§3. Методы решения задач многокритериальной оптимизации, использующие множество Парето. Метод - ограничений

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

Ф(X)=Ф,(1)

где - векторный критерий оптимальности, - множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Метод - ограничений относится к группе методов, основанных на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации.

В метод -ограниченийв качестве скалярного критерия оптимальностииспользуется самыйважный из частных критериев оптимальности ,а остальные частные критерии учитываются с помощью ограничений типа неравенств вида

.

Дополнительной информацией в методе-ограничений является информация о номереp самого важного из частных критериев, также информация о максимально допустимых значения частных критериев .

Таким образом, в методе-ограничений вместо задачи (1) решается задача глобальной условной оптимизации со скалярным критерием оптимальности

, (2)

где

. (3)

Метод -ограничений в значительной мере свободен от указанного выше недостатка метода весовых множителей в случае, когда множествоне выпукло (рисунок 11).

Недостатком метода -ограничений является трудность выбора максимально допустимых значения частных критериев , которые гарантировали бы достижимость некоторого решения. Отметим также трудность построения в явном или неявном виде множества.

Рисунок 1 - Геометрическая интерпретация метода-ограничений (s=2). Самым важным является критерий . На критерий наложено ограничение.

Во множестве точкаявляется достижимой

Схема метода -ограничений

1. Выбираем самый важный из частных критериев оптимальности и полагаем .

2. Задаем ограничения ,,для всех частных критериев оптимальности, исключая критерий .

3. Тем или иным способом формируем множество , а затем – множество

4. Решаем задачу глобальной условной оптимизации (2). Найденное решение этой задачи принимаем в качестве решения задачи многокритериальной оптимизации.

Входные термины:

• задача многокритериальной оптимизации;

• векторный критерий оптимальности;

• частный критерий оптимальности;

• множество допустимых значений.

Выходные термины:

• справедливый компромисс;

• отношение предпочтения ;

• метод справедливого компромисса.

§4. Методы решения задач многокритериальной оптимизации, использующие множество Парето. Метод справедливого компромисса

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

Ф(X)=Ф,(1)

где - векторный критерий оптимальности,.- множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Метод справедливого компромисса строится на основе понятия «справедливый компромисс» и использует следующее сильное соглашение: все частные критерии имеют одинаковую важность!

Справедливый компромисс

Справедливым компромиссом будем называть такой компромисс, при котором относительный уровень снижения качества решения по одному или нескольким критериям не превосходит относительного уровня повышения качества решения по остальным критериям.

Для формализации понятия справедливого компромисса нам понадобится ввести отношение превосходства на множестве Парето (не путать с отношением предпочтения!).

Пусть во множестве Парето задачи (1) даны две точкии значения всех частных критериев оптимальности в них. Введем меру относительного изменения (снижения – знак «минус» или повышения – знак «плюс») качества решения по каждому из критериев

, (2)

где - абсолютное изменение значения критерия оптимальностипри переходе от решения к решению .

Вычислим максимальное относительное снижение качества решения при переходе от решения к решению

. (3)

Аналогично вычислим максимальное относительное повышение качества решения при переходе от решения к решению

. (4)

Заметим, что поскольку , величинаотрицательна, а величина- положительна.

Будем говорить, что решение превосходит решения, и писать, если

. (5)

С другой стороны, будем говорить, что решение превосходит решения, и писать, если

. (6)

Пример 1. Пусть заданы четыре частных критерия оптимальности () и решения , принадлежащие множеству Парето задачи (1). Положим, что критериив точках имеют следующие значения:

	1	2	3	5
	3	2	0	4
		0	1

По формулам (2) – (4) последовательно имеем

,

,

,

;

,

.

Поскольку , т.е. максимальное относительное повышение качества решения превышает максимальное относительное снижение качества решения, то решениепревосходит решение:●

Дополнительной информацией в методе справедливого компромисса является информация об одинаковой важности всех частных критериев, а также информация осправедливом компромиссе, формализованная отношением превосходства

Схема метода справедливого компромисса

1. Полагаем счетчик числа итераций .

2. Тем или иным способом выбираем из множества Парето решение.

3. Вычисляем значения всех частных критериев оптимальности .

4. Тем или иным способом выбираем из множества Парето решение(см. ниже).

5. Вычисляем значения всех частных критериев оптимальности .

6. Если , то полагаем.

7. Если условие окончания итераций выполнено (см. ниже), то принимаем точку в качестве приближенного решения задачи (1) изаканчиваем вычисления. Иначе - полагаем и переходим к п. 4●

В простейшем случае выбор решений может быть произведен случайным образом. В качестве условия окончания итераций в этом случае может быть использовано достижение заданного количества итераций. Выбор решенийможет быть произведен также с помощью полного перебора узлов какой-либо сетки, покрывающей множество.

Замети, что поскольку метод справедливого компромисса использует относительные изменения частных критериев оптимальности, этот метод инвариантен к масштабу измерения частных критериев, т.е. не требуется их нормализация.

Входные термины:

• задача многокритериальной оптимизации;

• векторный критерий оптимальности;

• частный критерий оптимальности;

• множество допустимых значений.

Выходные термины:

• идеальное решение задачи многокритериальной оптимизации; идеальное решение;

• метод приближения к идеальному решению.