1 курс Анал Геомет / 2 курс / 4 семестр / СМ / Вариационное исчисление / Программа ВИ СМ7,11
.pdf
Модуль 2 «Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационные задачи на условный экстремум. Задачи оптимального управления»
|
Объем |
Сроки |
|
Виды учебной работы |
проведения, |
||
в часах |
|||
|
недели |
||
|
|
||
Лекции |
22 |
10-17 |
|
|
|
|
|
Семинары |
7 |
12-17 |
|
|
|
|
|
Лабораторные работы |
0 |
|
|
|
|
|
|
Практические занятия |
0 |
|
|
Самостоятельная работа: |
22 |
12-17 |
|
проработка лекций; |
6 |
|
|
выполнение текущих домашних заданий; |
2 |
|
|
подготовка к рубежному контролю; |
4 |
|
|
выполнение ДЗ |
10 |
|
|
Трудоемкость, час |
51 |
10-17 |
|
|
|
|
|
Трудоемкость, зач.единицы |
1,5 |
|
Контроль освоения модуля
Неделя проведения |
Формы контроля |
Оценка в баллах |
|
контроля модуля |
|
минимальная |
максимальная |
|
|
|
|
15 |
ДЗ №2 |
12 |
20 |
|
|
|
|
16 |
РК №2 |
18 |
30 |
|
|
|
|
|
ИТОГО |
30 |
50 |
|
|
|
|
После освоения Модуля 2 «Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационные задачи на условный экстремум. Задачи оптимального управления» студент должен приобрести следующие знания, умения и владения, соответствующие компетенциям ООП.
|
Знания |
Компетенции |
|
||
|
постановка вариационных задач с подвижными границами, задачи |
П-1, 2, 3, 4, |
6, 7; Т- |
||
Больца, вариационных задач на условный экстремум; |
1, 2, 3, 4; СЛ-1, 2, 3, |
||||
|
необходимые условия экстремума в вариационных задачах разных |
5, 6; ОП-1, 3, 4, 5; |
|||
типов; |
ПР-1, 2, 3; ПТ-1, |
3, |
|||
постановка задач оптимального управления; |
4; НИ-1, 2, 3, 5; ОУ- |
||||
|
принцип максимума Понтрягина. |
2, 3; ПСК-1.1, 1.7, |
|||
|
|
1.8, |
1.12, |
3.7-3.9, |
|
|
|
3.14, |
4.1, |
4.6, |
4.7, |
|
|
4.11, |
4.14 |
|
|
11
|
Умения |
Компетенции |
|
|
определять тип вариационной задачи; |
П-1, 2, 3, 4, 6, 7; Т- |
|
|
выводить необходимые условия экстремума в вариационных задачах с |
1, 2, 3, 4; СЛ-1, 2, 3, |
|
подвижными границами, в задаче Больца, в вариационных задачах на |
5, 6; ОП-1, 3, 4, 5; |
||
условный экстремум; |
ПР-1, 2, 3; ПТ-1, 3, |
||
применять принцип максимума Понтрягина для решения |
4; НИ-1, 2, 3, 5; ОУ- |
||
простейших задач оптимального управления; |
2, 3; ПСК-1.1, 1.7, |
||
|
решать типовые задачи; |
1.8, 1.12, 3.7-3.9, |
|
использовать полученные знания при изучении других дисциплин; |
3.14, 4.1, |
4.6, 4.7, |
|
4.11, 4.14 |
|
||
использовать полученные знания для решения прикладных задач. |
|
||
|
|
||
|
|
|
|
Владение навыками |
Компетенции |
||
постановки и решения вариационных задач и простейших задач |
П-1, 2, 3, 4, 6, 7; Т- |
||
оптимального управления; |
1, 2, 3, 4; СЛ-1, 2, 3, |
||
применения численных методов теории оптимизации в |
5, 6; ОП-1, 3, 4, 5; |
||
практических исследованиях |
ПР-1, 2, 3; ПТ-1, 3, |
||
поиска и обмена информацией в глобальных и локальных |
4; НИ-1, 2, 3, 5; ОУ- |
||
компьютерных сетях. |
2, 3; ПСК-1.1, 1.7, |
||
|
1.8, |
1.12, 3.7-3.9, |
|
|
3.14, 4.1, |
4.6, 4.7, |
|
|
4.11, |
4.14 |
|
Содержание модуля 2 «Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационные задачи на условный экстремум. Задачи оптимального
управления»
Лекции
1. Вариационные задачи с подвижными границами
Постановка вариационных задач с подвижными границами. Необходимое условие экстремума в задачах с подвижными границами. Условие трансверсальности. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей. – 4 часа
2. Задача Больца
Постановка задачи Больца. Необходимое условие экстремума в задаче Больца. – 2 часа
3.Вариационные задачи на условный экстремум
Постановка вариационных задач на условный экстремум. Необходимое условие экстремума в
задачах с конечными и дифференциальными связями. Необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче. – 4 часа
4. Вариационные принципы механики
Принцип наименьшего действия и его приложения к решению задач механики. – 2 часа
5. Задачи оптимального управления
