Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДЗ_Задачи 1-5_ФН4_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

178.66 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №1

по курсу функционального анализа,

ФН4, 4-й семестр

Задача №1

Найти нормы элементов

1)x1 = x1(t) и x2 = x2(t) в пространстве C[a; b];

2)x1 = fx1ng и x2 = fx2ng в пространстве l2.

Найти расстояние между элементами в указанных пространствах (ответ довести до числа,

результат округлить до сотых).

3t3

1) x1(t) = t +

x2(t) =

+ 12, a = 4, b = 1;

2) x1 =

x2 = f1; 0; 1; 1; 0; 0; : : :g.

3n 1

1) x1(t) = t3=2 3t + 1,

x2(t) = t3=2 t2 + 28,

a = 1, b = 9;

2) x1 =

x2 = f0; 1; 1; 0; 0; 0; : : :g.

2 cos t + 4t + 4,

x2(t) = 4t 4

2 sin t ,

a = 0, b =

;

(t) = 4

( 1)n

1; 0; 0;

1; 0; 0; : : :

2npn

e19 (19 2) d ,

x2(t) = 19(t2e19 t e),

a = 18, b = 20;

(t) = 19 18Z

(

)

2) x1 =

, x2 = f2; 1; 0; 0; 0; 0; : : :g.

(2n)!

(t) =

(12 )e 12 d ,

x2(t) = (14 t)et 12, a = 11, b = 13;

()

kx2 = f1;

2; 0; 0;

0; 0;

: : :g.

(2n 1)!

( ) = k!1 3 1 + tk

2( ) = ( + 2) ,

= 1, = 3;

lim

x t

e1=t

2) x1 =

x2 = f3; 1; 0; 0; 0; 0; : : :g.

(t) = 5 7t + 7 ln(t + 3),

x2(t) = 5 7t,

a = 2; 5, b = 0;

2) x1 =

1)n

x2 = f0; 1; 1; 0; 0; 0; : : :g.

( ) = 1 k!1

(

) = 8

= 0 5,

= 4;

sin tk ,

8 t

lim

;

2) x1 =

x2 = f2; 0; 0; 1; 0; 0; : : :g.

(t) = Z0

(2 cos + 1) d , x2(t) = 2 cos t + t,

a = 0, b = ;

2) x1

3npn ,

x2 = f3; 1; 0; 0; 0; 0; : : :g.

10.

3t3

12,

a = 0; 5, b = 2;

(t) =

x2(t) = 2t +

2) x1

p5n ,

x2 = f1; 0; 1; 0; 0; 0; : : :g.

11.

(t) = 8t3=2 12t + 2,

x2(t) = 8t3=2 16t2 + 30,

a = 0; 25, b = 2;

2) x1

x2 = f1; 0; 1; 0; 0; 0; : : :g.

12.

(t) = 4

2 cos t + 4t + 4, x2(t) = 4t + 4

2 sin t , a =

b = ;

2) x1 =

1)n

(p3nn

x2 = f1; 0; 2; 0; 0; 0; : : :g.

13.

(t) = 19

e1 (18 17 2) d ,

(t) = 19

(t + 18)2e1 t e ,

a = 0, b = 2;

()

2) x1 =		2n	, x2 = f1; 2; 0; 0; 0; 0; : : :g.
	pt
		(2n)!
14. 1) x1(t) =	Z (1 )e 1 d , x2(t) = (3 t)et 1, a = 0, b = 2;

()

( 1)n 1

2) x1 = p , x2 = f2; 1; 0; 0; 0; 0; : : :g.

(2n 1)!

15.

( ) = k!1

1 + tk + 2t

2( ) = ( + 2)

= 1, = 4;

lim

x t

e1=t

( 1)n

4; 1; 0; 0; 0; 0; : : :

16.

(t) = 19 7t + 7 ln(t + 1),

x2(t) = 19 7t,

a = 0; 5, b = 2;

2) x1 =

1)n

x2 = f1; 1; 1; 0; 0; 0; : : :g.

lim

arcsin

17.

2t 1,

= 1,

= 4;

( ) = 1n k!1

2tk k

2( ) = 8

8 + 8

2) x1

= pn! ,

x2 = f0; 1; 0; 1; 0; 0; : : :g.

18.

(t) = Z0

(2 sin p

x2(t) = 2 sin t p

a = 0, b = ;

3) d ,

2) x1 =

(

1)n

pn2n

x2 = f1;

;

; 0; 0; 0; : : :g.

19.

( ) = 2 k!1

tg t(k+1)2 ,

= 0 5,

= 4;

) = 8 8 t ,

lim

;

2) x1

= (

x2 = f1; 2; 1; 0; 0; 0; : : :g.

(2n)!

81t3

20.

