1 курс Анал Геомет / 2 курс / 4 семестр / ФН / Дифференциальная геометрия / Задачи 2013-2014

жо2, 2 ЛХТУ, 4 УЕНЕУФТ

дЙЖЖЕТЕОГЙБМШОБС ЗЕПНЕФТЙС

ъБДБЮЙ ДМС РТПЧЕДЕОЙС УЕНЙОБТПЧ Й УБНПУФПСФЕМШОПК ТБВПФЩ

нПДХМШ 1

фЕПТЙС ЛТЙЧЩИ

1.фПЮЛБ A ТБЧОПНЕТОП ДЧЙЦЕФУС РП РТСНПК, МЕЦБЭЕК Ч РМПУЛПУФЙ Oxy Й ТБЧОПНЕТОП ЧТБЭБАЭЕКУС ЧПЛТХЗ ФПЮЛЙ O. уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ A (УРЙТБМШ бТИЙНЕДБ).

2.рТСНБС OM ТБЧОПНЕТОП ЧТБЭБЕФУС Ч РМПУЛПУФЙ Oxy ЧПЛТХЗ ФПЮЛЙ O. фПЮЛБ B ДЧЙЦЕФУС РП РТСНПК OM УП УЛПТПУФША, РТПРПТГЙПОБМШОПК ТБУУФПСОЙА OB. уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ A (МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС УРЙТБМШ).

3.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ЛТЙЧЩИ ЧФПТПЗП РПТСДЛБ.

4.лТХЗ ТБДЙХУБ a ЛБФЙФУС РП РТСНПК ВЕЪ УЛПМШЦЕОЙС. уПУФБЧЙФШ

РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ ЛТХЗБ, ТБУРПМПЦЕООПК ОБ ТБУУФПСОЙЙ d ПФ ЕЗП ГЕОФТБ (ГЙЛМПЙДЩ; ТБУУНПФТЕФШ УМХЮБЙ a = d, a > d, a < d).

5.пЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ r ЛБФЙФУС ВЕЪ УЛПМШЦЕОЙС РП ПЛТХЦОПУФЙ ТБДЙХУБ R, ПУФБЧБСУШ ЧОЕ ЕЕ. уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС

ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ ЛБФСЭЕКУС ПЛТХЦОПУФЙ (ЬРЙГЙЛМПЙДБ). юФП ВХДЕФ РТЙ r = R?

6.пЛТХЦОПУФШ ТБДЙХУБ r ЛБФЙФУС ВЕЪ УЛПМШЦЕОЙС РП ПЛТХЦОПУФЙ ТБДЙХУБ R, ПУФБЧБСУШ ЧОХФТЙ ОЕЕ. уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧ-

ОЕОЙС ФТБЕЛФПТЙЙ ФПЮЛЙ ЛБФСЭЕКУС ПЛТХЦОПУФЙ (ЗЙРЕТГЙЛМПЙДБ). юФП ВХДЕФ РТЙ R = 4r, R = 2r?

7.рТСНБС OM, ОЕ РЕТРЕОДЙЛХМСТОБС ПУЙ Oz, ТБЧОПНЕТОП ЧТБЭБЕФУС ЧПЛТХЗ ОЕЕ У РПУФПСООПК ХЗМПЧПК УЛПТПУФША. фПЮЛБ A ДЧЙЦЕФУС РП РТСНПК OM: Б) У РПУФПСООПК УЛПТПУФША; В) УП УЛПТПУФША, РТПРПТГЙПОБМШОПК ТБУУФПСОЙА OA. ч РЕТЧПН УМХЮБЕ ФПЮЛБ ПРЙУЩЧБЕФ ЛПОЙЮЕ-

УЛХА ЧЙОФПЧХА МЙОЙА, ЧП ЧФПТПН ¡ ЛПОЙЮЕУЛХА УРЙТБМШ. уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ЬФЙИ ЛТЙЧЩИ.

8.пУЙ ДЧХИ ЛТХЗПЧЩИ ГЙМЙОДТПЧ ТБДЙХУПЧ a É b РЕТЕУЕЛБАФУС РПД

РТСНЩН ХЗМПН. ч РЕТЕУЕЮЕОЙЙ ГЙМЙОДТПЧ ПВТБЪХАФУС ДЧЕ ЪБНЛОХФЩЕ

1

МЙОЙЙ, УПЧПЛХРОПУФШ ЛПФПТЩИ ОБЪЩЧБЕФУС ВЙГЙМЙОДТЙЛПК. оБРЙУБФШ ОЕСЧОЩЕ Й РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ВЙГЙМЙОДТЙЛЙ. юФП ВХДЕФ Ч УМХЮБЕ a = b?

