Календарные планы / 2 курс / 4 семестр / ФН / Функциональный анализ / Календарный план_Функц. Анализ_ФН4_ 2013

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2 курс 4 семестр (2012-13уч. год) для ФН4

Основная литература (ОЛ)

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 542 с.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.Н. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

3. Садовничий В.А. Теория операторов. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - 368~с.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 495 с.

5. Власова Е.А. Ряды. - М.: Изд-во МГТУ, 2000. -612 с.

6. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. - М.: Изд-во МГТУ, 2001. -700 с.

7. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 158 с.

8. Треногин В.А., Писаревский В.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

9. Власова Е.А., Феоктистов В.В., Чадов В.Б. Введение в прикладной функциональный анализ. - М.: Изд-во МГТУ, 1994. - 54 с.

10. Феоктистов В.В. Бесконечномерные пространства и применение функционального анализа в математической физике. - М: Изд-во МГТУ, 1995. - 54 с.

11. Власова Е.А., Нараленков К.М., Пугачев О.В. Функциональный анализ. – М.: Изд-во МГТУ, 2005. – 64 с.

12. Власова Е.А., Красновский Е.Е., Марчевский И.К. Функциональный анализ. –М: Изд-во МГТУ, 2009, - 77 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

1. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1973. - 304 с.

2. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. - М.: Изд-во МАИ, 1996. - 744 с.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 744 с.

4. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М.: Наука, 1988. 398 с.

ЛЕКЦИИ

Модуль 1 Метрические и нормированные пространства

Лекции 1. Понятие метрического пространства (МП), аксиомы метрики, предел последовательности элементов МП. Непрерывные функции в метрических пространствах. Основные метрические пространства. Неравенства Гельдера и Минковского. Полные МП. Пополнение МП. Теорема о вложенных шарах в МП. Принцип сжимающих отображений. Свойства интегрального оператора Вольтерра и его степени. Сепарабельные пространства. Компактные множества в МП. Свойства отображений, непрерывных на компактных множествах. Критерии относительной компактности множеств в метрических пространствах.

ОЛ-1, гл. 2, §1-4, 7, ОЛ-3, гл.1, §2, 3, гл. 2, §2.6, 3, , ОЛ-5, §5.4, ОЛ-6 §4.2 .

Лекция 2. Нормированные пространства (НП). Банаховы пространства (БП). Примеры. Подпространства НП. Эквивалентность норм в конечномерных линейных пространствах. Критерий локальной компактности НП. Ряды в НП. Критерий Коши сходимости ряда. Теоремы об абсолютно сходящихся рядах в БП. БП со счетным базисом и сепарабельные пространства.

ОЛ-1, гл.3, §1,3, ОЛ-3, гл.2, §1, ОЛ-4, гл.1, §5, ОЛ-5 §5.1-5.7, ОЛ-6 §4.1.

Модуль 2. Гильбертовы пространства и линейные функционалы

Лекции 3. Гильбертово пространство (ГП). Примеры. Непрерывность скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Расстояние от точки до подпространства. Ортогональность элементов ГП. Ортогональное дополнение к подпространству. Разложение ГП в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

ОЛ-1, гл.3, §4, ОЛ-3 гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.1-6.3, ОЛ-6 §5.1.

Лекции 4. Ортонормированные системы (ОНС) и ряды Фурье в ГП. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы в ГП. Критерии базисности ортонормированной системы в ГП. Равенство Парсеваля. Замкнутые ОНС как ортонормированные базисы. Полные ортонормированные системы (ПОНС). ПОНС как ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Теорема о существовании в каждом сепарабельном ГП счетного ортонормированного базиса. Изоморфизм гильбертовых сепарабельных пространств.

ОЛ-1, гл.4, §6, ОЛ-3, гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.4-6.7.

Модуль 3. Линейные операторы и интегральные уравнения

Лекции 5. Линейные функционалы (ЛФ). Ограниченные ЛФ, непрерывные ЛФ, их связь. Норма ЛФ. Примеры. Теорема Хана - Банаха о продолжении ограниченного ЛФ, следствия. Общий вид непрерывных ЛФ в некоторых БП. Общий вид непрерывных ЛФ в ГП. Сопряженные пространства. Сильная и слабая сходимости. Обобщенные функции и их свойства.

ОЛ-1, гл.4, §1-3, §5, ОЛ-3, гл.2, §2, ОЛ-4, гл.4, §16,17, ОЛ-6 §4.4, 5.2.

Лекция 6. Линейные операторы в НП. Линейные ограниченные (непрерывные) операторы в БП. Норма оператора. Нормированное пространство линейных ограниченных операторов. Обратные операторы. Теорема Банаха об обратном операторе. Спектр линейного оператора. Регулярные значения оператора. Резольвента. Собственные значения и собственные элементы линейного оператора.

ОЛ-1, гл.4, §5, ОЛ-3, гл.2, §3.3, ОЛ-4, гл.2, §10, 11, 12, гл.4, §18, гл.6, §24, ОЛ-6 §4.3- 4.5, §4.6.

