Лабораторная работа № 7
ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ КРЕСТООБРАЗНОГО МАЯТНИКА (МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА)
Цель работы изучение динамики поступательного и вращательного движения твердых тел, определение момента инерции маятника.
О |
1. Метод измерений и расчетные соотношения |
|
Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой крестовину, состоящую
линдрическойФмуфте 2, которая насажена на горизонтальный вал 3. Система может вращаться относительно оси z, совпадающей с осью вала.
из четырех взаимно-перпендикулярных стержней 1, закрепленных в ци-
Стержнииявляются направляющими для грузов 4, массой m0 каждый, закрепляемых на определенном расстоянии от оси вращения. Меняя распо-
ложение грузовЯотносительно оси вращения, можно изменять момент инерции системы относительно этой оси в достаточно широких пределах. С муфтой 2 жестко и соосно связана система шкивов 5, разного диаметра,
на которые можетСбыть намотана нить 6 с закрепленным на ней грузом 7 массой m. Если, вращая систему и наматывая при этом нить на шкив,
поднять груз 7 на высоту h, а затем предоставить систему самой себе, то
груз 7 начнет двигаться равноускорено и поступательно, а крестовина — |
|
Н |
|
равноускорено вращаться. |
И |
|
|
|
У |
|
М |
|
Э |
|
И |
Рис. 1. Схема маятника Обербека
Движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения, которое в проекции на ось z, совпадающей с осью вращения, имеет вид
N |
|
Izε Mi z , |
(1) |
i 1 |
|
где — угловое ускорение маятника; Iz — момент инерции относительно |
||||||
оси вращения, включающий момент инерции крестовины и момент инер- |
||||||
О |
N |
|
|
|
|
|
ции грузов; M i z — алгебраическая сумма проекций моментов внеш- |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
них сил на ось z. |
|
|
|
|
|
|
На маятн к действуют момент силы натяжения нити Mz T2 T2r и |
||||||
силы |
|
|
|
|
|
|
момент |
трения в подшипниках M z Fтр . Учитывая знаки проекций |
|||||
|
Я |
|
|
|
|
|
этих моментов на ось z, из уравнения (1) получаем |
|
|
|
|||
|
|
Izε T2r M z Fтр . |
|
|
(2) |
|
Поступательное движение груза 7 массой m описывается вторым зако- |
||||||
ном Ньютона, которыйСв проекции на ось Y имеет вид |
|
|
||||
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
ma = mg – T1. |
|
|
|
(3) |
|
|
И |
|
|
|
|
Дальнейшие выводы проводятся при условиях: нить не растяжима и не |
||||||
обладает массой, проскальзывание между нитью и блоком отсутствует. В |
||||||
|
|
У |
|
|
|
|
этом случае ускорение всех точек нити и груза одинаковы и постоянны во |
||||||
времени, при этом ускорение поступательного движения груза 7 связано с |
||||||
угловым ускорением маятника соотношением |
|
|
|
|||
|
|
a = r, |
М |
(4) |
||
|
|
|
|
|
||
Из условия невесомости нити следует, что |
|
Э |
|
|||
|
|
T1 T2 T . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая движение описанной системы, можно эксперименталь- |
||||||
|
|
|
|
|
И |
|
но определить: ускорение поступательного движения груза 7, угловое |
||||||
ускорение маятника, момент силы натяжения нити, |
значение момента |
|||||
инерции системы как без грузов 4, так и при их фиксированном положении на стержнях. Изучить зависимость момента инерции маятника от распределения массы относительно оси вращения, экспериментально определить значение момента сил трения.
В эксперименте измеряется время прохождения грузом 7 расстояния h при движении системы без начальной скорости.