9.ч РТПУФТБОУФЧЕ ДЧЕ ФПЮЛЙ ДЧЙЦХФУС ФБЛ, ЮФП ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ОЙНЙ ПУФБЕФУС РПУФПСООЩН. дПЛБЪБФШ, ЮФП РТПЕЛГЙЙ ЙИ УЛПТПУФЕК ОБ ОБРТБЧМЕОЙЕ РТСНПК, УПЕДЙОСАЭЕК ЬФЙ ФПЮЛЙ, ТБЧОЩ НЕЦДХ УПВПК.

10.рХУФШ ЧЕЛФПТ-ЖХОЛГЙС r(t) ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ ПФТЕЪЛЕ [a, b] ЧНЕУФЕ

r ≠ 0, r ≠ 0, ОП r r. дПЛБЪБФШ, ЮФП ЗПДПЗТБЖПН ЧЕЛФПТ-ЖХОЛГЙС r(t)

СЧМСЕФУС ПФТЕЪПЛ РТСНПК МЙОЙЙ.

11. рХУФШ ЧЕЛФПТ-ЖХОЛГЙС r(t) ОЕРТЕТЩЧОБ ОБ ПФТЕЪЛЕ [a, b] ЧНЕУФЕ УП

ЖХОЛГЙС r(t) СЧМСЕФУС ПФТЕЪПЛ РТСНПК МЙОЙЙ.

12.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС ЛБУБФЕМШОЩИ Л ЧЙОФП- ЧПК МЙОЙЙ. рПЛБЪБФШ, ЮФП ЧУЕ ЛБУБФЕМШОЩЕ ОБЛМПОЕОЩ РПД РПУФПСООЩН ХЗМПН Л РМПУЛПУФЙ Oxy.

13.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ ЛБУБФЕМШОЩЕ ЗМБДЛПК ЛТЙЧПК РТПИПДСФ ЮЕТЕЪ ПДОХ Й ФХ ЦЕ ФПЮЛХ, ФП ЛТЙЧБС МЕЦЙФ ОБ РТСНПК.

14.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ ЛБУБФЕМШОЩЕ ЗМБДЛПК ЛТЙЧПК РБТБММЕМШОЩ ОЕЛПФПТПК РМПУЛПУФЙ, ФП ЛТЙЧБС РМПУЛБС.

15.тЕРБТБНЕФТЙЪПЧБФШ ЛТЙЧХА r = {et cos t, et sin t, et} ОБФХТБМШОЩН

РБТБНЕФТПН.

16.тЕРБТБНЕФТЙЪПЧБФШ ЛТЙЧХА r = {ch t, sh t, t} ОБФХТБМШОЩН РБ-

ТБНЕФТПН.

17.чЩЮЙУМЙФШ ЛТЙЧЙЪОХ РМПУЛЙИ ЛТЙЧЩИ:

a)y = a ch x/a;

b)y = sin x;

c)r2 = a2 cos 2φ;

d)r = eφ;

e)r = {a cos t, b sin t};

f)r = {a cos3 t, a sin3 t};

g)x2 + 6x − 2y2 + 4y + 5 = 0;

h)x2 + 4y2 − xy + 2 = 0.

2

18.оБКФЙ ЬЧПМАФХ ЧЙОФПЧПК МЙОЙЙ.

19.оБКФЙ ЬЧПМАФХ ЬММЙРУБ.

20.оБКФЙ ЬЧПМАФХ ФТБЛФТЙУЩ.

21.дПЛБЪБФШ, ЮФП ДМЙОБ ДХЗЙ ЬЧПМАФЩ РМПУЛПК ЛТЙЧПК ТБЧОБ НПДХМА ТБЪОПУФЙ ТБДЙХУПЧ ЛТЙЧЙЪОЩ ЛТЙЧПК Ч ФПЮЛБИ, УППФЧЕФУФЧХАЭЙН ЛПОГБН ЬФПК ДХЗЙ.

22.оБКФЙ ЛТЙЧЙЪОХ Й ЛТХЮЕОЙЕ ЛТЙЧЩИ

a)x3 = 3y, 2xz = 1;

b)r = {et cos t, et sin t, et}.

23.рПЛБЪБФШ, ЮФП ЧУЕ ЗМБЧОЩЕ ОПТНБМЙ ЧЙОФПЧПК МЙОЙЙ РЕТЕУЕЛБАФ ПУШ Oz.

24.оБ ВЙОПТНБМСИ ЧЙОФПЧПК МЙОЙЙ ПФМПЦЕОЩ ПФТЕЪЛЙ ПДОПК Й ФПК ЦЕ ДМЙОЩ. оБКФЙ ХТБЧОЕОЙЕ ЛТЙЧПК, ПВТБЪХЕНПК ЛПОГБНЙ ЬФЙИ ПФТЕЪЛПЧ.