Постановка задачи оптимального управления. Задача Лагранжа в форме Понтрягина. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа. Принцип максимума Понтрягина. – 10 часов
12
Семинары
1. Вариационные задачи с подвижными границами
Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами. Необходимые условия экстремума в вариационных задачах с подвижными границами. Уравнение ЭйлераЛагранжа. Условия трансверсальности. – 2 часа
2. Задача Больца
Постановка задачи Больца. Необходимые условия экстремума в задаче Больца. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Условия трансверсальности. – 1 час
3.Вариационные задачи на условный экстремум
Постановка вариационных задач на условный экстремум. Необходимые условия экстремума в
задачах с конечными и дифференциальными связями. Необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче. – 2 часа
4. Задачи оптимального управления
Постановка задачи оптимального управления. Задача Лагранжа в форме Понтрягина. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа. Принцип максимума Понтрягина. – 2 часа
Самостоятельная работа
В модуле 2 предусмотрена самостоятельная проработка материала лекций и семинаров. Контроль проводится в форме домашнего задания и письменного рубежного контроля на семинаре.
Во втором модуле предусмотрено выполнение домашнего задания №2, которое включает задачи на нахождение экстремалей в вариационных задачах с подвижными границами, в задаче Больца и в вариационных задачах на условный экстремум.
Срок сдачи - 15 неделя
Рубежный контроль №2 включает теоретический вопрос и задачи на нахождение экстремалей в вариационных задачах с подвижными границами, на условный экстремум, в задаче Больца и отыскание экстремума в простейшей задаче оптимального управления.
Срок проведения - 16 неделя.
Образовательные технологии
Для обеспечения системности и эффективности технологии образования учебные
материалы модуля включают |
|
классический лекционный курс, снабженный подробными |
примерами и |
иллюстрациями; |
|
информацию справочного характера;
информацию о связи курса с другими естественно-научными и профессиональными дисциплинами;
13
информацию о современном состоянии исследований в данной области. Деятельностный подход при освоении дисциплины реализуется через
обсуждение некоторых разделов лекционного курса;
анализ и решение задач;
выполнение домашнего задания и контрольных мероприятий.
Раздел 4. Методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1.Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Изд-во МГТУ, 1999. – 488 с.
2.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 320 с.
Дополнительная учебная литература.
3.Ванько В.И. Вариационные принципы и задачи математической физики. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 191с.
4.Сборник задач по математике для втузов. Ч.4./Под редакцией А.В.Ефимова. – М.:
Наука, 1990. – 304 с.
5.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 255 с.
6.Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М.: Наука, 1986. – 272 с.
7.Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. – М.: Физматгиз, 1961.– 228 с.
8.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика. Т.6. – М.: Эдиториал УРСС, 2003. – 256 с.
Кафедральные издания и методические материалы
9.Герман А.Д., Гришина Г.В. Вариационное исчисление. – М.: Изд-во МГТУ, 1992. –
73 с.
10.Паршев Л.П. , Калинкин А.В. Мастихин А.В. Вариационное исчисление. – М.: Издво МГТУ, 2010. – 53 с.
Электронные ресурсы (с указанием названия и полного электронного адреса).
1.Высшая математика http://www.mathelp.spb.ru
2.Экспонента.ру http://www.exponenta.ru/
3.Вся математика в одном месте http://www.allmath.ru/
4.Официальный сайт кафедры ФН-2 «Прикладная математика» http://www.applmath.bmstu.ru
14
Раздел 5. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Методические материалы:
1.Программа дисциплины включающая задачи для самостоятельного решения.
2.Методические пособия, представленные в библиотеке.