Из кинематического закона движения связывающего начальную высоту поднятия груза h, ускорение а и его время движения следует
|
|
|
|
a 2h2 |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя соотношения (4) |
и (5) |
|
получаем |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
2h |
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
rτ |
|
|
|
|
|
|
|
Момент силы натяжения нити Mz T Tr рассчитывается по данным |
||||||||||||||
эксперимента, используя соотношение (3) |
|
|
|
|
||||||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
|
|
(7) |
||
|
Mz T mr g |
τ2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если изменять массу m груза 7, то будет изменяться сила натяжения |
||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mz T , а также кинемати- |
||
нити Т, ее момент относительно оси вращения |
||||||||||||||
ческие параметры – ускорение груза и угловое ускорение маятника. При |
||||||||||||||
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
этом значен е момента инерции системы относительно оси z и момент |
||||||||||||||
сил трения относительно этой оси остаются неизменными. Тогда, проведя |
||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
два опыта, получаем |
Izε1 M z T1 M z Fтр |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(8) |
|||||||||||
|
|
Н |
|
|
|
|
||||||||
|
I z 2 |
M z |
T2 M z Fтр , |
(9) |
||||||||||
где 1 и 2 — угловое ускорение маятника, а Т1 |
и Т2 — сила натяжения ни- |
|||||||||||||
ти в каждом из опытов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (8) и (9) получаем расчетное соотношение для определения момента |
||||||||||||||
инерции маятника относительноИоси вращения |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
M z T2 M z T1 |
|
|
|||||||
|
|
Iz |
|
|
|
|
|
У |
(10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
М |
|
|||||
Перераспределив массы на крестовине маятника можно повторить |
||||||||||||||
опыты и определить новое значение момента инерции системы. |
|
|||||||||||||
|
2. Описание схемы установки |
|
||||||||||||
Общий вид экспериментальной установки приведенЭна рис. 2. На вер- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
тикальной стойке 1 закреплены кронштейны 2, 3 и 4. На кронштейне 3 смонтирован маятник Обербека — цилиндрическая муфта 5 с ввинченными в нее четырьмя жесткими стержнями 6. По стержням могут перемещаться грузы 7. Маятник Обербека жестко соединен с двухступенчатым шкивом 8. На шкиве имеется приспособление для закрепления нити. Намотанная на шкив нить перекинута через блок 9, установленный на кронштейне 2. Другой конец нити соединен с грузом 10.
О Фи Я С
НРис. 2. Схема установки
3.ПорядокИвыполнения работы
1.Заполните табл. 1 спецификации измерительныхУприборов и запишите данные установки. Для проведения опытов необходимы следующие средства измерений:
секундомер с разрешением не хуже 0,2 с;
линейка 11 с миллиметровой шкалой для определения расстояния, пройденного грузом.
Взависимости от конструкции установки возможно использование автоматической системы запуска и измерения времени электронными средствами. В состав системы входят фотодатчики перемещения и электронный секундомер, позволяющие производить отсчет времени прохож-
дение грузом расстояния h. Порядок ее использования, а также необходимые для расчетов данные указаны на установке.М
Таблица 1 Спецификация измерительных приборов
Название |
Пределы |
Цена |
Инструментальная |
|
прибора и его |
||||
измерения |
деления |
погрешность |
||
тип |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
Данные установки
Момент инерции крестовины без грузов I0 =
Масса груза на крестовине |
|
m0 = |
Радиус шкива |
|
r = |
Масса груза на нити |
m1= |
m1 , m2 = |
Расстояние грузов от оси вращения |
R1 = |
|
Высота поднятия груза |
|
h = |
, |
I0 = |
. |
, |
m0 = . |
|
|
, r = |
. |
|
, m2 = . |
|
|
, R2 = |
. |
|
. |
|
2. Установите грузы 7 на стержнях 6 (рис. 2) так, чтобы их центры масс |
|
находились на заданном расстоянии R1 от оси вращения. Перемещая гру- |
|
О |
|
зы 7 вдоль стержней, необходимо добиться, чтобы маятник находился в |
|
состоянии безразличного равновесия. Определите среднее значение рас- |
|
Ф |
|
стояния R от центров масс грузов до оси вращения. Для этого измерьте |
|
линейкой |
между наружным торцом одного груза и внутрен- |
расстояния |
|
ним торцом прот воположного груза для каждого стержня: l1 для одной
пары прот воположных грузов; l2 |
для другой пары. Вычислите и запиши- |
||||
С |
|
4 |
|
||
те среднее значениеЯ |
|
|
l1 l2 |
. |
|
R |
|
||||
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
3.Закрепите нить на маломНшкиве 8 радиусом r, к другому концу нити прикрепить груз 10 массой m1. Перебросьте нить через блок.
4.Вращая маятник, поднимитеИгруз 10 на максимально возможную высоту.
