Лабораторная работа № 2
ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
Цель работы — изучение динамики поступательного движения твердого тела, экспериментальное определение коэффициента трения скольжения, расчет ускорения поступательного движения тела по наклонной плоскости.
|
1. Метод измерения и расчетные соотношения |
ОИзучение трения поверхностей твердых тел является чрезвычайно |
|
важной задачей: 90 % машин выходят из строя вследствие износа дета- |
|
лей, а |
мощности на трение могут достигать 40 %. |
Ф |
|
Трение имеет молекулярно-механическую природу. С одной стороны, на |
|
площадкахпотеринепосредственного контакта действуют силы Ван-дер- Ваальса, которыеЯпроявляются на расстояниях, в десятки раз превышающих межатомное расстояние, и повышаются с ростом температуры. Это взаимодействие объясняетСмолекулярную составляющую трения. С дру-
гой стороны, при движении тел будет происходить внедрение микроне-
ровностей более твердого тела в поверхность менее твердого. Сопротив- |
||
|
Н |
|
ление деформированию поверхностного слоя обусловило механическую |
||
составляющую трения. |
И |
|
Соотношение для силы трения скольжения Fтр μN , где |
μ— коэф- |
|
фициент трения скольжения, N — нормальная реакция, опоры носит название закона Амонтона. Данный законУсправедлив только для определенных нагрузочно-скоростных режимов и сочетаний трущихся материалов. Неожиданным следствием из этого закона является независимость силы трения от формы и размера поверхностиМноминального контакта тел. Это объясняется тем, что твердые тела контактируют не всей поверхностью, а отдельными пятнами (из-за шероховатости реальных поверхностей). Общая площадь таких пятен очень мала по сравнениюЭс номинальной площадью и растет линейно с увеличением веса тела. В свою очередь, сила трения пропорциональна фактической площади контактаИ.
Коэффициент трения μ (отношение силы трения к нормальной реакции опоры) может находиться в широком диапазоне значений от примерно 0,001 в легко нагруженных подшипниках качения до нескольких десятков для тщательно очищенных одноименных металлов, контактирующих в вакууме. При трении на воздухе коэффициент трения обычно меняется в пределах от 0,1 до 1.
Коэффициент трения скольжения может быть определен на основе измерения предельного угла
наклона плоскости пред — |
|
|
|
|
||||
минимального |
угла, |
при |
|
|
|
|
||
котором |
брусок начнет |
|
|
|
|
|||
скользить |
по |
наклонной |
|
|
|
|
||
плоскости. |
Под |
действием |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сил тяжести (mg ), трения |
|
|
|
|
||||
|
|
|
реак- Рис. 1. Брусок на наклонной плоскости |
|
||||
О(F ) и нормальной |
|
|||||||
Ф |
|
|
|
|
|
|
||
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
ции опоры (N ) брусок мо- |
|
|
|
|
||||
жет |
покоиться |
|
|
|||||
|
|
ли скользить по наклонной плоскости (см. рис.1). |
|
|||||
Если брусок находится в состоянии покоя, то |
|
(1) |
||||||
где F |
|
|
|
mg Fтр.пок N 0, |
||||
— сила трения покоя. |
|
|
|
|
||||
|
тр.пок |
Я |
|
|
|
|
||
В проекции на ось Х уравнение (1) принимает вид |
|
|
||||||
|
|
|
Сmgsinα Fтр.пок 0, |
(2) |
||||
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
где — угол при основании наклонной плоскости. |
|
|||||||
Если изменять угол при основании наклонной плоскости, то при неко-
тором значении угла пред брусок начнет скользить. При этом сила трения покоя принимает свое максимальное значение, равное силе трения сколь-
|
У |
жения |
И |
|
Fтр.пок.max Fтр.cк |
В свою очередь, модуль силы трения скольжения определяется выраже- |
|
|
М |
нием |
Fтр.ск μN , где — коэффициент трения скольжения, а N — сила |
нормальной реакции опоры.
