Функциональный анализ и интегральные уравнения

2 Курс 4 семестр (2012-13уч. Год) для фн2 Основная литература (ол)

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 542 с.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.Н. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

3. Садовничий В.А. Теория операторов. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - 368~с.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 495 с.

5. Власова Е.А. Ряды. - М.: Изд-во МГТУ, 2000. -612 с.

6. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. - М.: Изд-во МГТУ, 2001. -700 с.

7. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 158 с.

8. Треногин В.А., Писаревский В.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

9. Власова Е.А., Феоктистов В.В., Чадов В.Б. Введение в прикладной функциональный анализ. - М.: Изд-во МГТУ, 1994. - 54 с.

10. Феоктистов В.В. Бесконечномерные пространства и применение функционального анализа в математической физике. - М: Изд-во МГТУ, 1995. - 54 с.

11. Власова Е.А., Нараленков К.М., Пугачев О.В. Функциональный анализ. – М.: Изд-во МГТУ, 2005. – 64 с.

12. Власова Е.А., Красновский Е.Е., Марчевский И.К. Функциональный анализ. –М: Изд-во МГТУ, 2009, - 77 с.

Дополнительная литература (дл)

1. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1973. - 304 с.

2. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. - М.: Изд-во МАИ, 1996. - 744 с.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 744 с.

4. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М.: Наука, 1988. 398 с.

Лекции Модуль 1 Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Лекции 1-2.Понятие метрического пространства (МП), аксиомы метрики, предел последовательности элементов МП. Открытые и замкнутые множества, предельная точка. Плотные, всюду плотные, нигде не плотные множества. Непрерывные функции в метрических пространствах. Основные метрические пространства. Неравенства Гельдера и Минковского.

ОЛ-1, гл. 2, §1,2, ОЛ-3, гл.1, §2.

Лекция 3.Полные МП. Пополнение МП. Теорема о вложенных множествах в МП.

ОЛ-1, гл.2, §3, ОЛ-3, гл. 2, §3.

Лекция 4.Принцип сжимающих отображений. Примеры применения принципа сжимающих отображений. Свойства интегрального оператора Вольтерра и его степени.

ОЛ-1, гл.2, §4, ОЛ-3, гл.1, §3, ОЛ-6 §4.2.

Лекция 5.Сепарабельные пространства. Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств.

ОЛ-1, гл. 2, §7, ОЛ-3, гл. 2, §2.6, ОЛ-5, §5.4.

Лекция 6.Компактные множества в МП. Свойства отображений, непрерывных на компактных множествах. Критерий компактности множеств в МП (теорема Хаусдорфа). Критерии относительной компактности множеств в пространствахи.

ОЛ-1, гл.2, §7, ОЛ-3, гл.2, §2.6, ОЛ-6 §4.2.

Лекции 7-8.Линейные пространства. Линейные многообразия. Бесконечномерные линейные многообразия. Прямая сумма линейных многообразий. Нормированные пространства (НП). Банаховы пространства (БП). Примеры. Лемма Рисса. Подпространства НП. Эквивалентность норм в конечномерных линейных пространствах. Замкнутость конечномерных линейных многообразий. Критерий локальной компактности НП.

ОЛ-1, гл.3, §1,3, ОЛ-3, гл.2, §1, ОЛ-5 §5.1-5.3, ОЛ-6 §4.1.

Лекция 9.Ряды в НП. Критерий Коши сходимости ряда. Теоремы об абсолютно сходящихся рядах в БП. БП со счетным базисом и сепарабельные пространства.

ОЛ-4, гл.1, §5,ОЛ-5 §5.4-5.7.

Лекции 10-11.Гильбертово пространство (ГП). Примеры. Непрерывность скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества. Расстояние от точки до подпространства. Ортогональность элементов ГП. Ортогональное дополнение к подпространству. Разложение ГП в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Критерий всюду плотности линейного многообразия в ГП.

ОЛ-1, гл.3, §4, ОЛ-3 гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.1-6.3, ОЛ-6 §5.1.

Лекции 12-13.Ортонормированные системы (ОНС) и ряды Фурье в ГП. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы в ГП. Критерии базисности ортонормированной системы в ГП. Равенство Парсеваля. Замкнутые ОНС как ортонормированные базисы. Полные ортонормированные системы (ПОНС). ПОНС как ортонормированные базисы.

ОЛ-1, гл.4, §6, ОЛ-3, гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.4-6.5.

Лекция 14.Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Теорема о существовании в каждом сепарабельном ГП счетного ортонормированного базиса. Изоморфизм гильбертовых сепарабельных пространств. Теорема Рисса - Фишера.

ОЛ-1, гл.4, §6, ОЛ-3, гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.6-6.7.