5.При выполнении работы измеряются
–расстояние по вертикали h, которое проходит груз 10 при свободном движении системы; расстояние h определяется по числу делений на вертикальной шкале линейки 11 между начальным и конечным положением нижнего торца груза 10 в соответствии с указаниями на установке;
–время t1 прохождения грузом расстояния h; порядок измерения времени прохождения грузом расстояния h приводится в указаниях на установке.
–среднее расстояние R1 между центрами масс подвижных грузов 7 на стержнях и осью вращения.
–для повышения точности эксперимента опыты повторите пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 2.
6.Проведите вторую серию измерений, прикрепив к нити груз массой
m2.
7.Изменив расстояние R2 от центра масс грузов 7 до оси вращения, по-У
вторите действия, описанные в пунктах 2-6.
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
|
Измерение времени движения груза |
|||||||
|
|
|
|
|
R2 = |
м |
|
|
|
№ |
|
R1 = |
м |
|
|||
|
|
|
m1 = |
m2 = |
m1 = |
m2 = |
|
|
|
|
|
кг |
кг |
кг |
кг |
|
|
|
|
|
t1, с |
t2, с |
t3, с |
t4, с |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ср. |
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
4. Обработка результатов измерений |
|||||||
и |
|
|
|
|
|
|
||
1. Для каждой серии измерений рассчитайте средние значения време-
ни движен я груза 10. Рассчитайте погрешности измерения времени движения грузовЯ.
2. По формуле (10), используя соотношения (6) и (7), рассчитайте значение момента инерции маятника для двух различных расположений гру-
зов 7 относительно оси вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Оцените погрешностьСэкспериментального определения IzЭ по фор- |
|||||||||||||||
муле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
2 |
|
|
|
t |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
|
I |
Нt2 |
1 |
|
|
|
t2 |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
zЭ |
|
zЭ |
|
И |
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(t2 |
t2) |
|
t1 |
|
|
|
t2 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Запишите окончательные результаты в стандартной форме.
5.Зная геометрию вращающейся системы, рассчитайте теоретическое
значение момента инерции маятника для каждого положения грузов на крестовине по формуле: У
|
|
|
|
|
М |
|
I |
zT |
I |
0 |
4m R2 |
, |
|
|
|
0 |
|
|
||
где I0 — момент инерции крестовины без грузов (указан на установке), R
—среднее расстояние между центрами масс грузов.
6.Рассчитайте погрешности теоретических значений момента инерции маятника. Запишите результаты измерений в стандартном виде.
5.Контрольные вопросы
1.Как рассчитать теоретическое значение момента инерции маятника Обербека? Какие параметры установки необходимо для этого знать?
2.Какая сила создает вращающий момент, действующий на маятник? Запишите выражение для момента этой силы. Укажите направление вектора момента силы.
3.Напишите основное уравнение динамики вращательного движения.Э
Охарактеризуйте физические величины, входящие в это уравнение.
4. Нить намотали на блок с другим радиусом. Какие характеристики движения при этом изменятся?
5. В установке изменили массу груза. Как изменятся при этом характеристики движения?
6. В установке изменили положение грузов на стержнях. Как изменятся при этом характеристики движения?
7. Можно ли воспользоваться законом сохранения механической энергии для описания движения системы?
8. Запишите соотношение, связывающее угловое ускорение маятника |
||
О |
|
|
бербека и линейное ускорение груза. При каком условии это соотноше- |
||
ние справедливо? |
|
|
9. Зачем в ходе проведения эксперимента грузы на крестовине устанав- |
||
ливаются в положение безразличного равновесия? |
||
|
один |
|
Ф10. Как змен тся характер движения маятника, если с крестовины |
||
снять |
з грузов? |
|
|
Я |
|
|
|
Рекомендуемая литература |
|
С |
|
1. Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие. В 3-х тт. Т.1. |
||
Механика. Молекулярная физика. 5-е изд., стер. — СПб.: Издательство
«Лань». 2006. С.106 — 111, 134 — 143, 151 — 155.
лекулярная физика и термодинамикаН: Конспект лекций/ Под ред. А.В. Кириченко. — М.: ИздательствоМЭИ. 2003. С.44 — 56.
2. Д.А. Иванов, И.В. Иванова, А. . Седов, А.В. Славов. Механика. Мо-
У М Э И