3.Оценочные средства контроля усвоения материала дисциплины.
Используемое оборудование: нет
15
Программа составлена в соответствии с требованиями ОС МГТУ им. Н.Э. Баумана ВПО
Обсуждено на заседании кафедры
________
«__»____________ 201_ г. Протокол № __
Зав. Кафедрой ФН-2
Г.Н. Кувыркин
Автор(ы) программы: доцент Хорькова Н.Г.
Рецензент Профессор кафедры ФН12
Канатников А.Н. _________________
|
«____» __________ 201_ г. |
Председатель методической комиссии факультета ФН |
|
Еркович О.С. _________________ |
«___»__________201_ г. |
Декан факультета ФН |
|
Гладышев В.О. ___________________ |
«____»_________201_ г. |
СОГЛАСОВАНО: |
|
Декан факультета СМ |
|
Калугин В.Т. ___________________ |
«____»_________201_ г. |
Начальник управления образовательных стандартов |
|
и программ |
|
Строганов Д.В. ___________________ |
«____»_________201_ г. |
16
Приложение к программе дисциплины «Вариационное исчисление»
Типовые варианты заданий
Домашнее задание № 1 Вариационное исчисление. Часть 1.
17
Домашнее задание № 2 Вариационное исчисление. Часть 2.
Контроль по модулю №1
18
Контроль по модулю №2
Вопросы для подготовки к контролям по модулю и зачету
Модуль 1. «Вариационные задачи с фиксированными границами»
1.Определение функционала. Функционалы в нормированном пространстве. Сильная и слабая окрестность функции. Непрерывность и линейность функционалов.
2.Дифференцируемость функционалов. Дифференциал Гато и дифференциал Фреше.
3.Два определения первой вариации функционала, их связь (с док-вом).
4.Доказательство основной леммы вариационного исчисления.
5.Необходимое условие экстремума функционала. Понятия сильного и слабого экстремума функционала.
6.Простейшая задача вариационного исчисления. Вывод необходимого условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Уравнение ЭйлераЛагранжа.
7.Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера-Лагранжа.
8.Достаточные условия сильного и слабого экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Условия Якоби и Лежандра.
9.Вывод необходимых условий экстремума в вариационной задаче с функционалом, зависящим от нескольких функций.
10.Вывод необходимого условия экстремума в вариационной задаче с функционалом, зависящим от производных высшего порядка.
11.Вывод необходимого условия экстремума в вариационной задаче с функционалом, зависящим от функций многих переменных.
19
Модуль 2. «Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационные задачи на условный экстремум. Задачи оптимального управления»
1.Вариационные задачи с подвижными границами. Вывод необходимых условий экстремума в вариационных задачах с подвижными границами.
2.Экстремали с угловыми точками. Задача об отражении экстремалей. Условия отражения. Задача о преломлении экстремалей. Условия преломления. Закон Снеллиуса преломления света.
3.Постановка вариационных задач на условный экстремум. Принцип Лагранжа. Вывод необходимых условий экстремума в вариационной задаче с конечными связями. Вариационные задачи с дифференциальными связями. Вывод необходимых условий экстремума в изопериметрической задаче.
4.Задача Больца. Вывод необходимых условий экстремума в задаче Больца.
5.Постановка задачи оптимального управления. Задача Лагранжа в форме Понтрягина. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа. Принцип максимума Понтрягина для задач оптимального управления.
Рейтинговые оценки за выполнение отдельных позиций заданий контрольного мероприятия
Контрольное |
Количество |
Баллы за |
Всего баллов |
Минимум |
мероприятие |
заданий |
задание |
(максимум) |
баллов на |
|
(максимум) |
|
зачет |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Модуль 1 |
|
|
|
|
|
|
|
ДЗ №1 |
5 задач |
3,4,5,5,3 |
20 |
12 |
|
|
|
|
|
РК №1 |
1 теория |
10 |
30 |
18 |
|
|
|
|
|
|
2 задачи |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
|
|
50 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
Модуль 2 |
|
|
|
|
|
|
|
ДЗ № 2 |
3 задачи |
6,6,8 |
20 |
12 |
|
|
|
|
|
РК №2 |
1 теория |
10 |
30 |
18 |
|
|
|
|
|
|
2 задачи |
8,12 |
|
|
|
|
|
|
|
Итого: |
|
|
50 |
30 |
|
|
|
|
|
20