24.оБКФЙ ТЕРЕТ жТЕОЕ Й УПРТПЧПЦДБАЭЙК ФТЕИЗТБООЙЛ жТЕОЕ ДМС ЛТЙЧЩИ

a)r(t) = {t2, 1 − t, t3} Ч ФПЮЛЕ t = 1;

b)y2 = x, x2 = z Ч ФПЮЛЕ P (1, 1, 1).

26.оБКФЙ ЛТЙЧЙЪОХ, ЛТХЮЕОЙЕ Й ТЕРЕТ жТЕОЕ ЛТЙЧПК чЙЧЙБОЙ.

27.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛТЙЧБС x РМПУЛБС.

28.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ ОПТНБМШОЩЕ РМПУЛПУФЙ ЛТЙЧПК УПДЕТЦБФ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ЧЕЛФПТ, ФП ЛТЙЧБС РМПУЛБС.

29.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ УПРТЙЛБУБАЭЙЕУС РМПУЛПУФЙ ЛТЙЧПК УПДЕТЦБФ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ЧЕЛФПТ, ФП ЛТЙЧБС РМПУЛБС.

30.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ УПРТЙЛБУБАЭЙЕУС РМПУЛПУФЙ ЛТЙЧПК РТП-

ИПДСФ ЮЕТЕЪ ПДОХ Й ФХ ЦЕ ФПЮЛХ, ФП ЛТЙЧБС РМПУЛБС.

31. дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧЕЛФПТ ВЙОПТНБМЙ β = const, ФП ЛТЙЧБС

РМПУЛБС.

32. уПУФБЧЙФШ ОБФХТБМШОЩЕ ХТБЧОЕОЙС ЛТЙЧЩИ:

a) y = x3/2;

b) r = {a(cos t + t sin t), a(sin t − t cos t};

c) r = a(1 + cos φ).

3

33. уПУФБЧЙФШ ОБФХТБМШОЩЕ ХТБЧОЕОЙС ЛТЙЧПК

r = {ch t, sh t, t}.

фЕПТЙС РПЧЕТИОПУФЕК

1.рТСНБС ДЧЙЦЕФУС РПУФХРБФЕМШОП У РПУФПСООПК УЛПТПУФША, РЕТЕУЕЛБС ДТХЗХА РТСНХА РПД РТСНЩН ХЗМПН, Й ПДОПЧТЕНЕООП ТБЧОПНЕТОП ЧТБЭБЕФУС ЧПЛТХЗ ЬФПК РТСНПК. уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, ЛПФПТХА ПРЙУЩЧБЕФ ДЧЙЦХЭБСУС РТСНБС (РТСНПК ЗЕМЙЛПЙД). дПЛБЪБФШ, ЮФП РТСНПК ЗЕМЙЛПЙД СЧМСЕФУС ЗМБДЛПК РПЧЕТИОПУФША. оБКФЙ ЛППТДЙОБФОХА УЕФШ ОБ ЗЕМЙЛПЙДЕ. уПУФБЧЙФШ ХТБЧОЕОЙС ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФЙ Й ОПТНБМЙ Л ЗЕМЙЛПЙДХ Ч РТПЙЪЧПМШОПК ФПЮЛЕ.

2.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБО-

ОПК ЧТБЭЕОЙЕН ГЕРОПК МЙОЙЙ y = a ch xa ЧПЛТХЗ ПУЙ Ox (ЛБФЕОПЙД).

уПУФБЧЙФШ ХТБЧОЕОЙС ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФЙ Й ОПТНБМЙ Л РПЧЕТИОПУФЙ

×ФПЮЛЕ P (0, a, 0).

3.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ЧТБЭЕОЙЕН ПЛТХЦОПУФЙ x = a+b cos u, z = b sin u, 0 < b < a, ЧПЛТХЗ ПУЙ Oz (ÔÏÒ).

4.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ЧТБЭЕОЙЕН ФТБЛФТЙУЩ ЧПЛТХЗ ЕЕ БУЙНРФПФЩ (РУЕЧДПУЖЕТБ). оБКФЙ ПУПВЩЕ ФПЮЛЙ ОБ РУЕЧДПУЖЕТЕ.

5.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛЙЕ ХТБЧОЕОЙС РПЧЕТИОПУФЕК ЧФПТПЗП РПТСДЛБ.

6.дПЛБЪБФШ, ЮФП РБТБНЕФТЙЪПЧБООБС РПЧЕТИОПУФШ r = {2uv, u−v, u+ v}, u, v IR, ТЕЗХМСТОБ.

