1 курс Анал Геомет / 2 курс / 4 семестр / СМ / Вариационное исчисление / КП ВИ СМ7,11
.pdf
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Дисциплина состоит из 2-х учебных модулей и зачета.
Модуль 1
Таблица N.1
Виды аудиторных занятий и |
Сроки проведения или |
Трудоёмкость, |
Примечание |
|
|
самостоятельной работы |
выполнения, недели |
часы |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Лекции |
1-6 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
1-10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашние задания текущие |
1-9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль по модулю №1 |
10 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица N.2 |
||
|
|
|
|
|
|
Виды аудиторных занятий и |
Сроки проведения или |
Трудоёмкость, |
Примечание |
|
|
самостоятельной работы |
выполнения, недели |
часы |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Лекции |
7-17 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
11-17 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашние задания текущие |
10-15 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контроль по модулю №2 |
16 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Модуль 1: Вариационные задачи с фиксированными границами
Лекции
Лекция 1. Предмет, содержание и особенности курса. Структура курса, его значение и место в подготовке инженера. Некоторые классические задачи вариационного исчисления.
ОЛ-1, п. 1.1; ОЛ-5, часть II, Введение.
Лекция 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах. Основные определения. Необходимое условие экстремума функционала в линейном нормированном пространстве. Основная лемма вариационного исчисления.
ОЛ-1, пп. 1.2–1.4; ОЛ-5, гл. 6, §§1–2; МП-1, п. 1.1.
Лекция 3. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера в квадратурах.
ОЛ-1, п. 2.1; ОЛ-5, гл. 6, §2; МП-1, п. 1.2.
Лекция 4. Достаточные условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Вторая вариация функционала. Достаточные условия сильного и слабого экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Условия Якоби, Вейерштрасса и Лежандра.
ОЛ-1, пп. 5.1–5.4; ОЛ-5, гл. 8, §§ 1,2; МП-1, п. 1.3.
Лекции 5-6. Постановка вариационных задач с фиксированными границами. Необходимые условия экстремума функционалов, зависящих от нескольких функций и производных высших порядков. Уравне-
ние Эйлера-Пуассона. Уравнение Остроградского в задаче поиска экстремалей функционалов от функций многих переменных.
ОЛ-1, пп. 2.2–2.4; ОЛ-5, гл. 6, §§3–5; МП-1, пп. 2.1 –
2.3.
Упражнения
Занятие 1. Основные понятия вариационного ис- |
ДЛ-2 №№ 71, 74, 76, 78, 83, 85, 87, 88. |
|
числения. |
Занятия 3-4. Вариационные задачи с фиксирован- |
|
Ауд.: ОЛ-3 №№ 1,3,5,7 или ДЛ-2 №№ 28, 36, 33, 36, |
||
ными границами. |
||
40, 50 (1 и 3), 57, 59. |
||
Ауд.: ОЛ-4 №№ 16.400, 16. 402, 16.404, 16.406, |
||
Дома: ОЛ-3 №№ 2,4,6,8 или ДЛ-2 №№ 27, 29, 34, 37, |
||
16.408, 16.410, 16.412, 16.414, 16.416, 16.418 или |
||
39, 41, 50 (2 и 4), 58, 60. |
||
ДЛ-2 №№. 99, 101, 103, 105, 107, 108, 110. |
||
|
||
Занятие 2. Простейшая задача вариационного ис- |
Дома: ОЛ-4 №№ 16.401, 16. 403, 16.405, 16.407, |
|
числения. |
16.409, 16.411, 16.413, 16.415, 16.417, 16.419 или |
|
Ауд.: ОЛ-4 №№ 16.376, 16.377, 16.379, 16.380, |
ДЛ-2 №№. 100, 102, 104,106, 111. |
|
16.382, 16.386, 16.387, 16.389, 16.391, 16.392 или |
Занятие 5. Рубежный контроль №1. |
|
ДЛ-2 №№. 72, 73, 75, 77, 79, 81, 82, 84, 86. |
||
|
||
Дома: ОЛ-4 №№ 16.375, 16.378, 16. 381, 16.383, |
|
|
16.384, 16.388, 16.390, 16.393, 16.394, 16.395 или |
|
Модуль 2: Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационные задачи на условный экстремум. Задачи оптимального управления
Лекции
Лекция 7. Вариационные задачи с подвижными границами. Необходимое условие экстремума в задачах с подвижными границами. Условие трансверсальности.
ОЛ-1, пп. 3.1–3.2; ОЛ-5, гл. 7, § 1; МП-1, п. 3.1.