Скольжение бруска в соответствии с вторым законом Ньютона описывается уравнением
ma mg N F |
, |
Э |
(3) |
тр.ск |
|
|
|
которое в проекции на ось Y (рис. 1) представляется соотношением |
|
||
0 N mgcosα. |
|
И |
|
|
|
|
|
В результате выражение для модуля силы трения скольжения принимает вид:
Fтр.ск μmg cosα. |
(4) |
На рис. 2 представлена зависимость силы трения покоя |
Fтр.пок и силы |
трения скольженияFтр.ск от угла при основании наклонной плоскости.
О |
|
|
|
Ф |
|
|
|
и |
и Fтр.ск в функции угла |
|
|
Р с. 2. Зависимости Fтр.пок |
|
||
Я |
|
|
|
При 0 < < пред |
на брусок действует сила трения покоя, определяемая |
||
законом синуса в соответствии с выражением (2). При = пред начинает- |
|||
С |
|
|
|
ся скольжение бруска. При этом на него начинает действовать сила тре- |
|||
ния скольжения, определяемая в соответствии с (4) законом косинуса. |
|||
При = пред силы трения становятся равными: |
|
||
|
Н |
|
|
|
Fтр.пок = |
Fтр.ск |
|
или |
И |
|
|
|
mgsinαпред μmg cosαпред. |
|
|
|
|
У |
|
Отсюда получаем связь между углом пред. и коэффициентом трения |
|||
скольжения |
μ tgαпред , |
|
(5) |
|
|
||
где пред — угол наклона плоскости, при котором начинается скольжение |
|||
бруска. |
|
М |
|
|
Э |
|
|
Рассмотрим систему связанных грузов. На рис. 3 показан брусок 2 ма- |
|||
лых размеров массой m, движущийся по наклонной плоскости 1 под дей- |
|||
|
|
И |
|
ствием силы натяжения T . Брусок связан с грузом 3 легкой нерастяжимой нитью 4, перекинутой через легкий блок 5.
При определенном соотношении между массами бруска и груза, угла при основании наклонной плоскости и коэффициента трения скольжения брусок будет двигаться вверх по наклонной плоскости с ускорением а. Найдем это соотношение, записав второй закон Ньютона применительно к бруску 2 и грузу 3.
О |
Рис. 3. Система наклонная плоскость - брусок-груз |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
Для груза 3 запишем: |
m2a2 m2g +T2, |
|
|
|
|
||||
Ф |
|
|
|
|
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Т2 — с ла натяжения нити, действующая на груз; а2 |
— ускорение |
||||||||
груза. В проекц |
на ось Y2 это уравнение имеет вид: |
|
|
|
|||||
|
Яm2a2 |
= m2g – T2 |
|
|
|
(6) |
|||
|
|
С |
|
|
|
|
|
||
Для бруска 2 справедливо следующее уравнение: |
|
|
|
|
|||||
Здесь Т |
|
|
m1a1 m1g T1 Fтр N . |
|
|
|
|
||
|
|
|
И |
|
|
а — ускоре- |
|||
— сила натяженияНнити, действующая на брусок; |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ние бруска; Fтр |
— сила трения скольжения. В проекциях на оси Х1 |
и Y1 |
|||||||
получаем: |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1a1 m1gsinα T1 Fтр |
|
|
|
(7) |
||
|
|
|
0 m1gcosα N |
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
М |
|
|||
В предположении, что нить и блок не обладают массой, и нить нерастя- |
|||||||||
жима, можно записать: |
T T |
T |
Э |
|
|||||
|
|
|
(9) |
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
a1 a2 |
a const |
|
И |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выбор модельных приближений для описания движения связанных грузов и их следствия более подробно обсуждаются в лабораторной рабо-
те №1. Решая совместно систему уравнений (6—9), |
учитывая, что |
||
Fтр μN , получаем соотношение для ускорения грузов: |
|
||
a |
m2 m1 sin cos |
g . |
(10) |
|
|||
|
m1 m2 |
|
|
Как следует из (10), движение бруска будет равноускоренным, если m2 m1 sin cos ˃ 0. Отсюда следует, что
μ < |
m2 m1sinα |
(11) |
|
|
m |
cosα |
|
|
1 |
|
|
Ускорение движения грузов, рассчитанное по соотношению (10) с учетом коэффициента трения, найденного из соотношения (5) может быть рассчитано из кинематических соотношений, подобно тому, как это делалось в лабораторной работе №1. Ускорение a системы «брусок-груз» определим, измерив, расстояние h, пройденное грузом 3, и время движения системы
Ф |
a |
2h. |
(12) |
|
О |
|
|||
и |
τ2 |
|
||
|
|
2. Описание схемы установки |
|
|
Схема экспериментальной установки приведена на рис. 4. |
|
|||
|
Я |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
И |
|
Рис. 4. Схема экспериментальной установки
Наклонная плоскость 1 изготовлена из трубы прямоугольного сечения, которая с помощью винтового зажима 2 крепится на вертикальной стойке 3, жестко связанной с массивной опорой 4. Наклонная плоскость 1 может поворачиваться относительно горизонтальной оси и фиксироваться
зажимом 2. Угол наклона наклонной плоскости к горизонту определяется по угловой шкале 5, с помощью стрелки 6, закрепленной на стойке 3.
