1 курс Анал Геомет / 1 курс / 2 семестр / СМ, ФН4, РК4 / Линейная алгебра и ФНП / ЛА и ФНП_СМ_Оценочные средства_2013-14

Линейная алгебра и функции нескольких переменных

Оценочные средства

Типовые задачи, используемые при формировании вариантов текущего контроля

Модуль 1. Линейная алгебра

Домашнее задание №1 «Линейная алгебра»

Часть 1. Задание 1

Часть 2.

В задачах 1-3:

Привести уравнение кривой второго порядка ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду, указав преобразования перехода от исходной прямоугольной системы координат Oxy к полученной системе O x y . Начертить кривую на плоскости Oxy,

изобразив на чертеже систему O x y .

В задаче 4:

Привести уравнение поверхности второго порядка ортогональным преобразованием и параллельным переносом к каноническому виду, указав преобразования перехода от исходной прямоугольной системы координат Oxyz к полученной системе координат O x y z . Построить по-

верхность в полученной системе координат O x y z , используя метод сечений.

Во всех задачах собственные числа матрицы A квадратичной формы расположить в порядке возрастания, а матрицу ортогонального преобразования T построить так, чтобы det T 1.

1. 11x2 6xy 3y2 210x 610 y 22 0. 2. x2 6xy y 2 62x 22 y 6 0.

1.x2 8xy 16y2 617x 717 y 17 0. 4. x2 5y 2 z 2 4xz 2x 2z 1 0.

Контроль по модулю №1 (РК №1)

1. Сформулировать определения собственного значения и собственного вектора линейного оператора. Доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбо-

2x2 3y2 3z2 2xy . Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

Модуль 2. Функции нескольких переменных

Задача 2. Вычислите z для функции z f x, y , заданной неявно уравнением

y

4x2 ( y z)2 cos(xz) 0 .

Задача 3. Для функции г x2 y z xz 2 и точке M (1; 0; 2) найдите наибольшее значение про-

изводной по направлению.

Задача 4. Составьте уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x2 y2 (x z)3 4x 3y z 4 0 в точке M (1; 1; 1) .

Контроль по модулю №2

1.Дайте определение предела ФНП и сформулируйте его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП

2.Дайте определение точки локального экстремума ФНП. Выведите необходимые условия экстремума ФНП. Сформулируйте достаточные условия.

3.Найдите условные экстремумы функции z x2 y2 при условии 2x 3y 1 0 .

Вопросы для подготовки к контролям по модулям

Модуль 1 Линейная алгебра

1.Определение линейного пространства, следствия из аксиом. Примеры.

2.Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов линейного пространства. Критерий линейной зависимости. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

3.Определение базиса и размерности линейного пространства. Связь между этими понятиями. Примеры. Теорема о единственности разложения по базису вектора линейного пространства. Линейные операции с векторами в координатной форме.

4.Определение подпространства линейного пространства. Пример. Определение линейной оболочки системы векторов. Линейная оболочка как линейное подпространство.

5.Определение ранга системы векторов линейного пространства. Теорема о ранге системы векторов и её следствие.

6.Линейное преобразование линейного пространства (переход к новому базису). Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.

7.Определение евклидова пространства. Примеры. Формулы для вычисления скалярного произведения двух векторов и нормы вектора в ортонормированном базисе.

8.Определение ортонормированной системы векторов евклидова пространства, теорема о ее линейной независимости.

9.Процесс ортогонализации Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Пример.

10.Определение нормы вектора в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

11.Определения линейного оператора и действий с линейными операторами.

Матрица линейного оператора, определение и примеры. Теоремы о связи между действиями

слинейными операторами и действиями с соответствующими им матрицами.

12.Теорема о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах. Инвариантность определителя. Подобные матрицы.

13.Определение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Примеры. Инвариантность характеристического многочлена и спектра собственных значений линейного оператора относительно выбора базиса.

14.Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.

15.Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.

16.Определение оператора, сопряженного данному линейному оператору, его свойства. Теорема о матрице сопряженного оператора в ортонормированном базисе.

17.Определение самосопряженного линейного оператора, теорема о симметричности его матрицы в ортонормированном базисе. Теорема о корнях характеристического уравнения самосопряженного линейного оператора и ее следствия. Случай кратных корней.

18.Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.

19.Определение ортогональной матрицы, ее свойства.

20.Ортогональные преобразования и их матрицы в ортонормированном базисе. Примеры. Приведение матрицы самосопряженного линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием.