Лекция 8. Экстремали с угловыми точками. Задачи об отражении и преломлении экстремалей. Условия отражения и преломления экстремалей.
ОЛ-1, п. 3.3; ОЛ-5, гл. 7, § 3; МП-1, п. 3.3.
Лекция 9. Задачи Больца. Необходимое условие экстремума в элементарной задаче Больца.
ОЛ-1, п. 4.6; МП-1, п. 5.1.
Лекция 10. Вариационные задачи на условный экстремум. Необходимое условие экстремума в задачах с конечными и дифференциальными связями.
ОЛ-1, пп. 4.1–4.2; ОЛ-5, гл. 9, §§ 1,2; МП-1, пп. 4.1–
4.3.
Лекция 11. Изопериметрическая задача. Решение задачи Дидоны.
ОЛ-1, пп. 4.3, 4.4; ОЛ-5, гл. 9, § 3; МП-1, п. 4.4.
Лекция 12. Вариационные принципы механики.
ОЛ-1, пп. 12-20.
Лекции 13-14. Постановка задачи оптимального управления. Задача Лагранжа в форме Понтрягина. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа..
ОЛ-1, п. 6; ДЛ- 3 § 8.
Лекции 15-16. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина (без доказательства).
ОЛ-1, п. 7; ДЛ-3 § 10.
Лекция 17. Резерв.
Упражнения
Занятие 6. Вариационные задачи с подвижными |
Ауд.: ОЛ-4 №№ 16.430, 16.432, 16.434, 16.436 и |
|
границами. |
ДЛ-2 №№ 146, 148, 151, 152, 154, 156. |
|
Ауд.: ОЛ-4 №№ 16.420, 16. 423, 16.424, 16.426, |
Дома: ОЛ-4 №№ 16.431, 16.433, 16.435, 16.437 и |
|
16.428 или ДЛ-2 №№ 172, 174, 182. |
ДЛ-2 №№ 147, 149, 150, 153, 155, 157. |
|
Дома: ОЛ-4 №№ 16.421, 16.422, 16.425, 16.427, |
Занятие 8. Вариационные задачи на условный экс- |
|
16.429 или ДЛ-2 №№ .173, 175, 183. |
||
тремум. |
||
|
||
Занятие 7. Задача Больца. |
Ауд.: ОЛ-4 №№ 16.438, 16.439, 16.441, 16.444. |
|
ДЛ-2 №№ 167, 168, 169, |
||
|
Дома: ОЛ-4 №№ 16.440, 16.442, 16.443, 16.445.
Занятие 9. Рубежный контроль №2.
Самостоятельная подготовка
Самостоятельная работа студента заключается в проработке материала лекций, выполнении домашних заданий, подготовке к рубежным контролям.
Контрольные мероприятия и сроки их проведения
Модуль 1.
1.ДЗ №1 «Вариационные задачи с фиксированными границами». Срок выдачи 1 неделя, срок сдачи – 9 неделя
2.Контроль по модулю №1 (РК №1) «Вариационные задачи с фиксированными границами». Срок проведения – 10 неделя.
Модуль 2.
1.ДЗ №2 «Вариационные задачи с подвижными границами, на условный экстремум и задача Больца». Срок выдачи 10 неделя, срок сдачи – 15 неделя.
3. Контроль по модулю №2 (РК №2) «Вариационные задачи с подвижными границами. Вариационные задачи на условный экстремум. Задачи оптимального управления». Срок проведения – 16 неделя.
Литература
Основная литература (ОЛ)
1.Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 488с.
2.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Учебник. Изд. 5-е. – М.: Едиториал УРСС. 2002. – 320с.
3.Пантелеев А.В. Вариационное исчисление в примерах и задачах: Учеб. пособие. – М.: Вузовская книга, 2011.
– 228 с.
4.Сборник задач по математике для втузов. Ч.4 / Под редакцией А.В.Ефимова. – М.: Наука, 1990. – 304с.
Дополнительная литература (ДЛ)
1.Ванько В.И. Вариационные принципы и задачи математической физики: учеб. пособие / В.И. Ванько – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 191с.
2.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Вариационное исчисление. Главная редакция физикоматематической литературы изд-ва «Наука», 1973.
3.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 255 с.
Методические пособия (МП)
1.Герман А.Д., Гришина Г.В. Вариационное исчисление. – М.: Изд-во МГТУ, 1992. 73с.
2.Паршев Л.П. , Калинкин А.В. Мастихин А.В. Вариационное исчисление. – М.: Издво МГТУ, 2010. – 53 с.
Рекомендуемые Интернет-сайты: applmath.bmstu.ru