7.оБКФЙ ПУПВЩЕ ФПЮЛЙ РБТБНЕФТЙЪПЧБООЩИ РПЧЕТИОПУФЕК

Á) r = {u, 2u cos v, 3u sin v}, u, v IR;

Â) r = {sin u, 2 cos u cos v, 4 cos u sin v}, u, v IR.

8. оБЪЧБФШ Й РПУФТПЙФШ РПЧЕТИОПУФЙ

Á) r = {sin u, 2 cos u cos v, 4 cos u sin v}, u (−π2 , π2 ), v (0, π); Â) r = {u, 2u cos v, 3u sin v}, u < 0, v (−π2 , π2 );

×) r = {u2, 2u cos v, 4u sin v}, u > 0, v (0, π).

4

9. оБКФЙ ХТБЧОЕОЙЕ ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФЙ Л РПЧЕТИОПУФЙ

r = {u2, 2u cos v, 4u sin v}

×ФПЮЛЕ P (1, 0, 4).

10.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК УЕНЕКУФЧПН Б) ЛБУБФЕМШОЩИ; В) ЗМБЧОЩИ ОПТНБМЕК; Ч) ВЙОПТНБМЕК ДБООПК ЛТЙЧПК r = ρ(s). вХДХФ МЙ ЬФЙ РПЧЕТОПУФЙ ТЕЗХМСТОЩНЙ? уП-

УФБЧЙФШ ХТБЧОЕОЙС ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФЙ Й ОПТНБМЙ Ч РТПЙЪЧПМШОПК ФПЮЛЕ РПЧЕТИОПУФЙ.

11.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ГЙМЙОДТБ, ДМС ЛПФПТПЗП ЛТЙЧБС r = ρ(u) СЧМСЕФУС ОБРТБЧМСАЭЕК, Б ПВТБЪХАЭЙЕ РБТБММЕМШОЩ ЧЕЛФПТХ e.

12.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЛПОХУБ У ЧЕТЫЙОПК Ч ОБЮБМЕ ЛППТДЙОБФ, ДМС ЛПФПТПЗП ЛТЙЧБС r = ρ(u) СЧМСЕФУС ОБРТБЧМСАЭЕК.

13.дБОЩ ДЧЕ ЛТЙЧЩЕ r = ρ1(u) É r = ρ2(v). уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕ-

УЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, СЧМСАЭЕКУС ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛЙН НЕУФПН УЕТЕДЙО ПФТЕЪЛПЧ, ЛПОГЩ ЛПФПТЩИ МЕЦБФ ОБ ДБООЩИ ЛТЙЧЩИ. рПЛБЪБФШ, ЮФП ЬФБ РПЧЕТИОПУФШ ЕУФШ РПЧЕТИОПУФШ РЕТЕОПУБ (РПЧЕТИОПУФША РЕТЕОПУБ ОБЪЩЧБЕФУС РПЧЕТИОПУФШ, ПВТБЪХЕНБС РТЙ РПУФХРБФЕМШОПН РЕТЕНЕЭЕОЙЙ ПДОПК ЛТЙЧПК ЧДПМШ ДТХЗПК ЛТЙЧПК).

14.рХУФШ r = ρ(u) ¡ ЛТЙЧБС У ПФМЙЮОПК ПФ ОХМС ЛТЙЧЙЪОПК k. þÅ-

ТЕЪ ЛБЦДХА ЕЕ ФПЮЛХ РТПЧЕДЕОБ ОПТНБМШОБС РМПУЛПУФШ, Й Ч ЬФПК РМПУЛПУФЙ РПУФТПЕОБ ПЛТХЦОПУФШ У ГЕОФТПН ОБ ЛТЙЧПК r = ρ(u) Й ЪБДБООЩН ТБДЙХУПН a, РТЙЮЕН a > 0, ak < 1. зЕПНЕФТЙЮЕУЛПЕ НЕУФП ФБЛЙИ ПЛТХЦОПУФЕК ПВТБЪХЕФ Ч РТПУФТБОУФЧЕ ФТХВППВТБЪОХА РПЧЕТИОПУФШ S. уПУФБЧЙФШ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ S. дПЛБЪБФШ, ЮФП МАВБС ОПТНБМШ РПЧЕТИОПУФЙ S РЕТЕУЕЛБЕФ ЛТЙЧХА r = ρ(u) Й СЧМСЕФУС ОПТНБМША ЬФПК

ЛТЙЧПК.