21.Определение квадратичной формы и ее матрицы. Координатная, матричная и векторная форма записи этой формы. Теорема о связи между матрицами одной и той же квадратичной формы в различных базисах.

22.Определение ранга квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм.

23.Дайте определение канонического вида и канонического базиса квадратичной формы. Теорема о возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду.

24.Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Пример.

25.Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Пример.

26.Знакоопределенные квадратичные формы: определение, критерий Сильвестра. Примеры.

27.Приведение линий и поверхностей второго порядка к каноническому виду.

Вопросы с доказательством, включенные в контроль по модулю № 1

1.Теорема о единственности нулевого элемента в линейном пространстве.

2.Теорема о единственности разложения вектора по базису.

3.Теорема о невырожденности матрицы перехода от одного базиса к другому.

4.Изменение координат вектора при переходе к новому базису.

5.Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.

6.Теорема о связи между матрицами одного и того же линейного оператора в различных базисах линейного пространства.

7.Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов евклидова пространства.

8.Теорема об инвариантности характеристического многочлена линейного оператора относительно замены базиса.

9.Теорема о матрице перехода от одного ортонормированного базиса евклидова пространства к другому ортонормированному базису.

10.Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного оператора, соответствующих попарно различным собственным значениям.

11.Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.

12.Теорема о матрице самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе.

13.Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряженного линейного оператора, соответствующих различным собственным значениям.

14.Теорема о связи между матрицами одной и той же квадратичной формы в различных базисах.

Модуль 2 Функции нескольких переменных

1.Метрика и окрестности в Rn. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества. Область и ее граница. Определения и примеры.

2.Скалярная ФНП как отображение Rn R. Область определения, график функции двух переменных, линии и поверхности уровня. Определения и примеры.

3.Предел ФНП и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Определения и примеры.

4.Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Точки, линии и поверхности разрыва. Определения и примеры.

5.Полное и частное приращение ФНП. Частные производные ФНП и их геометрическая интерпретация для n = 2.

6.Частные производные ФНП высших порядков. Матрица Гессе. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.

7.Дифференцируемость ФНП. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал ФНП и его геометрический смысл для n = 2.

8.Необходимые и достаточные условия, при которых дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом. Интегрирование дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Примеры.

9.Дифференцируемость сложной функции. Частная и полная производные.

10.Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка. Дифференциалы высших порядков.

11.Неявные ФНП. Теорема о существовании и дифференцируемости неявных ФНП. Производная ФНП по направлению и градиент ФНП (определения, свойства и вывод основных формул).

12.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определения, условия их существования и вывод уравнений.

13.Формулы Тейлора и Маклорена для ФНП. Примеры.

14.Экстремум ФНП. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума.

15.Условный экстремум ФНП. Целевая функция и уравнения связи. Геометрическая интерпретация при n = 2.

16.Функция Лагранжа. Необходимые условия существования условного экстремума. Достаточные условия существования условного экстремума.

17.Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП на замкнутом и ограниченном множестве. Пример.

18.Векторная функция нескольких переменных (ВФНП) как отображение Rn Rm . Координатные функции. Геометрическая интерпретация для n; m = 2,3.

19.Предел ВФНП. Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных. Непрерывность ВФНП в точке и на множестве.

20.Частные и полные приращения, частные производные ВФНП. Теорема о связи частных производных ВФНП и ее координатных функций.

21.Дифференцируемость ВФНП, частные и полный дифференциалы. Матрица Якоби ВФНП, якобиан. Производная сложной ВФНП в матричной форме.

Вопросы с доказательством, включенные в контроль по модулю № 2

1.Необходимое условие дифференцируемости ФНП в точке.

2.Достаточное условие дифференцируемости ФНП в точке.

3.Необходимое условие того, что выражение P(x, y)dx Q(x, y)dy является полным диффе-

ренциалом.

4.Теорема о производной сложной функции в точке.

5.Инвариантность формы полного дифференциала первого порядка относительно замены переменных.

6.Теорема о дифференцируемости неявной ФНП.

7.Вывод формулы производной по направлению ФНП.

8.Свойства производной по направлению и градиента ФНП с выводом.

9.Теорема о существовании касательной плоскости к поверхности в точке. Вывод уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

10.Необходимое условие существования экстремума ФНП.

11.Необходимое условие существования условного экстремума ФНП (n=2).

12.Теорема о связи предела ВФНП и пределов ее координатных функций.