4. Линейные функционалы

Линейные функционалы в линейных нормированных пространствах. Ограниченные и непрерывные линейные функционалы, их связь. Норма функционала. Общий вид линейных непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве. Сопряженное пространство. Сильная и слабая сходимости. Обобщенные функции и их свойства.

5.Линейные операторы

Линейные операторы. Линейные ограниченные (непрерывные) операторы в банаховых пространствах. Норма оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Обратный оператор. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Спектр оператора. Резольвента. Понятие о вполне непрерывном операторе. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве. Теорема Гильберта - Шмидта.

6.Интегральные уравнения

Интегральные уравнения Фредгольма. Классификация интегральных уравнений. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Теоремы Фредгольма.

4.2. Практические занятия (семинары, упражнения, занятия в компьютерном классе, деловые игры и т.п.)

Модуль 1 Метрические и нормированные пространства

1.Метрические пространства

Основные понятия в метрических пространствах (2 часа). Сходимость последовательности в метрическом пространстве (2 часа). Принцип сжимающих отображений (2 часа). Компактные множества в метрических пространствах (2 часа).

2.Нормированные и банаховы пространства

Нормированные пространства (2 часа). Банаховы пространства (2 часа).

Модуль 2 Гильбертовы пространства и линейные функционалы

3.Гильбертовы пространства

Гильбертовы пространства. Расстояние от элемента до подпространства. (2 часа). Ортонормированные базисы в гильбертовых пространствах (2 часа).

4. Линейные функционалы

Линейные ограниченные функционалы и их нормы. Сопряженные пространства (4 часа).

Модуль 3 Линейные операторы и интегральные уравнения

5. Линейные операторы

Линейные операторы. Норма линейного ограниченного оператора (4 часа). Обратные линейные операторы (2 часа). Спектр оператора. Резольвента (2 часа). Самосопряженные операторы. Компактные операторы. Спектр самосопряженного компактного оператора (2 часа).

6. Интегральные уравнения

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода (4 часа).

4.3. Лабораторные работы (с использованием измерительной техники и экспериментального или производственного оборудования)

Лабораторных работ нет

4.4. Самостоятельная работа (в том числе под контролем преподавателя на консультациях)

Виды самостоятельной работы и контрольных мероприятий	Объем, час / выполнение, неделя выдачи-сдачи
	Всего, час	4 семестр 17 недель
Домашнее задание №1 Домашнее задание №2	20	10/1-5 10/8-15
Рубежный контроль №1 №2	8	4/10 4/15
Самостоятельная проработка курса(в том числе под руководством преподавателя на консультациях)	23	23

4.4.1 Домашние задания

Модуль 1 Метрические и нормированные пространства

Домашнее задание №1 «Основные понятия функционального анализа» включает задания на вычисление расстояния между элементами в метрическом пространстве, задачи о существовании и единственности решения некоторого уравнения в заданном функциональном пространстве, использование критерия компактности множеств в основных функциональных пространствах.

ДЗ №1 «Основные понятия функционального анализа»

Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи - 5 неделя

Трудоемкость ДЗ№1 - 10 часов

Модуль 3 Линейные операторы и интегральные уравнения

Домашнее задание №2 «Функционалы, операторы, интегральные уравнения» включает вычисление расстояния от элемента до подпространства в гильбертовом пространстве, вычисление норм функционалов, линейных операторов, нахождение обратных операторов, определение спектра линейных операторов, решение некоторых интегральных уравнений.

ДЗ №2 «Функционалы, операторы, интегральные уравнения»

Срок выдачи 8 неделя, срок сдачи - 15 неделя

Трудоемкость ДЗ №2 - 10 часов