15.уПУФБЧЙФШ РБТБНЕФТЙЮЕУЛПЕ ХТБЧОЕОЙЕ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ЗМБЧОЩНЙ ОПТНБМСНЙ ЧЙОФПЧПК МЙОЙЙ

r = {a cos t, a sin t, bt}.

16.рПЧЕТИОПУФШ ПВТБЪПЧБОБ ЛБУБФЕМШОЩНЙ Л ЛТЙЧПК γ. дПЛБЪБФШ,

ЮФП ЬФБ РПЧЕТИОПУФШ ЧП ЧУЕИ ФПЮЛБИ ПДОПК Й ФПК ЦЕ ЛБУБФЕМШОПК Л ЛТЙ- ЧПК γ ЙНЕЕФ ПДОХ Й ФХ ЦЕ ЛБУБФЕМШОХА РМПУЛПУФШ.

17.дПЛБЪБФШ, ЮФП ОПТНБМШ РПЧЕТИОПУФЙ ЧТБЭЕОЙС УПЧРБДБЕФ У ЗМБЧ- ОПК ОПТНБМША НЕТЙДЙБОБ Й РЕТЕУЕЛБЕФ ПУШ ЧТБЭЕОЙС.

5

18.оБКФЙ РПЧЕТИОПУФШ S, ЪОБС, ЮФП ЧУЕ ЕЕ ОПТНБМЙ РЕТЕУЕЛБАФУС Ч

ПДОПК ФПЮЛЕ.

19.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ ОПТНБМЙ РПЧЕТИОПУФЙ РЕТЕУЕЛБАФ ПДОХ Й

ФХ ЦЕ РТСНХА, ФП РПЧЕТИОПУФШ ВХДЕФ РПЧЕТИОПУФША ЧТБЭЕОЙС.

21.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЧЕЛФПТ ξ = i + 2j + 6k СЧМСЕФУС ЛБУБФЕМШОЩН ЧЕЛФПТПН Л РПЧЕТИОПУФЙ S : r = {u, 2u cos v, 3u sin v} Ч ФПЮЛЕ P (1, 2, 0).

22.чЩЮЙУМЙФШ РЕТЧХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЕК ЙЪ ЪБДБЮ

1 5.

23.чЩЮЙУМЙФШ РЕТЧХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЙ x2 − z2 + 2y = 0 Ч ФПЮЛЕ P (0, 2, 2).

24.чЩЮЙУМЙФШ РЕТЧХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЕК ЙЪ ЪБДБЮЙ 10.

25.рЕТЧБС ЛЧБДТБФЙЮОБС ЖПТНБ РПЧЕТИОПУФЙ ЙНЕЕФ ЧЙД ds2 = du2 + (u2 + a2)dv2.

Б) оБКФЙ РЕТЙНЕФТ ЛТЙЧПМЙОЕКОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ, ПВТБЪПЧБООПЗП РЕТЕУЕЮЕОЙЕН ЛТЙЧЩИ u = ±12 av2, v = 1;

В) ОБКФЙ ХЗМЩ ЬФПЗП ЛТЙЧПМЙОЕКОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ;

Ч) ЧЩЮЙУМЙФШ РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ, ПВТБЪПЧБООПЗП РЕТЕУЕЮЕОЙЕН ЛТЙ- ЧЩИ u = ±av, v = 1;

З) ОБКФЙ ХЗПМ НЕЦДХ ЛТЙЧЩНЙ u + v = 0 É u − v = 0.

26. чЩЮЙУМЙФШ ХЗПМ НЕЦДХ ЛБУБФЕМШОЩНЙ ЧЕЛФПТБНЙ 1 É 2 Ë ÐÏ-

ξ ξ

ЧЕТИОПУФЙ S Ч ФПЮЛЕ P (1, 2), ÅÓÌÉ ξ1 = (1, 2)T , ξ2 = (−1, 2)T , Б РЕТЧБС ЛЧБДТБФЙЮОБС ЖПТНБ РПЧЕТИОПУФЙ ЙНЕЕФ ЧЙД I = (u2 +1)du2 + uvdudv + v2dv2.

27.чЩЮЙУМЙФШ ХЗПМ НЕЦДХ ЛТЙЧЩНЙ γ1 : u = v2 É γ2 : v = 1 ОБ РП- ЧЕТИОПУФЙ S Ч ФПЮЛЕ ЙИ РЕТЕУЕЮЕОЙС, ЕУМЙ РЕТЧБС ЛЧБДТБФЙЮОБС ЖПТНБ РПЧЕТИОПУФЙ ЙНЕЕФ ЧЙД I = du2 + uvdudv + dv2.

