§2.5. Прямая в пространстве.

2.5.1. Общие уравнения прямой.

В пространстве прямая определяется пересечением двух плоскостей: .

2.5.1.1. Определение. Система уравнений

(2.12)

называется общими уравнениями прямой в пространстве.

2.5.1.2. Теорема.

Система уравнений вида (2.12) задает прямую в пространстве тогда и только тогда, когда коэффициенты не пропорциональны коэффициентам.

Доказательство очевидно, так как пропорциональность коэффициентов эквивалентна параллельности плоскостей.

2.5.1.3. Определение. Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую.

Замечание.

Если прямая определяется уравнениями двух плоскостей, принадлежащих пучку плоскостей, и, то уравнение пучка плоскостей можно представить в виде линейной комбинации данных уравнений, то есть. Полученное уравнение называетсяуравнением пучка плоскостей.

2.5.2. Определение. Ненулевой вектор , параллельный прямой, называетсянаправляющим вектором прямой .

2.5.3. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой.

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор и точка . Проведем прямую через точкув направлении вектора. Очевидно, произвольная точкапринадлежит прямой при условии, что векторколлинеарен вектору.

Так как вектор является ненулевым, условие коллинеарности векторовиимеет вид . Если – радиус-вектор точки,– радиус-вектор точки, то для любой точкиМ прямой выполняется , или

. (2.13)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве.

Запишем векторное уравнение (2.13) в координатной форме. Так как ,, получим

(2.14)

Эти уравнения называется параметрическими уравнением прямой в пространстве. Исключим из этих уравнений параметр t: . Уравнения

(2.15)

называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

2.5.4. Связь общих уравнений прямой с параметрическими.

Для того, чтобы записать параметрические уравнения прямой, заданной своими общими уравнениями

необходимо:

1. Найти направляющий вектор прямой;

2. Найти точку, принадлежащую прямой.

Направляющий вектор находится как векторное произведение векторов нормали плоскостей, задающих прямую вектором и :

Для того, чтобы найти координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, требуется решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Так как векторы инеколлинеарны (их координаты непропорциональны), то эта система имеет решение.

Пример.

Пусть прямая задана своими общими уравнениями:

Найдем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей, задающих прямую и. Следовательно, направляющий вектор прямой

.

Итак, . Найдем теперь какое-либо решение исходной системы уравнений. Складываем и вычитаем уравнения, получим:

Полагая , получим одну из точек, принадлежащих прямой.

Таким образом, имеем направляющий вектор и точку, следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

Замечание.

Заметим, что уравнение одной и той же прямой можно записать разными способами. Это определяется произвольностью выбора точки, принадлежащей прямой, а также произвольностью выбора направляющего вектора. Так, например, в предыдущем примере мы могли положить и получить точку, а в качестве направляющего взять вектор, коллинеарный с найденным вектором. Тогда параметрические уравнения той же прямой, очевидно, принимают вид

2.5.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки ,и требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Очевидно, можно взять векторв качестве направляющего вектора прямой, а в качестве точки, принадлежащей прямой, можно взять любую из точекМ₁ или М₂. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид:

(2.16)

2.5.6. Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые, заданные своими каноническими уравнениями

и .

Очевидно, угол между прямыми будет равен углу между их направляющими векторами и:

.(2.17)

В частности,

если прямые параллельны, то координаты их направляющих векторов пропорциональны

;

если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы ортогональны

.