Брусок 7 связан нитью 9 с грузом 8 и может перемещаться по наклонной плоскости. Связь бруска и груза посредством нити осуществляется с помощью системы блоков 10. На стойке 3 закреплена вертикальная линейка 11 с миллиметровой шкалой, служащая для измерения перемещения груза 8. Регулировочные винты 12 служат для установки опоры 4 в горизонтальном положении. Стопор 13 служит для ограничения движения грузов.
О |
3. Порядок выполнения работы |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Заполн те табл. 1. Запишите данные установки. |
||||||||
Ф |
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||
|
Спецификация измерительных приборов |
|||||||
|
Назван е |
|
Пределы |
|
Цена деле- |
Предел допусти- |
|
|
|
и |
измерения |
ния |
|
мой инструмен- |
|
||
|
пр бора |
|
|
|
||||
|
егоЯтип |
|
|
тальной погреш- |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ности |
|
|
Секундомер |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|||
|
Линейка |
|
|
|
|
|
|
|
|
Транспортир |
|
Н |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Данные установки |
|
|
|
||
|
Масса бруска |
|
m1 = |
, |
m1 = |
|||
|
Масса груза |
И |
, |
m2 = |
||||
|
|
m2 = |
||||||
Для проведения опытов необходимыУследующие средства измерений:
секундомер с разрешением не хуже 0,2 сМ;
линейка с миллиметровой шкалой;
транспортир. Э
Взависимости от конструкции установки возможно использование автоматической системы запуска и измерения времени Иэлектронными средствами. В состав системы входят инфракрасный датчик перемещения
иэлектронный секундомер, позволяющие производить отсчет времени прохождения грузом расстояния h. Описание автоматической системы и порядок ее использования приводятся в инструкции к установке.
Задание 1. Определить значение коэффициента трения скольжения
по углу пред.
Изменяя угол наклона плоскости к горизонту, фиксируется такое значение пред., при котором тело начинает скользить по наклонной плоскости. Значение коэффициента трения скольжения рассчитывается по формуле (5).
Порядок выполнения работы по заданию 1
1.Установите на наклонную плоскость брусок массой m1 (в этом задании нить, связывающая брусок 7 с грузом 8, не должна быть натянута).
2.Выставите угол наклона плоскости к горизонту равным 10°.
3.Медленно увеличивая угол при основании наклонной плоскости,
определите такое значение угла, при котором брусок массой m1 начинает соскальзывать с наклонной плоскости. Значение этого предельного угла
1предзанесите в табл. 2. |
|
|
|
|
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||
Ф |
|
|
Результаты измерений αпред |
||||||
|
|
|
|
массабрускасперегрузком |
|||||
|
масса бруска |
||||||||
и |
|
|
|
M = |
|||||
|
|
m1 |
= |
|
|
|
|||
|
№ опы- |
|
α1пред |
|
№ опыта |
|
α2пред |
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|||
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|||
|
Среднее |
|
Среднее |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
4. Верните систему в исходное положение, соответствующее п.2. |
|||||||||
5. Проделайте такой же опыт еще не менее двух раз с тем же бруском |
|||||||||
массой m1 по нахождению углов пред |
согласно действию, описанному в |
||||||||
п. 3. Запишите значения углов. И |
|
|
|
||||||
6.Положите на брусок массой m1 перегрузок, вычислите суммарную массу M груза и перегрузка, запишите ее в табл. 2.
