Календарные планы / 2 курс / 3 семестр / РК4 / Кратные интегралы, теория поля, ряды / Рейтинг и журнал

Кратные интегралы, теория поля, ряды

2 курс 3 семестр СМ1, СМ2, СМ3, СМ4, СМ6, СМ8, СМ9, СМ10, СМ12, РК4

Рейтинговая система контроля освоения дисциплины

Контрольные мероприятия и сроки их проведения Модуль 1

1.ДЗ №1 «Кратные и криволинейные интегралы» Срок выдачи 2 неделя, срок сдачи - 7 неделя

2.Контроль по модулю №1 (РК №1) «Кратные и криволинейные интегралы» Срок проведения – 8 неделя

Модуль 2

1. ДЗ №2 «Теория поля» Срок выдачи 2 неделя, срок сдачи – 10 неделя

2. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Теория поля» Срок проведения – 11 неделя

Модуль 3

1. ДЗ №1 часть 1 «Числовые ряды» Срок выдачи 11 неделя, срок сдачи - 13 неделя 2. ДЗ №1 часть 2 «Степенные ряды»

Срок выдачи 11 неделя, срок сдачи - 15 неделя 3. Контроль по модулю №3 (РК №3) «Ряды» Срок проведения – 16 неделя

Типовые задачи, используемые при формировании вариантов текущего контроля

Домашнее задание №1 «Кратные и криволинейные интегралы»

z x 2 y 2

4. Вычислить площадь поверхности y x 01 z 4

5.Найти центр тяжести шара (x R)2 y 2 z 2 R2 , если плотность вещества шара пропорциональна расстоянию от начала координат.

Задача № 2. Задан вектор F (x y z) в трехмерном пространстве. а) Найти векторные линии поля.

б) Найти дивергенцию векторного поля и вычислить ее значение в точке M 0 .

в) Найти поток вектора F(x y z) через замкнутую поверхность S , ограничивающую конечный объем V , заданный пересечением поверхностей.

г) Вычислить ротор вектора F(x y z) в произвольной точке.

д) Вычислить циркуляцию вектора F(x y z) по замкнутой линии L , образованной

пересечением поверхностей, с помощью линейного интеграла и проверить результаты по формуле Стокса.

Домашнее задание №3 (Часть 2) «Функциональные ряды»

Задача 1. Найти интервал сходимости степенного ряда ( x 6)n и исследовать сходимость

n 1

n2 5n

ряда на концах этого интервала.

Задача 2. Разложить функцию f (x) ch2x в степенной ряд по степеням (x 1) , используя табличные разложения; указать интервал сходимости.

0 75

Задача 3. Разлагая подынтегральную функцию интеграла 31 x4 dx в ряд, вычислить

0

приблизительное значение данного определенного интеграла с погрешностью, превышающей 0 001 .

Задача 4. Найти в виде ряда Тейлора частное решение дифференциального уравнения y ex y x при начальных условиях y x 2 2 (выписать четыре-пять членов разложения).

Контроль по модулю (РК №1)

Билет №.

1. Вычислить (и оценить) интеграл (x2 3y)dxdy , область D ограничена прямыми

D

x y 2 x 1 y 0; расставить пределы интегрирования по этой области в полярных координатах.

x2 y2 1 x2 y2 4z z 0 .

Контроль по модулю (РК) №2

направлении внешней нормали к ограничивающим тело поверхностям,

3)циркуляцию векторного поля по контуру (l) - треугольнику с вершинами в точках A(0,0,2), B(0,0,1), C(0,1,2) .

Замечание: Теоретические вопросы в РК №2 по модулю 1 и 2.

Контроль по модулю (РК) №3

Билет № 1. Доказать признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда. Оценка

суммы и остатка ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница.

МОДУЛЬ 1: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.Определение двойного и тройного интегралов. Геометрический смысл двойного и тройного интегралов. Теоремы существования (формулировки).

2.Свойства кратных интегралов (с выводом). Вычисление двойного и тройного интегралов в декартовой системе координат. Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

3.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

4.Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода, его геометрический и физический смысл. Вывод формулы для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

5.Определение и свойства криволинейного интеграла 2-го рода, его физический смысл. Вывод формулы для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

6.Формула Грина для односвязных и многосвязных областей.