(t) = 3t +

x2(t) =

+ 18,

a =

2, b =

;

( 1)n 1

2) x1 =

x2 = f1; 0; 1; 1; 0; 0; : : :g.

2n 1

3t3

21.

(t) = t +

x2(t) =

+ 12,

a = 4, b =

2) x1 =

x2 = f1; 0; 1; 1; 0; 0; : : :g.

3n 1

22.

(t) = t3=2 3t + 1,

x2(t) = t3=2 t2 + 28,

a = 1, b = 9;

2) x1 =

p1n!

x2 = f0; 1; 1; 0; 0; 0; : : :g.

23.

2 cos t + 4t + 4,

x2(t) = 4t 4

2 sin t ,

a = 0, b =

;

(t) = 4

( 1)n

1; 0; 0;

1; 0; 0; : : :

2npn

24.

18Z

e19 (19 2) d ,

(t2e19 t e),

a = 18, b = 20;

(t) =

x2(t) =

2) x1

= (

x2 = f2; 1; 0; 0; 0; 0; : : :g.

(2n)!

25.

(t) =

11Z

(12 )e 12 d ,

x2(t) = (14 t)et 12,

a = 11, b = 13;

()

2) x1 =	1	,	x2 = f1; 2; 0; 0; 0; 0; : : :g.
	p(2n 1)!

Задача №2

Доказать, что следующие уравнения имеют единственное решение в указанном метрическом пространстве.

Варианты 1–7: метрическое пространство m ограниченных последовательностей fxig.

cos xm

= 1, n 2 N.

xn +

m2 + n2 + 16

m=1

cos xm

= 8, n 2 N.

3xn +

m3 + ln(n + 1) + 7

m=1

arcctg xm

= 1, n 2 N.

5xn +

m2 + 5en + 18

m=1

e5 sin xm 5

= 2, n 2 N.

xn +

5(m2 + n4 + 3)

m=1

ln(arctg xm + 5)

= 2, n 2 N.

8xn +

m2 + 3n + 18

m=1

earcctg xm

= 1, n 2 N.

10xn +

m4 + ln(n + 10) + 15

m=1

ln(3 sin xm + 6)

m3 + p3

= 1, n 2 N.

xn + m=1

+ 12

Варианты 8–13: метрическое пространство C[0; 1] функций f(x), непрерывных на отрезке [0; 1].

1	x +	(y + 2 dy = x, x 2 [0; 1].
8. f(x) + Z	x +	(y + 2 dy = x, x 2 [0; 1].
	f	y)

9.f(x) +

10.f(x) +

0
1	x +		(y2 + 1 dy = x4	,	x 2 [0; 1].
Z	x +		(y2 + 1 dy = x4	,	x 2 [0; 1].
		f y)
0		p
1			cos(x2 + y2 + 5)
Z	f y	)	cos(x2 + y2 + 5)
	(	)			dy = esin x, x 2 [0; 1].
			x + y + 3		dy = esin x, x 2 [0; 1].

		0
		1			x4 + y + 6	p		dy = tg x, x 2 [0; 1].
11.	f(x) + Z0
11.	f(x) + Z0
			f(y) sin ln(1 + x2) +				xy
12.	1	f2(y) + x(4		+ y2	+ 9 dy f(x) = ex, x 2 [0; 1].
12.	Z	f2(y) + x(4		+ y2	+ 9 dy f(x) = ex, x 2 [0; 1].
			f y)

f y

13.

( )

dy 3f(x) = x5,

x 2 [0; 1].

7x + y + 5

Варианты 14–19: метрическое пространство l1 последовательностей fxng, для которых

jxij < +1, с метрикой (x; y) =

jxi yij.

14.

x 2 [0; 1].

2xn +

m2 + ln m + p

+ 12

7n3

m=1

15.

x 2 [0; 1].

17xn +

2m + np4

+ 1

m=1

16.

sin xm

2 [0; 1].

3xn + m=1 (m + 2)2 + npn + 12

= n2

1 cos xm

[0; 1]

17.

(m + n)2 + 11

n3 ,

m=1

18.

sin xm

x 2 [0; 1].

xn +

(m + p

)4 + ln(m + p

) + 3

m=1

19.

2 [0; 1].

5xn

(m + 3 + sin m)2 + np

+ 2

m=1

Варианты 20–25: метрическое пространство l2 последовательностей fxig, для которых

, с метрикой (x; y) = v

xi2 < +

(xi

yi)2.

i=1

ui=1

20.

ln(n2 + 5n)

sin(5n2 + 3)

2 N.

xn +

xn+1 +

xn+2

n2 + 6n + 1

21.

arctg(10n + 3)

cos n

2 N.

xn+2 +

xn+3 =

n2 + 3

22.

ln(n + 6)

n 2 N.

xn+1

xn+3 =

17n + 5

2(n + 6)

23.

