1 курс Анал Геомет / 2 курс / 4 семестр / ФН / Дифференциальная геометрия / Диф. геометрия 2013-2014
.pdfВладение навыками |
|
|
Компетенции |
применения дифференциально-геометрических |
методов |
в |
П-1, 2, 3, 6, 7; Т-1, 2, |
практических исследованиях |
|
|
3, 4; СЛ-1, 3, 5, 6; |
методами поиска и обмена информацией в |
глобальных |
и |
ОП-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; |
локальных компьютерных сетях |
|
|
НИ-1, 4, 5; ПР-1, 2; |
|
|
|
ПТ-1, 3, 4; ОУ-1, 2; |
|
|
|
НП-1, 2, 3. |
Содержание модуля 2 «Риманова геометрия и тензорный анализ»
Лекции
1. Криволинейные системы координат
Криволинейные системы координат в области n-мерного пространства. Локальный базис криволинейной системы координат. Длина кривой в криволинейной системе координат. Вычисление углов и объемов в криволинейной системе координат. – 2 часа
2. Римановы метрики
Риманова метрика (метрический тензор) в области n-мерного пространства. Римановы и псевдоримановы пространства. Длина кривой, угол между кривыми, объем области в римановом пространстве. Примеры римановых и псевдоримановых пространств. Пространство Минковского. Гладкая k-мерная поверхность. Задача о вычислении длины кривой на поверхности. Индуцированная метрика на поверхности. Модели геометрии Лобачевского. – 4 часа
3. Координатное определение тензора и тензорного поля
Координатное определение тензора и тензорного поля. Задание тензора (тензорного поля) его компонентами в некоторой системе координат. Обратный тензорный признак. Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями, их свойства. Кососимметричные тензоры. – 4 часа
4. Ковариантное дифференцирование тензорных полей
Ковариантное (инвариантное) дифференцирование тензорных полей. Символы Кристоффеля, их кинематический смысл. Закон преобразования символов Кристоффеля. Теорема о существовании тензорной операции дифференцирования тензорных полей (без док-ва). Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Аффинная связность. Ковариантное дифференцирование вдоль кривой. Параллельный перенос векторов. Геодезические. Уравнение геодезических. Параллельный перенос векторов вдоль геодезических. – 4 часа
11
5. Тензоры как полилинейные функции
Тензоры как полилинейные функции. Связь координатного и алгебраического определений тензоров. Базис модуля тензорных полей в области евклидова пространства. Инвариантная форма записи тензорного поля. – 2 часа
6. Векторные поля
Векторные поля. Производная по направлению векторного поля, ее свойства. Инвариантная форма записи векторного поля. Коммутатор векторных полей, его свойства. Алгебра Ли векторных полей. – 2 часа
7. Внешние дифференциальные формы
Внешние дифференциальные формы. Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешний дифференциал, его свойства. Градиент, ротор и дивергенция как внешние дифференциалы в комплексе де Рама. – 2 часа
Семинары
1. Криволинейные системы координат
Криволинейные системы координат в области n-мерного пространства. Координатные линии и координатные поверхности криволинейной системы координат. Локальный базис криволинейной системы координат. Длина кривой в криволинейной системе координат. Вычисление углов и объемов в криволинейной системе координат. – 2 часа
2.Римановы метрики
Риманова метрика (метрический тензор) в области n-мерного пространства. Римановы и
псевдоримановы пространства. Длина кривой, угол между кривыми, объем области в римановом пространстве. Индуцированная метрика на поверхности. Модели геометрии Лобачевского. – 2 часа
3. Тензоры и тензорные поля
Координатное определение тензора и тензорного поля. Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями. Кососимметричные тензоры. – 4 часа
4. Ковариантное дифференцирование тензорных полей
Ковариантная производная тензорных полей. Символы Кристоффеля. Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Ковариантное дифференцирование вдоль кривой. Параллельный перенос векторов. Геодезические.– 4 часа
5. Векторные поля
Векторные поля. Производная по направлению векторного поля, ее свойства. Инвариантная форма записи векторного поля. Коммутатор векторных полей, его свойства. Алгебра Ли векторных полей. – 2 часа
6. Внешние дифференциальные формы
Внешние дифференциальные формы. Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешний дифференциал, его свойства. – 2 часа
12
Самостоятельная работа
В модуле 2 предусмотрена самостоятельная проработка материала лекций и семинаров. Контроль проводится в форме домашнего задания, контрольной работы и письменного рубежного контроля на семинаре.