7.Повторите пункты 2-5 данной инструкции, результаты запишите в табл. 2. У
Задание 2. Определить значение ускоренияМпоступательного движе- |
|
ния груза по наклонной плоскости |
Э |
|
|
Измеряется время движения системы и расстояние, пройденное телами системы.
Опыты проводятся в соответствии со схемой, представленной на рис.4. И
Порядок выполнения работы по заданию 2
1.Установите наклонную плоскость под углом 1. Значение угла выберите по согласованию с преподавателем.
2.Поставьте на наклонную плоскость брусок массой m1 и свяжите его
нитью через систему блоков с грузом массой m2.
3. Приведите систему грузов в начальное положение. Для этого переместите брусок массой m1 в крайнее левое положение.
4. При выполнении работы проводится измерение времени 1 прохождения грузом 8 фиксированного расстояния h1 (рис. 4). Расстояние h1 определяется по числу делений на шкале миллиметровой линейки между его начальным y1и конечным y2 положениями (y1и y2 — положение ниж-
него торца груза 8 по шкале линейки 11). Порядок определения расстояний
h1 и h2 и соответствующего времени 1 и τ2 |
изложен в указаниях на уста- |
|||||||||||||
новке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Эксперимент по определению времени 1 |
проделайте еще 4 раза. Ре- |
|||||||||||||
зультаты измерения времени 1 |
и определения |
расстояния h1 запишите в |
||||||||||||
табл. 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
О6. Установите наклонную плоскость под углом 2 |
> 1 к горизонту. |
|||||||||||||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значение угла внесите в табл. 4. |
|
|
|
2 прохождения грузом 8 |
||||||||||
Проделайте 5 опытов по измерению времени |
||||||||||||||
и |
|
согласно действиям, описанным в пунктах |
||||||||||||
фиксированного расстояния h2 |
||||||||||||||
3–5. Результаты змерения времени τ2 и определения |
расстояния h2 зане- |
|||||||||||||
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сите в табл. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
С |
|
|
Таблица 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Результаты измерений по заданию 2 при угле α1= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
||
|
№ опы- |
τ1, c |
y1, мм |
|
y2 |
, мм |
|
|
h1, мм |
|
||||
|
|
та |
|
И |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
У |
|
|
|
|||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МТаблица 4 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Результаты измерений по заданию 2 при угле α2 = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|||
|
№ опы- |
τ2, c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y1 , мм |
|
y2 , мм |
|
|
И |
||||||||
|
|
|
|
h2, мм |
||||||||||
|
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Обработка результатов измерений
По заданию 1.
1.По данным табл.2 рассчитайте средние значения пред для брусков разной массы.
2.По средним значениям предельного угла наклона плоскости с помощью соотношения (5) рассчитайте значения коэффициента трения скольжения. Результаты внесите в табл. 2. Сравните полученные результаты.
3.Проведите статистическую обработку данных, вычислив погреш-
ность αпред: |
пр 2 сл 2 . Здесь |
пр |
— погрешность средств |
||||||||||||
Оизмерения (приборная погрешность), сл — случайная погрешность. |
|||||||||||||||
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Значения погрешностей αпред выразите в радианах. |
|||||||||||||||
4. Рассч тайте абсолютную погрешность косвенного измерения коэф- |
|||||||||||||||
фициента трен я по формуле: |
|
|
|
, |
где представьте в ра- |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Я |
|
|
|
cos2 пред |
|
||||||||
|
и |
|
|
|
|
||||||||||
дианах. |
|
|
С |
результат |
|
для |
коэффициента трения в |
||||||||
5. Запишите окончательный |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стандартном виде: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По заданию 2. |
|
|
Н |
y1 - y2 рассчитайте расстояния |
|||||||||||
1. По разности координат |
y1 - y2 и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|||||
h1 и h2, пройденные грузом. По средним значениям времени движения |
|||||||||||||||
груза |
1 |
и |
2 |
и расстояниям h1 |
|
и h2 |
рассчитайте экспериментальные зна- |
||||||||
чения ускорений по формуле (12). |
У |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Рассчитайте теоретические значения ускорений грузов по формуле (10). Сравните полученные значения ускорений со значениями, определенными в п. 1.