Лекция 7. Сопряженные операторы в НП. Сопряженные операторы в ГП. Самосопряженные операторы. Понятие о вполне непрерывном операторе. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве. Спектр вполне непрерывного самосопряженного (симметрического) оператора в ГП. Теорема Гильберта - Шмидта.

ОЛ-1, гл.4, §5, 6, ОЛ-2, гл.6, §1,2,3, ОЛ-3, гл.4, §2, ОЛ-4, гл.4, гл.5, §20,21,22, §18, гл.6, §24, ОЛ-6, §4.6, 5.2, 5.4, 5.5, Д.5.1.

Лекции 8-9. Интегральные уравнения Фредгольма. Классификация интегральных уравнений. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения однородного уравнения Фредгольма второго рода. Разложение по собственным функциям. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Теоремы Фредгольма.

ОЛ-1, гл.9, §1,2, ОЛ-7, гл.1, 3-5, гл. 6-8.

.

СЕМИНАРЫ

Модуль 1 Метрические и нормированные пространства

Занятие 1. Основные понятия в метрических пространствах.

ОЛ-6, гл.1, §6, ОЛ-12, Задачи: 1.1-1.12

Занятие 2. Полнота метрических пространств.

ОЛ-6, гл.1, §6, ОЛ-12, Задачи: 2.1-2.4.

Занятие 3. Принцип сжимающих отображений.

ОЛ-6, гл.1, §6, гл. 6 §24, ОЛ-12, Задачи: 2.5-2.10.

Занятие 4. Компактные множества в метрических пространствах.

ОЛ-6, гл.1, §6, ОЛ-12, Задачи: 3.1-3.8.

Занятие 5. Нормированные пространства.

ОЛ-6, гл.1, §1, ОЛ-12, Задачи: 4.1-4.4.

Занятие 6. Банаховы пространства.

ОЛ-6, гл.1, §2, ОЛ-12, Задачи: 4.5-4.9.

Модуль 2 Гильбертовы пространства и линейные функционалы

Занятие 7. Гильбертовы пространства. Расстояние от элемента до подпространства.

ОЛ-6, гл.1, §3, ОЛ-12, Задачи: 5.1-5.6.

Занятие 8. Ортонормированные базисы в гильбертовых пространствах.

ОЛ-6, гл.1, §3, 5, ОЛ-12, Задачи: 5.7-5.8.

Занятие 9. Рубежный контроль №1.

Модуль 3 Линейные операторы и интегральные уравнения

Занятие 10. Линейные ограниченные функционалы и их нормы. Сопряженные пространства.

ОЛ-6, гл.3, §11-13, ОЛ-12, Задачи: 6.1-6.2.

Занятие 11. Линейные ограниченные операторы. Норма линейного оператора.

ОЛ-6, гл.2, §7-8, ОЛ-12, Задачи: 6.3.

Занятие 12. Обратные линейные операторы.

Л-6, гл.2, §9.

Занятие 13. Сопряженные операторы.

Л-6, гл.3, §14.

Занятие 14. Спектр оператора. Резольвента.

Л-6, гл.5, §19.

Занятие 15. Рубежный контроль №2.

Занятие 16. Самосопряженные операторы. Компактные операторы. Спектр самосопряженного компактного оператора.

Л-6, гл.5, §20, ОЛ-12, Задачи: 6.4-6.5.

Занятие 17. Интегральные уравнения Фредгольма.

Л-6, гл.5, §21.

КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ И СРОКИ ИХ ПРОВЕДЕНИЯ

Домашние задания (ДЗ)

Модуль 1 Метрические и нормированные пространства

Домашнее задание №1 «Основные понятия функционального анализа» включает задания на вычисление расстояния между элементами в метрическом пространстве, задачи о существовании и единственности решения некоторого уравнения в заданном функциональном пространстве, использование критерия компактности множеств в основных функциональных пространствах.

ДЗ №1 «Основные понятия функционального анализа»

Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи - 5 неделя

Трудоемкость ДЗ№1 - 10 часов

Модуль 3 Линейные операторы и интегральные уравнения

Домашнее задание №2 «Функционалы, операторы, интегральные уравнения» включает вычисление расстояния от элемента до подпространства в гильбертовом пространстве, вычисление норм функционалов, линейных операторов, нахождение обратных операторов, определение спектра линейных операторов, решение некоторых интегральных уравнений.

ДЗ №2 «Функционалы, операторы, интегральные уравнения»

Срок выдачи 8 неделя, срок сдачи - 15 неделя

Трудоемкость ДЗ №2 - 10 часов

Рубежные контроли (РК) и контрольные работы (КР)

Модуль 2 Гильбертовы пространства и линейные функционала

Рубежный контроль №1 «Основные понятия функционального анализа»

Срок проведения - 10 неделя

Модуль 3 Линейные операторы и интегральные уравнения

Рубежный контроль №2 «Функциональный анализ» (тест из 12 заданий с открытой формой ответов).

Срок проведения - 15 неделя.

Кафедра ФН-2, ответственное лицо: доцент Власова Елена Александровна,

тел.8-499-263-63-26