28.оБКФЙ ЛТЙЧЩЕ ОБ УЖЕТЕ, РЕТЕУЕЛБАЭЙЕ ЕЕ НЕТЙДЙБОЩ РПД РПУФПСООЩН ХЗМПН (ФБЛЙЕ ЛТЙЧЩЕ ОБЪЩЧБАФУС МПЛУПДТПНБНЙ).

29.уЕФШ ЛТЙЧЩИ ОБ РПЧЕТИОПУФЙ ОБЪЩЧБЕФУС УЕФША юЕВЩЫЕЧБ, ЕУМЙ

ÕМАВПЗП ЮЕФЩТЕИХЗПМШОЙЛБ, ПВТБЪХЕНПЗП МЙОЙСНЙ УЕФЙ, РТПФЙЧПРПМПЦОЩЕ УФПТПОЩ ТБЧОЩ. дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛППТДЙОБФОБС УЕФШ ОБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСМЕФУС УЕФША юЕВЩЫЕЧБ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ev =

Gu = 0.

6

30.дПЛБЪБФШ, ЮФП ОБ РПЧЕТИОПУФЙ РЕТЕОПУБ r = U(u) + V (v) ЛППТДЙ-

ОБФОЩЕ МЙОЙЙ ПВТБЪХАФ ЮЕВЩЫЕЧУЛХА УЕФШ.

31.чЩЮЙУМЙФШ ЧФПТХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЕК ЙЪ ЪБДБЮ

1 5.

32.чЩЮЙУМЙФШ ЧФПТХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЙ x2 − z2 + 2y = 0 Ч ФПЮЛЕ P (0, 2, 2).

33.чЩЮЙУМЙФШ ЧФПТХА ЛЧБДТБФЙЮОХА ЖПТНХ РПЧЕТИОПУФЕК ЙЪ ЪБДБЮЙ 10.

34.йУУМЕДПЧБФШ ИБТБЛФЕТ ФПЮЕЛ ОБ РПЧЕТИОПУФСИ ЧФПТПЗП РПТСДЛБ.

35.йУУМЕДПЧБФШ ИБТБЛФЕТ ФПЮЛЙ (0, 0, 0) ОБ РПЧЕТИОПУФЙ:

a) z = x2 + y2; b) z = (x2 + y2)2.

36.пРТЕДЕМЙФШ ФЙРЩ ФПЮЕЛ РПЧЕТИОПУФЙ z = x2 + 6xy + y3.

37.пРТЕДЕМЙФШ ФЙРЩ ФПЮЕЛ РПЧЕТИОПУФЙ z3 − 3xy2 − x = 0.

38.оБКФЙ ХТБЧОЕОЙЕ УПРТЙЛБУБАЭЕЗПУС РБТБВПМПЙДБ Л ЬММЙРУПЙДХ

×ФПЮЛЕ (0, 0, c).

39.оБКФЙ ХТБЧОЕОЙЕ УПРТЙЛБУБАЭЕЗПУС РБТБВПМПЙДБ Л ДЧХРПМПУФ-

ОПНХ ЗЙРЕТВПМПЙДХ

x2 y2 z2

a2 + b2 − c2 = −1

×ФПЮЛЕ (0, 0, c).

40.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ РПЧЕТИОПУФШ ЛБУБЕФУС РМПУЛПУФЙ ЧДПМШ ОЕЛПФПТПК ЛТЙЧПК, ФП ЛБЦДБС ФПЮЛБ ЬФПК ЛТЙЧПК СЧМСЕФУС МЙВП РБТБВПМЙЮЕУЛПК ФПЮЛПК, МЙВП ФПЮЛПК ХРМПЭЕОЙС.

41.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ ЧУЕ ФПЮЛЙ ЛТЙЧПК ОБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСАФУС ФПЮЛБНЙ ХРМПЭЕОЙС, ФП ЛТЙЧБС РМПУЛБС.

42.дПЛБЪБФШ, ЮФП ФПЮЛБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСЕФУС ПНВЙМЙЮЕУЛПК ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ч ЬФПК ФПЮЛЕ

EL = MF = NG .

43. дМС РПЧЕТИОПУФЙ

r = {(a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v}

ОБКФЙ ЗМБЧОЩЕ ОБРТБЧМЕОЙС Й ЗМБЧОЩЕ ЛТЙЧЙЪОЩ, ЗБХУУПЧХ Й УТЕДОАА ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ, ПРТЕДЕМЙФШ ФЙРЩ ФПЮЕЛ ОБ РПЧЕТИОПУФЙ.

7

44.оБКФЙ ЗМБЧОЩЕ ОБРТБЧМЕОЙС Й ЗМБЧОЩЕ ЛТЙЧЙЪОЩ, ЗБХУУПЧХ Й УТЕДОАА ЛТЙЧЙЪОЩ ЗЕМЙЛПЙДБ.