3. |
Проведите статистическую обработку результатов прямых изме- |
|||||
рений. Вычислите погрешность измерения времениМдвижения грузов τ1 и |
||||||
τ2. |
|
|
|
|
|
Э |
4. |
Вычислите погрешность косвенного измерения расстояний h1 и h2: |
|||||
|
h |
y |
2 |
y 2 . |
И |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
5. |
Определите абсолютную |
погрешность |
|
косвенного измерения |
||
ускорения грузов по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
a a |
h 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
. |
||
|
|
h |
|
|
|
|
Окончательный ответ запишите в стандартном виде: a a a .
6. Рассчитайте значение абсолютной погрешности ускорения по формуле:
|
a |
2 |
|
a |
2 |
|||
a |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
значение Δμ возьмите из результатов задания 1.
|
7. Запишите окончательный результат измерения ускорения в стан- |
||||||||
дартном виде: a |
|
a . |
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|||||
|
8. Сравните значения ускорения грузов, вычисленные по формулам |
||||||||
(10) и (12). |
|
|
|
|
|
|
|
||
О |
|
|
5. Контрольные вопросы |
|
|
||||
Ф |
|
|
|
|
|||||
1. |
Дайте определение силы трения покоя и силы трения скольжения. |
||||||||
Как определяются величины этих сил? |
|
|
|
||||||
2. |
|
при |
|
|
|
|
|||
Постройте график зависимости силы трения, действующей на груз, |
|||||||||
от угла |
|
основании наклонной плоскости и объясните его. |
|||||||
3. |
Вывед те расчетное соотношение для коэффициента трения сколь- |
||||||||
жения (по задан ю 1). |
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
С |
|
|
|
|
||
При какихЯдопущениях проводится вывод теоретического соотноше- |
|||||||||
ния для ускорения из опытов по скольжению бруска? |
|
||||||||
5. |
Выведите формулу для расчета абсолютной погрешности измерения |
||||||||
коэффициента трения скольжения (по заданию 1). |
|
|
|||||||
6. |
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
Выведите формулу для расчета теоретического значения ускорения |
|||||||||
движения бруска и груза (массы грузов, угол наклона плоскости и коэф- |
|||||||||
|
|
|
|
|
И |
|
|
||
фициент трения считайте заданными). |
|
|
|
|
|||||
7. |
Какие предположения относительно блоков, через которые переки- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
нута нить, сделаны в работе? Каким образом они использовались при вы- |
|||||||||
воде расчетных формул? |
|
|
|
|
|||||
8. |
Сформулируйте законы Ньютона. При каких условиях они выпол- |
||||||||
няются? Выведите формулу для расчета силы натяжения нити. |
|||||||||
9. |
По результатам измерений вычислите работу силы трения при дви- |
||||||||
жении груза по наклонной плоскости. |
|
М |
|||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
Выведите выражение для расчета абсолютной погрешности косвен- |
|||||||||
ного измерения ускорения грузов (по заданию 2). |
|
И |
|||||||
|
|
|
|
|
Рекомендуемая литература |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.Савельев И.В. Курс общей физики: Учебное пособие. В 3-х тт. Т.1. Механика. Молекулярная физика. 5-е изд., стер. — СПб.: Издатель-
ство «Лань». 2006. С.49 — 60, 62 — 70.
2.Д.А. Иванов, И.В. Иванова, А.Н. Седов, А.В. Славов. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Конспект лекций/ Под ред.
А.В. Кириченко. — М.: Издательство МЭИ. 2003. С.5 — 8, 18 — 24.