4. Теория меры. Интеграл Лебега
Элементы
теории множеств. Системы множеств:
полукольцо, кольцо, алгебра, сигма-алгебра.
Мера на полукольце. Продолжение меры с
полукольца на порожденное им минимальное
кольцо. Свойства меры. Счетно-аддитивная
мера, ее продолжение с полукольца на
минимальное кольцо. Внешняя мера и ее
свойства. Построение меры Лебега.
Измеримые по Лебегу множества. Свойства
меры Лебега. Измеримые функции и их
свойства. Интеграл Лебега, его свойства.
Счетная аддитивность и абсолютная
непрерывность интеграла Лебега.
Предельный переход под знаком интеграла
Лебега. Банаховы пространства
и их свойства.
5. Линейные функционалы
Линейные функционалы в линейных нормированных пространствах. Ограниченные и непрерывные линейные функционалы, их связь. Норма функционала. Теорема Хана - Банаха о продолжении линейного непрерывного функционала. Общий вид линейных непрерывных функционалов в некоторых банаховых пространствах. Общий вид линейных непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве. Сопряженное пространство. Сильная и слабая сходимости. Второе сопряженное пространство. Обобщенные функции и их свойства.
6. Линейные операторы
Линейные операторы. Линейные ограниченные (непрерывные) операторы в банаховых пространствах. Норма оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Спектр оператора. Резольвента. Понятие о вполне непрерывном операторе. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве. Теорема Гильберта - Шмидта.
7. Интегральные уравнения
Интегральные уравнения Фредгольма. Классификация интегральных уравнений. Однородное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения однородного уравнения Фредгольма второго рода. Разложение по собственным функциям. Краевая задача на собственные значения (задача Штурма - Лиувилля). Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Теоремы Фредгольма. Уравнения Вольтерра второго рода. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.
4.2. Практические занятия (семинары, упражнения, занятия в компьютерном классе, деловые игры и т.п.)
Модуль 1 Метрические, нормированные и гильбертовы пространства
1.Метрические пространства
Основные понятия в метрических пространствах (2 часа). Полнота метрических пространств (2 часа). Принцип сжимающих отображений (2 часа). Компактные множества в метрических пространствах (2 часа).
2.Нормированные и банаховы пространства
Нормированные пространства (2 часа). Банаховы пространства (2 часа).
3.Гильбертовы пространства
Гильбертовы пространства. Расстояние от элемента до подпространства. (2 часа). Ортонормированные базисы в гильбертовых пространствах (2 часа).
Модуль 2 Линейные операторы и интегральные уравнения
4. Теория меры. Интеграл Лебега
Мера Лебега. Измеримые функции. Интеграл Лебега (2 часа).
5. Линейные функционалы
Линейные ограниченные функционалы и их нормы. Сопряженные пространства (2 часа).
6. Линейные операторы
Линейные операторы. Норма линейного ограниченного оператора (2 часа). Обратные линейные операторы (2 часа). Сопряженные операторы (2 часа). Спектр оператора. Резольвента (2 часа). Самосопряженные операторы. Компактные операторы. Спектр самосопряженного компактного оператора (2 часа).
7. Интегральные уравнения
Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода (4 часа).
4.3. Лабораторные работы (с использованием измерительной техники и экспериментального или производственного оборудования)
Лабораторных работ нет
4.4. Самостоятельная работа (в том числе под контролем преподавателя на консультациях)
-
Виды самостоятельной работы и контрольных мероприятий
Объем, час / выполнение, неделя выдачи-сдачи
Всего, час
4 семестр
17 недель
Домашнее задание №1
Домашнее задание №2
20
10/1-8
10/8-15
Контрольная работа (КР)
2
2/13
Рубежный контроль №1
№2
8
4/9
4/16
Самостоятельная проработка курса (в том числе под руководством преподавателя на консультациях)
21
21