45.оБКФЙ ЗМБЧОЩЕ ОБРТБЧМЕОЙС Й ЗМБЧОЩЕ ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ x2 − z2 + 2y = 0 Ч ФПЮЛЕ P (0, 2, 2).

46.оБКФЙ ЗМБЧОЩЕ ЛТЙЧЙЪОЩ Й ЗМБЧОЩЕ ОБРТБЧМЕОЙС РПЧЕТИОПУФЙ

Ч ФПЮЛЕ P (2, 1), ЕУМЙ ЙЪЧЕУФОЩ РЕТЧБС Й ЧФПТБС ЛЧБДТБФЙЮОЩЕ ЖПТНЩ

√

РПЧЕТИОПУФЙ: I = du2 + (1 + u2)dv2, II = −2dudv/ u2 + 1.

47.чЩЮЙУМЙФШ ЗБХУУПЧХ ЛТЙЧЙЪОХ РПЧЕТИОПУФЙ S : x = y2 − z2 Ч ФПЮЛЕ P (0, 1, 1).

48.чЩЮЙУМЙФШ УТЕДОАА ЛТЙЧЙЪОХ РПЧЕТИОПУФЙ S : y = x2 + z2 Ч ФПЮЛЕ P (1, 2, 1).

49.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛБФЕОПЙД СЧМСЕФУС НЙОЙНБМШОПК РПЧЕТИОПУФША.

50.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЗЕМЙЛПЙД СЧМСЕФУС НЙОЙНБМШОПК РПЧЕТИОПУФША.

51.оБКФЙ ЗБХУУПЧХ Й УТЕДОАА ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ЛБУБФЕМШОЩНЙ Л ДБООПК ЛТЙЧПК.

52.оБКФЙ ЗБХУУПЧХ Й УТЕДОАА ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ЗМБЧОЩНЙ ОПТНБМСНЙ ДБООПК ЛТЙЧПК.

53.оБКФЙ ЗБХУУПЧХ Й УТЕДОАА ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ, ПВТБЪПЧБООПК ВЙОПТНБМСНЙ ДБООПК ЛТЙЧПК.

54.дПЛБЪБФШ, ЮФП ПНВЙМЙЮЕУЛЙЕ ФПЮЛЙ ИБТБЛФЕТЙЪХАФУС ТБЧЕОУФЧПН

H2 = K.

55.оБКФЙ МЙОЙЙ ЛТЙЧЙЪОЩ ЗЕМЙЛПЙДБ.

56.оБКФЙ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ ЛБФЕОПЙДБ.

57.оБКФЙ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ РПЧЕТИОПУФЙ z = xy2.

58.оБКФЙ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ ЗЕМЙЛПЙДБ.

59.оБКФЙ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ ПДОПРПМПУФОПЗП ЗЙРЕТВПМПЙДБ.

60.оБКФЙ БУЙНРФПФЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ РПЧЕТИОПУФЙ r = {2uv, u − v, u +

v}.

61.дПЛБЪБФШ, ЮФП Ч ФПЮЛБИ БУЙНРФПФЙЮЕУЛПК МЙОЙЙ, ЗДЕ ЕЕ ЛТЙЧЙЪОБ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС, УПРТЙЛБУБАЭБСУС РМПУЛПУФШ МЙОЙЙ УПЧРБДБЕФ У ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФША Л РПЧЕТИОПУФЙ.

62.рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛППТДЙОБФОЩЕ МЙОЙЙ РПЧЕТИОПУФЙ

r = {3u − u3 + 3uv2, v3 − 3u2v − 3v, 3(u2 − v2)}

СЧМСАФУС МЙОЙСНЙ ЛТЙЧЙЪОЩ.

63.оБКФЙ МЙОЙЙ ЛТЙЧЙЪОЩ РПЧЕТИОПУФЙ ЧТБЭЕОЙС.

64.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЗЕМЙЛПЙД Й ЛБФЕОПЙД МПЛБМШОП ЙЪПНЕФТЙЮОЩ.

8

65. оБКФЙ ЗБХУУПЧХ ЛТЙЧЙЪОХ РПЧЕТИОПУФЙ, РЕТЧБС ЛЧБДТБФЙЮОБС ЖПТНБ ЛПФПТПК ЙНЕЕФ ЧЙД

ds2 = du2 + B2(u, v)dv2.

66. оБКФЙ ЗБХУУПЧХ ЛТЙЧЙЪОХ РПЧЕТИОПУФЙ, РЕТЧБС ЛЧБДТБФЙЮОБС ЖПТНБ ЛПФПТПК ЙНЕЕФ ЧЙД

ds2 = du2 + e2udv2.