7.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования (доказательство теоремы об эквивалентности четырех условий).

8.Интегрирование полных дифференциалов. Формула Ньютона - Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала (с выводом). Нахождение функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла.

МОДУЛЬ 2: ТЕОРИЯ ПОЛЯ

9.Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, свойства, вычисление и применение.

10.Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, свойства и вычисление.

11.Поток векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса (с выводом).

12.Дивергенция векторного поля и ее свойства (с выводом). Вывод формулы для вычисления дивергенции в декартовой системе координат (или доказательство инвариантности дивергенции от выбора системы координат).

13.Циркуляция векторного поля. Формула Стокса (без доказательства).

14.Ротор векторного поля и его свойства (с выводом). Вычисление ротора в декартовой системе координат (или доказательство инвариантности ротора от выбора системы координат).

15.Соленоидальное векторное поле и его свойства (с выводом). Потенциальное векторное поле и его свойства (с выводом).

МОДУЛЬ 3: РЯДЫ

18.Числовые ряды. Сходящиеся ряды. Необходимый признак сходимости. Простейшие свойства сходящихся рядов (почленное сложение рядов, умножение ряда на число, отбрасывание конечного числа членов ряда) (с выводом).

19.Знакоположительные ряды. Признаки сравнения (с выводом).

20.Признак Даламбера (с выводом).

21.Радикальный признак Коши (с выводом).

22.Интегральный признак Коши (с выводом).

23.Исследование на сходимость ряда Дирихле.

24.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости рядов.

25.Теорема о сходимости абсолютно сходящегося знакопеременного числового ряда (с доказательством).

26.Ряды, сходящиеся абсолютно и условно, их свойства.

27.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (с выводом). Оценка суммы и остатка ряда.

28.Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда (с доказательством). Свойства равномерно сходящихся рядов.

29.Степенные ряды. Теорема Абеля (с доказательством). Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

30.Теорема о равномерной сходимости степенного ряда внутри его области сходимости (с доказательством).

31.Свойства степенных рядов: непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

32.Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема о том, что степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

33.Достаточный признак возможности разложения бесконечно дифференцируемой функции в ряд Тейлора.

ex ,sin x,cos x,ln(1 x),(1 x) .

Рейтинговые оценки за выполнение отдельных позиций заданий контрольного мероприятия

Модуль 1

Модуль 3

Правила выставления баллов в журнале

1.Баллы за ДЗ. Баллы за ДЗ выставляются на следующей неделе после установленного срока сдачи, согласно соответствующей таблице. Студент имеет право сдавать на проверку отдельные задания ранее установленного срока и исправлять отмеченные преподавателем ошибки, получая при этом необходимую консультацию. Если к окончательному сроку сдачи ДЗ студент доводит решение задачи до правильного варианта, то ему за это задание выставляется максимальный балл. После срока сдачи ДЗ студент, не

набравший минимального балла за ДЗ, продолжает работу над заданием. При этом в случае успешной работы студенту начисляется минимальный балл за ДЗ.

2.Баллы за «контроль по модулю». В качестве «контроля по модулю» предлагается письменная работа, как правило, состоящая из теоретической и практической частей. Каждая часть контроля по модулю оценивается отдельно. Студент, получивший оценку не ниже минимальной по одной из частей контроля, считается сдавшим эту часть и освобождается от ее выполнения в дальнейшем. По усмотрению преподавателя по теоретической части задания может проводиться собеседование. Если студент не набирает установленного минимума за каждую часть работы, то в течение семестра он имеет две попытки по каждой части исправить ситуацию. При положительном результате (наборе баллов не менее установленного минимального) студенту выставляется минимальный балл за «контроль по модулю».

3.Оценка за модуль. Если студент выполнил все текущие контрольные мероприятия модуля (набрал не менее установленного минимального балла),

то оценкой за модуль считается сумма баллов за все контрольные мероприятия модуля (при этом студент автоматически набирает не ниже минимального порога). Окончательные баллы за модуль проставляются в журнале после закрытия всех контрольных мероприятий.

4. Суммарный балл. Сумма баллов за три модуля.

Типовой вариант экзаменационного билета