, n 2 N.

6xn +

xn+1

xn+2

xn+3 =

5n + 1

3n + 2

6n 1

24.

n 2 N.

7xn + xn+2 +

xn+4 =

n2 + 3

25.

cos2 n

, n

2 N.

xn+2 =

5n2 + n + 3

Задача №3

Варианты 1–3: доказать относительную компактность множества в метрическом пространстве C[0; 1]

1. Множество непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [0; 1] (односторонняя производная на концах отрезка), удовлетворяющих неравенствам jf(0)j K1,

jf0(t)j2dt K2, K1; K2 > 0.

2. Множество непрерывно дифференцируемых функций на [0; 1] (односторонняя произ-

1
0	jf(t)j2 + jf0(t)j2
водная на концах отрезка), удовлетворяющих неравенству Z		dt K,

K > 0.

3.Множество непрерывно дифференцируемых функций на [0; 1] (односторонняя произ-

1
0	jf(t)j3 + jf0(t)j5
водная на концах отрезка), удовлетворяющих неравенству Z		dt K,

K > 0.

Варианты 4–7: выяснить, являются ли данные множества функций в C[0; 1] относительно компактными. Ответ обосновать.

4. ftngn2N.

5. fsin t + ngn2N. 6. fsin tg 2R. 7. fet g 2R.

Варианты 8–12: доказать относительную компактность множества из метрического пространства l1.

								1
								X
8.	Множество последовательностей fxng, удовлетворяющих условию								n3jxnj3 < 1.
								n=1
								1
9.	2							X
9.	Множество последовательностей fxng, удовлетворяющих условию								5n4 7n ln12(n+
	1) jxnj < 10.							n=1
	1) jxnj < 10.					1		am
			1			X
10.	Множество последовательностей					fxng, для которых xn =		em + n3 + 1		, n 2 N, где
						m=1
	jamj <	mp4		+ ln(m + 1)	, m 2 N.
	jamj <	mp4	m	+ ln(m + 1)	, m 2 N.
						1
11.	Множество последовательностей fxng, для которых xn = Z0							'(y)	, n 2 N, где ' 2

							n2 + y2

C[0; 1] и j'(y)j < 1 при y 2 [0; 1].

n2N.

1				ln(2 + cos(y2 + n2))
12. Множество последовательностей fxng, для которых xn = Z0	'	y	)	ln(2 + cos(y2 + n2))
	(		)	p3		+ y3	,

					n4
n 2 N, где ' 2 C[0; 1] и j'(y)j < 1 при y 2 [0; 1].

Варианты 13–20: доказать относительную компактность множества в метрическом про-

странстве C[0; 1].

bn sin nx

13.

, где jbnj <

f(x) =

n2 + x2

n=1

bn arctg nx

14.

+ p

, где jbnj <

n2p

f(x) =

+ x2

n=1

bn arcctg nx

15.

, где jbnj <

f(x) =

+ ln3

(n + 1) + x2

n=1

bn sin p

16.

+ p

, где jbnj <

np4

f(x) =

ln(n + 1) + x2

n=1

17.

x3 + ln(y + 1) + 2 dy, где j'(y)j < y + 1.

f(x) = Z0

'(y)

18.

x4 +(y)+ 1 dy, где j'(y)j < y2

+ 1.

f(x) = Z0

' y

19.

x2 + y3

+ 1 dy, где j'(y)j < 1.

f(x) = Z0

'(y)

20.

x5 + y2

+ 1 dy, где j'(y)j < 1.

f(x) = Z0

'(y)

Варианты 21–25: выяснить, является ли множество в метрическом пространстве C[0; 1] относительно компактным.

21. arctg(en ln t)

22.ln(2 + cos t) 2R.


23.	tg	2			2R.
		t + 0;5 sin(t + 3 )
24.	ntg		t	+ sin(2t 7 3)o 2R.
24.	ntg		2	+ sin(2t 7 3)o 2R.
25.	sin t2 2R.

Задача №4

Варианты 1–5:найти расстояние в L2[0; 1] от элемента f до подпространства L (L2[0; 1] гильбертово пространство, являющееся пополнением евклидова пространства кусочно непре-

							1
рывных функций со скалярным произведением (f; g) = Z0								f(x) g(x) dx).
1.	f(t) = t,	L = t2; t3 .
2.	f(t) = 1,	L = hcos t; sin ti.
3.	f(t) = 2t + 1,		L = t;1t2 .			9
			8	Z		9
			<	Z		=
4.	f(t) = t,	L = '			t2'(t) dt = 0

			:			;
				0		8'	1	9.
							1
5.	f(t) =	1; t	[0; 1=2];		L =		'(t) dt = 0
5.	f(t) =	2; t	2 [1=2; 1];		L =		'(t) dt = 0
			2			Z		=
						<	0	=


								;
						:		;

Варианты 6–10: найти расстояние в `2 от элемента y = fyng до подпространства L?.

