепипед), подвешенное на тонкой упругой прово-

локеФ(подвесе) 2 так, чтобы линия подвеса проходила через центр масс

тела. При повороте тела относительно оси z на угол в проволоке возни-

кает крутящий момент, который стремится вернуть систему в исходное

положение равновесия. Если тело отпустить, то оно начнет совершать

крутильныеЯколебания. Движение тела можно описать, используя основ-

С

ное уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось z

n

I z

εz M i(z) ,

(1)

i 1

Н

где Iz — момент инерции тела относи-

тельно оси подвеса; z — угловое ускоре-

n

ние тела относительно оси z;

Иi(z)

M

—

i 1

У

алгебраическая сумма проекций моментов

М

сил на ось z.

Если допустить, что моментом сил

сопротивления

воздуха

можно прене-

Э

бречь, то движение будет определяться

только моментом упругих сил, возника-

И

ющих в проволоке при

ее

деформации

кручения. При малых деформациях воз-

Рис. 1. Схема крутильного

никающий крутящий момент будет про-

маятника

порционален углу скручивания проволо-

Мупр –k .

(2)

Знак минус в формуле (2) показывает, что момент упругих сил, воз-

никающих в подвесе, направлен против угла поворота φ,

препятствует

k G

πd

4

(3)

32l

новенного дифференциального уравнения второго порядка

О

I0 d2φ2 kφ

0

(4)

или

dt

Ф

2

d φ

2

и

,

(5)

dt2

ω0φ 0

где

d2φ

εz

— угловое ускорение тела относительно оси подвеса;

2

k

dЯt

ω0

— собственная циклическая частота колебаний.

Iz

С

Решением уравнения (5) является функция

φ(t) φ0 cosω0t,

(6)

где

Н

φ0 — максимальный угол отклонения системы от положения

равновесия.

И

Таким образом, колебания системы носят гармонический характер,

при этом период колебаний определяется выражением

У

Т 2π

2π

Iz

.

(7)

ω0

k

Методом

М

колебаний

крутильных

можно

определить момент

инерции

твердого тела относительноЭодной из

осей, проходящей через его центр масс.

И

Из соотношения (7) следует, что, зная

Изучаемое тело 1 (рис. 2) помещается

в рамку 2, которая закреплена на двух

Рис. 2. Схема системы подвеса

вертикальных соосных растяжках 3 и 4,

выполненных из упругих тонких метал-

Огде k = k1 + k2.

М М1 М2 –k ,

Ф

Учитывая, что

получаеми

πd 4

πd 4

k1 G

и k2 G

,

32l

32l

1

2

Яk G

πd 4 1

1

(8)

l

32

l

С

1

2

момента инерции изучаемого тела необходимо провести два опыта. Пусть

Н

—

I0 — момент инерции пустой рамки относительно оси подвеса, а Т0

период крутильных колебаний пустой рамки. Пусть также I1 — момент

TИT

инерции системы рамка-тело, а Т1 — период соответствующих колеба-

ний. Тогда, используя соотношение (7) можно записать

2

У

2

I

0

0 k и

I

1

k .

4π

1

4π

Поскольку момент инерции системы относительно некоторой оси ра-

М

вен сумме моментов инерции отдельных частей системы относительно

этой оси (свойство аддитивности для момента инерции), то

I1 I0 Iт ,

Э

(9)

где

Iт — момент инерции изучаемого тела.

И

Отсюда

Iт I1 I0

или

k

T12 T02

Iтэ

(10)

2

4π

I zт

m

a 2 b2

(11)

12

Следовательно, можно сравнить экспериментальное значение момента

инерции тела с его теоретическим значением относительно оси подвеса.

О

2. Описание схемы установки

жний

среднийФ4

5 кронштейны. Между кронштейнами 3 и 5 на тон-

ких проволоках-растяжках 6 закреплена рамка 7. Исследуемое тело 8

Я

С

Н

И

У

М

Э

И

2. С помощью штангенциркуля измерьте длины ребер исследуемого

О

параллелепипеда а, b и c. Измерения длины каждого ребра повторите три

раза, меняя место измерения длины ребра. Результаты запишите в табл.2.

Ф

и

Таблица 1

Спецификация измерительных приборов

Я

Инструментальная

Название

Пределы

Цена

прибораСи измерения

деления

погрешность

его тип

Н

И

Данные установки:

Масса параллелепипеда

У

,Δm = .

m =

Модуль сдвига материала нити

G = ,

,ΔG = .

Диаметр нити

d =

,Δd =

Длина нити над грузом

М

.

l1 =

,Δl1

=

Длина нити под грузом

l2 =

,Δl2

= .

Э

Таблица 2

Результаты измерений длины ребер параллелепипеда

И

№

a, мм

b, мм

c, мм

1

2

3

Среднее

Таблица 3

Результаты измерений времени десяти колебаний

крутильного маятника

№

Ребра

Ребра

Ребра

Пустая

a – c

a – b

b – c

рамка

τ1, с

τ2, с

τ3, с

τ0, с

О

1

2

3

Среднее

Ф

3. Закреп те исследуемый параллелепипед в рамке так, чтобы ребра

а и b наход л сь в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а ось

вращения проход ла через центр масс.

4. Измерьтеивремя 1

десяти полных колебаний системы. Измерения

повторите 3 раза. Результаты измерений занесите в табл. 3.

5. ЗакрепитеЯпараллелепипед в рамке так, чтобы ребра а и c находи-

лись в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а ось вращения про-

ходила через центрСмасс. Проделайте три опыта по измерению времени 2

Н

десяти полных колебаний параллелепипеда.

6. Закрепите параллелепипед в рамке так, чтобы ребра b и с находи-

лись в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а ось вращения про-

И

ходила через центр масс. Проведите три опыта по измерению времени 2

десяти полных колебаний системы.

У

грешности. Рассчитайте периоды колебаний по формуле Т

τi

.

iИ10

Рис. 4. Схемы расположения прямоугольнго параллелепипеда относительно оси

О

вращения

Примечан е.

Для положения параллепипеда относительно оси Z1

Ф

m

a 2 b 2

,

а для

рис. 4,б,

изображенного

на

рис. 4, а,

I

mи

z1т

12

I z2т

a

2 c 2

.

12

Я

5. Рассчитайте абсолютную погрешность экспериментальнго значе-

ния момента инерции параллелепипеда при различных его положениях

относительно осиСZ по формуле:

IЭаb

1

τ

2

τ

02 2 k 2

4k2

τ

2

τ 2

τ

02 τ0 2

2

2

4π

N

Н

7. Рассчитайте

погрешность

Iт теоретического

значения

момента

И

инерции, выбрав соответствующую формулу:

Iт1 m a2

a

2

b2 b 2,

6

У

Iт2 m

a2 a 2 c2 c 2,

6

М

m

Iт3

b2 b

2

2

6

c2 Эc .

5.

Каким образом в работе учитывается момент инерции рамки, в ко-

торой закрепляется параллелепипед?

6.

От каких характеристик зависит момент инерции твердого тела?

7.

Выполните вывод формулы для экспериментального определения

момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний.

8.

Назовите источники погрешности при определении момента инер-

ции твердого тела методом крутильных колебаний.

9.

Выведете формулу для расчета погрешности экспериментального

значения момента инерции изучаемого тела.

О

Рекомендуемая литература