Во втором модуле предусмотрено выполнение домашнего задания №2, которое включает задания на исследование заданной криволинейной системы координат в трехмерном пространстве и проведение вычислений в этой системе координат. При выполнении домашнего задания студенты используют систему компьютерной алгебры Mathematica. Домашнее задание №2 включает также написание реферата о приложениях рассматриваемой криволинейной системы координат.
Срок сдачи - 15 неделя.
Контрольная работа включает теоретический вопрос (без доказательств) и задачи на проведение вычислений в криволинейных системах координат.
Срок проведения 13 неделя.
Рубежный контроль №2 включает теоретические вопросы и задачи на выполнение алгебраических операций над тензорами и тензорными полями, работу с тензорами в криволинейных системах координат и выполнение операций с дифференциальными формами и векторными полями.
Срок проведения - 16 неделя.
Образовательные технологии
Для обеспечения системности и эффективности технологии образования учебные
материалы модуля включают |
|
классический лекционный курс, снабженный подробными |
примерами и |
иллюстрациями; |
|
информацию справочного характера;
информацию о связи курса с другими естественно-научными и профессиональными дисциплинами;
информацию о современном состоянии исследований в данной области.
Деятельностный подход при освоении дисциплины реализуется через
обсуждение некоторых разделов лекционного курса;
анализ и решение задач;
выполнение домашнего задания и контрольных мероприятий.
13
Модуль 3 «Экзамен»
|
Объем |
Сроки |
|
Виды учебной работы |
проведения, |
||
в часах |
|||
|
недели |
||
|
|
||
Лекции |
0 |
|
|
|
|
|
|
Семинары |
0 |
|
|
|
|
|
|
Лабораторные работы |
0 |
|
|
|
|
|
|
Практические занятия |
0 |
|
|
|
|
|
|
Проведение экзамена |
6 |
17-20 |
|
|
|
|
|
Самостоятельная работа: |
20 |
17-20 |
|
подготовка к экзамену |
20 |
|
|
Трудоемкость, час |
20 |
17-20 |
|
|
|
|
|
Трудоемкость, зач.единицы |
1 |
|
Контроль освоения модуля
Неделя проведения |
Формы контроля |
Оценка в баллах |
|
контроля модуля |
|
минимальная |
максимальная |
|
|
|
|
17-20 |
Экзамен |
16 |
30 |
|
|
|
|
|
ИТОГО |
16 |
30 |
|
|
|
|
Раздел 4. Методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1.Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. Изд.2-е. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 408 с.
2.Мищенко А.Ф., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во «Факториал-пресс», 2000. – 448 с.
3.Хорькова Н.Г., Чередниченко А.В. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Кривые в пространстве. – Изд-во МГТУ, 2007. – 48 с.
4.Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. (Сер. Математика в техническом университете, вып. V) –
М.: Изд-во МГТУ, 2000. – 456 с.
5.Хорькова Н.Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Риманова геометрия и тензорный анализ. – Изд-во МГТУ, 2005. – 84 с.
Дополнительная учебная литература.
1. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Изд. 4–е.– М.:Едиториал УРСС,
2003.- 432 с.
14
2.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М.: Наука, 1974. – 176 c.
3.Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и
приложения. Т.1. Изд-е 4-е, исправленное и дополненное. – М.: Эдиториал УРСС, 1998.
– 366 с.
4.Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. – 672 c.
5.Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии. 3-е изд., испр. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 144 с.
6.Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Ч.2. – СПб.: Специальная литература, 1997. – 320 с.
7.Сокольников И. Тензорный анализ. – М.: Наука, 1971. – 376 с.
8.Коренев Г.В. Тензорное исчисление. – М.: Изд-во МФТИ, 1996. – 240 с.
9.Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. – М.:Высшая школа, 2001. – 575 с.
10.Мак Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ.– М.: Физматгиз, 1963.– 412 с.
11.Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 4-е. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 664 с.
12.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2. Изд. 4-е. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 464 с.
