§5. Методы решения задач многокритериальной оптимизации, не использующие множество Парето. Метод приближения к идеальному решению

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

Ф(X)=Ф,(1)

где - векторный критерий оптимальности,.- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Метод приближения к идеальному решению относится к группе методов, основанных на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации.

Идеальным решением задачи многокритериальной оптимизации(1) называется вектор , где

-

- минимальное значение частного критерия оптимальности во множестве - рисунок 1.

Рисунок 1 – К определению идеального решения

Напомним, что векторы , доставляющие минимумы соответствующим критериям оптимальности, вообще говоря, различны.

Введем в рассмотрение скалярный критерий оптимальности

, (2)

где - некоторая векторная норма, например, евклидова;

-

нормированный векторный критерий оптимальности;

-

нормированное идеальное решение - единичный -вектор.

В методе приближения к идеальному решениювместо задачи (1) решается задача глобальной условной оптимизации со скалярным критерием оптимальности (2)

. (3)

Заметим, что если - евклидова норма, то критерий оптимальности (2) является квадратичной функцией компонент вектора. Поэтому если, дополнительно, множествоявляется выпуклым, то задача (3) представляет собой задачу квадратичного программирования. Этот факт значительно упрощает решение задачи (3).

Дополнительной информацией в методеприближения к идеальному решениюявляется информация, заключенная в способе свертывания векторного критерия оптимальности в скалярный критерий.

Поскольку метод приближения к идеальному решению использует нормированные частные критерии оптимальности, этот метод инвариантен к масштабу измерения частных критериев.

Входные термины:

• задача многокритериальной оптимизации;

• векторный критерий оптимальности;

• частный критерий оптимальности;

• множество допустимых значений.

Выходные термины:

• уступка;

• метод последовательных уступок.

§6. Методы решения задач многокритериальной оптимизации, не использующие множество Парето. Метод последовательных уступок

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

, (1)

где - векторный критерий оптимальности,.- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Назовем уступкойдопустимое, с точки зрения ЛПР, увеличение значения критерия оптимальностиотносительно его минимального значения.

Схема метода последовательных уступок

1. Производим качественный анализ относительной важности частных критериев оптимальности, на основании чего нумеруем критерии в порядке убывания важности, так что главным считается критерий , следующим по важности – критерий и т.д. до критерия .

2. Для каждого из частных критериев, исключая последний по важности критерий, назначаемуступки.

3. Последовательно для критериев выполняем следующие действия.

3.1) Находим минимум критерия

(2)

и определяем множества допустимых значений

. (3)

3.2) Находим минимум критерия

(4)

и определяем множество допустимых значений

. (5)

3.(s-1)) Находим минимум критерия

(6)

и определяем множества допустимых значений

. (7)

3.s) Находим минимум критерия

. (8)

4. В качестве решения задачи (1) принимаем решение со значениями частных критериев●

Достоинством метода последовательных уступок является то, что он легко позволяет контролировать, ценой какой уступки в одном критерии приобретается выигрыш в другом критерии. Заметим также, что свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных уступок, может оказаться существенной, так как в окрестности оптимального решения обычно эффективность решений меняется слабо.

Не смотря на идейную простоту метода последовательных уступок, практическое применение этого метода сопряжено со значительными трудностями.

1. Метод последовательных уступок применим для решения лишь тех задач многокритериальной оптимизации, в которых все частные критерии естественным образом упорядочены по степени важности.

2. Поскольку взаимосвязь частных критериев обычно неизвестна, заранее назначить величины уступок , как правило, не удается. Поэтому изучение взаимосвязи критериев и назначение величин уступки приходится производить в процессе решения задачи. Практически, для этого вначале оценивают взаимосвязь критериев . Для этого задают несколько величин уступоки определяют соответствующие значения второго по важности критерия. На основе анализа этой информации ЛПР принимает решение о величине первой уступки. Затем аналогично оценивают взаимосвязь критериев и назначают величину второй уступки. И так далее до критериев и уступки. Таким образом, фактически приходится решать каждую из задач пп. 3.1 – 3.(s-1) не однократно, как в изложенной схеме, а многократно.

3. Изложенная схема метода последовательных уступок предполагает, что каждый частный критерий настолько существенно более важен, чем последующий критерий, что можно ограничиться учетом только попарных связей критериев и выбирать величину уступки для данного критерия с учетом поведения лишь одного следующего критерия. Так бывает далеко не всегда.

4. Сложной самостоятельной проблемой является отыскание в явном виде множеств .

Дополнительной информацией в методе последовательных уступок является информация об относительной важности частных критериев, а также информация об уступках.

26