§2.4. Плоскость в пространстве.

2.4.1. Общее уравнение плоскости.

2.4.1.1. Определение. Вектор, перпендикулярный к плоскости, называется ее нормальным вектором.

2.4.1.2. Теорема. (Общее уравнение плоскости).

Вдекартовой прямоугольной системе координат плоскость задается уравнением первой степени.

Доказательство:

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор ,перпендикулярный плоскостии точка , принадлежащая плоскости. Очевидно, произвольная точка пространствапринадлежит плоскости при условии, что вектор ортогонален вектору . Таким образом, получаем уравнение

.

(скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю).

В координатном виде это уравнение имеет вид

Преобразуем это уравнение: Обозначая, получим

2.4.1.3. Определение. Уравнение вида

(2.6)

называется уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор .

2.4.1.4. Определение. Уравнение вида

(2.7)

называется общим уравнением плоскости.

2.4.1.5. Связка плоскостей.

Связкой плоскостей называют совокупность плоскостей, проходящих через одну точку. Очевидно, уравнение при произвольных (не равных нулю одновременно) коэффициентахА,В,С есть уравнение связки плоскостей, проходящих через точку .

2.4.1.6. Определение. Поверхность в пространстве, которая в декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением первой степени, называется поверхностью первого порядка.

2.4.1.7. Теорема. (О поверхностях первого порядка в пространстве).

Поверхностями первого порядка в пространстве являются плоскости, и только они.

Доказательство:

Поскольку мы уже доказали в теореме 2.4.1.2, что плоскость можно задать уравнением первого порядка, осталось доказать, что уравнение при условии задает плоскость.

Пусть - некоторое решение уравнения (2.7). Тогда при подстановке его в уравнение мы получим тождество:

.

Вычтем полученное равенство из уравнения (2.7), получим

,

то есть уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором .

Таким образом, доказано, что всякое уравнение вида (2.7) при условии задает плоскость и что всякая плоскость в пространстве может быть задана уравнением вида (2.7).

2.4.1.8. Частные случаи общего уравнения плоскости.

1.  плоскость, параллельная оси абсцисс;

2.  плоскость, параллельная оси ординат;

3.  плоскость, параллельная оси аппликат;

4.  плоскость, проходящая через начало координат;

5.  плоскость, параллельная координатной плоскости XOY;

6.  плоскость, параллельная координатной плоскости XOZ;

7.  плоскость, параллельная координатной плоскости YOZ;

8.  координатная плоскость XOY;

9.  координатная плоскость XOZ;

10.  координатная плоскость YOZ;

2.4.2. Угол между плоскостями.

Пусть даны две плоскости

с нормальным вектором

и с нормальным вектором. Очевидно, косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между нормальными векторами, поэтому

. (2.8)

Замечание 1.

Если требуется определить острый угол между плоскостями, то

.

Замечание 2.

Из формулы угла между плоскостями следуют условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

1. Если плоскости параллельны и, то их нормальные векторы коллинеарны, то есть их координаты пропорциональны:

.

Если же выполняются равенства , то уравненияиопределяют одну и ту же плоскость.

2. Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю

.

2.4.3 Расстояние от точки до плоскости.

Пусть плоскость π задана уравнением ,– произвольная точка пространства. Для любой точки, лежащей на плоскости, расстояниеd от точки до плоскости π равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор.

Вектор , следовательно

Так как из принадлежности точки плоскости π следует, что , т.е., то

. (2.9)

2.4.4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть даны три точки,и, не лежащие на одной прямой (т.е. векторыине коллинеарны). Введем в задачу точку– текущую точку плоскости. Векторы,илежат в одной плоскости, т.е. компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:, или, в координатной форме,

. (2.10)

Уравнение вида (2.10) называется уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

2.4.5. Уравнение плоскости в отрезках.

Рассмотрим плоскость, не проходящую через начало координат и заданную своим общим уравнением . Представим данное уравнение в виде

.

Обозначая , получим уравнение

, (2.11)

которое называется уравнением плоскости в отрезках. К виду в отрезках может быть приведено уравнение всякой плоскости, не проходящей через начало координат.

Замечание.

Отметим, что точки с координатами (a;0;0), (0;b;0) и (0;0;c) являются точками

пересечения плоскости с осями координат.

Лекция 6.