13.Зорич В.А. Математический анализ. Часть 2. – М.: МНЦМО, 2002. – 794 с.
14.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971. – 240 с.
15.Арнольд В.И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1979. – 432 с.
16.Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 344 с.
17.Сборник задач по дифференциальной геометрии. / Под ред. Феденко А.С. – М.: Наука,
1979. – 272 с.
18.Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1981. – 184 с.
19.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.:
Наука, 1984; Изд-во «Лань», 2003. – 832 с.
Кафедральные издания и методические материалы
20.Хорькова Н.Г., Четвериков В.Н. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Векторные поля на многообразиях. Учебное пособие. – М.: Изд-во МГТУ,
1996. – 48 с.
21.Хорькова Н.Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Поверхности в пространстве. Конспект лекций. 2014.
22.Дифференциальное исчисление функций многих переменных: Учебное пособие / Попов В.С., Пустовалова Г.П., Хорькова Н.Г. и др.: под ред. Яковенко М.Г. – М.: Изд-во МГТУ,
1990. – 104 с.
Электронные ресурсы (с указанием названия и полного электронного адреса).
1.Высшая математика http://www.mathelp.spb.ru
2.Экспонента.ру http://www.exponenta.ru/
3.Вся математика в одном месте http://www.allmath.ru/
4.Официальный сайт кафедры ФН-2 «Прикладная математика» http://www.applmath.bmstu.ru
15
Раздел 5. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Методические материалы:
1.Программа дисциплины включающая задачи для самостоятельного решения.
2.Методические пособия, представленные в библиотеке.
3.Оценочные средства контроля усвоения материала дисциплины.
Используемое оборудование: электронная доска
16
Программа составлена в соответствии с требованиями ОС МГТУ им. Н.Э. Баумана ВПО
Обсуждено на заседании кафедры
________
«__»____________ 201_ г. Протокол № __
Зав. Кафедрой ФН-2
Г.Н. Кувыркин
Автор(ы) программы: доцент Хорькова Н.Г.
Рецензент Профессор кафедры ФН12
Четвериков В.Н. _________________
|
«____» __________ 201_ г. |
Председатель методической комиссии факультета ФН |
|
Еркович О.С. _________________ |
«___»__________201_ г. |
Декан факультета ФН |
|
Гладышев В.О. ___________________ |
«____»_________201_ г. |
СОГЛАСОВАНО: |
|
Декан факультета ФН |
|
Гладышев В.О. ___________________ |
«____»_________201_ г. |
Начальник управления образовательных стандартов |
|
и программ |
|
Строганов Д.В. ___________________ |
«____»_________201_ г. |
17
Приложение к программе дисциплины
«Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа»
Типовые варианты заданий
ДЗ №1 «Кривые и поверхности в пространстве»
ДЗ №2 «Криволинейные системы координат»
18
РК №1 «Кривые и поверхности в пространстве»
Контрольная работа «Криволинейные системы координат»
19
РК №2 «Риманова геометрия и тензорный анализ»
Вопросы для подготовки к рубежным контролям, контрольной работе и экзамену
Модуль 1 Кривые и поверхности в пространстве
1.Параметризованные кривые в пространстве. Регулярные и особые точки параметризованных кривых. Гладкие кривые.
2.Репараметризация кривых. Натуральный параметр кривой. Теорема о существовании натуральной параметризации на гладкой кривой. Свойства векторов скорости и ускорения кривой, отнесенной к натуральному параметру.
3.Кривизна кривой. Радиус кривизны, центр кривизны, вектор кривизны.
4.Репер Френе.
5.Сопровождающий трехгранник кривой.
6.Формулы Френе. Кручение кривой.
7.Геометрический смысл кривизны и кручения.
8.Механический смысл формул Френе. Вектор Дарбу.
9.Кривизна и кручение кривой, отнесенной к произвольному параметру.
10.Формулы для вычисления кривизны плоских кривых.
11.Репер Френе кривой, отнесенной к произвольному параметру.
12.Натуральные уравнения кривой. Теорема существования и единственности кривой с данными кривизной и кручением (доказать единственность).
13.Параметризованные поверхности в пространстве. Регулярные и особые точки параметризованных поверхностей. Гладкие поверхности.
14.Криволинейные координаты и координатная сеть на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательное пространство.
20