6.	1					,		L = ff ig 2 `2 j 3 = 0g.
	yn =	p
			n!
7.	yn = r						,	L = ff ig 2 `2 j i = 0 при i = 2; 4g.
					n!
				2n
8.	yn =				22n 1				, L = ff ig 2 `2 j 1 = 4 = 0g.

		p
					(2n 1)!

9.yn = 2n1 1 , L = ff ig 2 `2 j 2n 1 = 0; n 2 Ng.

10.yn = 5n1 1 , L = ff ig 2 `2 j 2n = 0g ; n 2 N.

Варианты 11–24: найти расстояние в `2 от элемента y = fyng до подпространства L.

11.	y = f0; 2; 0; 0; : : : g,	L =	(f ig 2 `2		5	k = 0).
				k=2
					X
					4

12.	y = f1; 0; 0; 0; : : : g,	L =	(f ig 2 `2			k k = 0).
					k=1
					X
					5

13.	y = f0; 0; 1; 0; : : : g,	L =	(f ig 2 `2			(k + 1) k = 0).
					k=2
					X
							6

14.	y = f0; 0; 0; 1; 0; 0; : : : g,		L = (f ig 2 `2				(k + 3) k = 0).
							k=1

15.

y = f1; 0; 1; 0; 0; : : : g,

L =

(f ig 2 `2

k = 0).

k=2

16.

y = f0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; : : : g,

L = (f ig 2 `2

k k = 0).

k=2

17.

y = f0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0; : : : g,

L = (f ig 2 `2

k = 0).

k=1

18.

y = f3; 2; 1; 0; 0; 0; : : : g,

L =

(f ig 2 `2

k k = 0).

k=1

19.

y = f1; 2; 3; 0; 0; 0; : : : g,

L =

(f ig 2 `2

(k + 1) k = 0).

k=1

20.

y = 1;

; 0;

; 0; : : :

, L = (f ig 2 `2

= 0).

k=1

21.

y = f 1; 0; 2; 0; 1; 0; 0; : : : g,

L = (f ig 2 `2

(k 1) k

= 0).

k=3

22.

y =

0; 0;

1; 0; 0; : : :

L =

k 1

= 0

ig 2

k=2

k + 1 k

23.

y = f0; 2; 0; 0; 1; 0; 0; : : : g,

L = (f ig 2 `2

(k3 3) k = 0).

k=2

y = f 2; 2; 0; 0; 0; : : : g,

L = (f ig 2 `2

24.

(k2 60) k = 0).

k=10

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №2 по курсу функционального анализа,

ФН4, 4-й семестр

Задача №5

Варианты 1–4: доказать, что следующие функционалы в банаховом пространстве C[ 1; 1] являются линейными и непрерывными. Найти их нормы.

1.	F [x] =	1	x( 1) + x(1) .

		3
		1
2.	F [x] = Z		x(t) dt x(0).
		1
		1
3.	F [x] = Z t3x(t) dt.
		1
		1
4.	F [x] = Z		tx(t) dt x(0).

Варианты 5–23: доказать, что следующие функционалы в соответствующих банаховых пространствах являются линейными и непрерывными. Найти их нормы.

	1
5.	F [x] = Z0	tx(t) dt, C1[ 1; 1].
	1
6.	F [x] = Z tx(t) dt, L1[ 1; 1].
	1
	1
7.	F [x] = Z0	t2x(t) dt, L2[ 1; 1].
	1
8.	F [x] = Z t 1=3x(t) dt, L2[ 1; 1].
	1
9.	F [x] = x1 x2, x = fxng, l2.
	1	xk
10.	Xk			,	l2.
10.	F [x] =		k	,	l2.
	=1		k
	=1
11.	1				1	xk,	l1.
11.	F [x] = k=1 1 k					xk,	l1.
	X
	1
12.	Xk					, c0	(б.м. последовательности).
12.	F [x] =	21 kxk				, c0	(б.м. последовательности).

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Функциональный анализ

#
10.02.2015178.66 Кб42ДЗ_Задачи 1-5_ФН4_1.pdf
#
10.02.201568.1 Кб76Календарный план_Функц. Анализ_ФН2_2013.doc
#
10.02.201552.22 Кб31Календарный план_Функц. Анализ_ФН4_ 2013.doc
#
10.02.20151.16 Mб66Функциональный анализ_ФН2_4 сем 2013.doc
#
10.02.2015891.39 Кб26Функциональный анализ_ФН2_Оценочные средства и рейтинг.doc
#
10.02.20151.19 Mб60Функциональный анализ_ФН4_4 сем 2013_1.docx