67.дПЛБЪБФШ, ЮФП РПЧЕТИОПУФШ, ПВТБЪПЧБООБС ЛБУБФЕМШОЩНЙ Л ДБООПК ЛТЙЧПК, СЧМСЕФУС ТБЪЧЕТФЩЧБАЭЕКУС.

68.дПЛБЪБФШ, ЮФП МЙОЕКЮБФБС РПЧЕТИОПУФШ r = r0 + va СЧМСЕФУС ТБЪЧЕТФЩЧБАЭЕКУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ r′0aa′ = 0.

69.дПЛБЪБФШ, ЮФП ОПТНБМЙ Л РПЧЕТИОПУФЙ ЧДПМШ МЙОЙЙ ЛТЙЧЙЪОЩ ПВТБЪХАФ ТБЪЧЕТФЩЧБАЭХАУС РПЧЕТИОПУФШ.

70.оБКФЙ ОПТНБМШОХА ЛТЙЧЙЪОХ РПЧЕТИОПУФЙ

r = {(a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v}

×ФПЮЛЕ (a + b, 0, 0) Ч ОБРТБЧМЕОЙЙ ξ = (1, 2).

71.оБКФЙ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛХА ЛТЙЧЙЪОХ ЧЙОФПЧЩИ МЙОЙК (u = const) ЗЕМЙЛПЙДБ r = {u cos v, u sin v, av}.

72.оБКФЙ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛХА ЛТЙЧЙЪОХ РТПЙЪЧПМШОПК ПЛТХЦОПУФЙ, МЕЦБЭЕК ОБ УЖЕТЕ.

73.рПЛБЪБФШ, ЮФП ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛБС ЛТЙЧЙЪОБ БУЙНРФПФЙЮЕУЛПК МЙОЙЙ ТБЧОБ ЕЕ ЛТЙЧЙЪОЕ.

74.дЧЕ РПЧЕТИОПУФЙ ЛБУБАФУС РП ЛТЙЧПК γ. дПЛБЪБФШ, ЮФП ЕУМЙ γ ¡

ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛБС ОБ ПДОПК РПЧЕТИОПУФЙ, ФП ПОБ ВХДЕФ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛПК Й ОБ ДТХЗПК РПЧЕТИОПУФЙ.

75.дПЛБЪБФШ, ЮФП НЕТЙДЙБОЩ РПЧЕТИОПУФЙ ЧТБЭЕОЙС СЧМСАФУС ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛЙНЙ.

76.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛТЙЧБС ОБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСЕФУС ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛПК ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ЛТЙЧПК, ЗДЕ ЕЕ ЛТЙЧЙЪОБ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС, ОПТНБМШ Л РПЧЕТИОПУФЙ МЕЦЙФ Ч УПРТЙЛБУБАЭЕКУС РМПУЛПУФЙ ЛТЙЧПК.

77.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛТЙЧБС ОБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСЕФУС ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛПК ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ЛТЙЧПК, ЗДЕ ЕЕ ЛТЙЧЙЪОБ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС, ЕЕ УРТСНМСАЭБС РМПУЛПУФШ УПЧРБДБЕФ У ЛБУБФЕМШОПК РМПУЛПУФША Л РПЧЕТИОПУФЙ.

9

78.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЛТЙЧБС ОБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСЕФУС ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛПК ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ч ЛБЦДПК ФПЮЛЕ ЛТЙЧПК ЕЕ ЛТЙЧЙЪОБ ТБЧОБ БВУПМАФОПК ЧЕМЙЮЙОЕ ОПТНБМШОПК ЛТЙЧЙЪОЩ.

79.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЧУСЛБС РТСНБС ОБ РПЧЕТИОПУФЙ СЧМСЕФУС ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛПК.

80.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛБС МЙОЙС СЧМСЕФУС БУЙНРФПФЙЮЕУЛПК ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ПОБ РТСНБС.

81.оБКФЙ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ ЛТХЗМПЗП ГЙМЙОДТБ.

82.оБКФЙ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ ЛТХЗМПЗП ЛПОХУБ.

83.оБКФЙ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛЙЕ МЙОЙЙ ЗЕМЙЛПЙДБ.

84.дПЛБЪБФШ, ЮФП ЧЕЛФПТ дБТВХ ЗЕПДЕЪЙЮЕУЛПК МЙОЙЙ ОБ ТБЪЧЕТФЩ- ЧБАЭЕКУС РПЧЕТИОПУФЙ ОБРТБЧМЕО РП ПВТБЪХАЭЕК Ч ДБООПК ФПЮЛЕ.

10