Раздел 2

Задачи непрерывной многокритериальной оптимизации в конечномерных пространствах.

Глава 11. Задачи многокритериальной оптимизации и методы их решения.

Входные термины:

• критерий оптимальности;

• множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Выходные термины:

• задача многокритериальной оптимизации;

• векторный критерий оптимальности;

• частный критерий оптимальности;

• скалярный критерий оптимальности;

• нормализация критериев;

• пространство критериев;

• пространство варьируемых параметров;

• отношение предпочтения ;

• отношение эквивалентности;

• множество Парето; переговорное множество; область компромисса;

• весовые множители (коэффициенты) частных критериев оптимальности.

§1. Постановка задачи многокритериальной оптимизации. Множество Парето

В задачах САПР часто возникает задача обеспечить оптимальность объекта проектирования одновременно по нескольким критериям оптимальности . Обычно эти критерии противоречивы и оптимизация по каждому из них приводит к различным значениям вектора варьируемых параметров Х*. Поэтому выделяется отдельный класс задач многокритериальной оптимизации.

Постановка задачи многокритериальной оптимизации

Будем называть скалярные критерии оптимальности частными критериями оптимальности. Совокупность частных критериев оптимальности Фбудем называть векторным критерием оптимальности. Положим, что ставится задача минимизировать каждый из частных критериев в одной и той же области допустимых значений.

Условно задачу многокритериальной оптимизации будем записывать в виде

Ф(X)=Ф,(1)

где - множество допустимых значений вектора варьируемых параметровX.

Решение задачи многоэкстремальной оптимизации в общем случае не является оптимальным ни для одного из частных критериев, а оказывается некоторым компромиссом для вектора Ф(Х) в целом.

Прежде, чем применить тот или иной метод решения задачи (1), обычно производят нормализацию критериев, приводя все частные критерии оптимальностик одному масштабу. Чаще всего при этом используют относительные отклонения частных критериев от их минимальных значений:

,

где

,

.

Если не оговорено противное, будем полагать далее, что частные критерии нормализованы, и сохраним за нормализованными частными критериями оптимальности обозначения .

Множество Парето

Введем понятие пространства критериев . Пространство критериев имеет размерностьs (по числу частных критериев) и образуется s ортогональными осями координат, вдоль которых откладываются значения частных критериев оптимальности - рисунок 1.

Рисунок 1 - К определению пространства критериев: случай

Векторный критерий оптимальности Φ(X) выполняет отображение множества допустимых значений в некоторую область(область достижимости), где .- пространство варьируемых параметров (рисунок 1).

Введем на множестве D_X отношение предпочтения.

Отношение предпочтения . Будем говорить, что вектор предпочтительнее вектора, и писать, если среди равенств и неравенств

,

имеется хотя бы одно строгое неравенство (рисунок 2).

Рисунок 2 - К определению отношения предпочтения (s=2). Для всех точек заштрихованной области , т.е. заштрихованной области пространства критериев соответствуют векторы варьируемых параметров, для которых

Наряду с этим будем говорить, что вектор критериев оптимальности предпочтительнее вектора критериев оптимальности, и писать, если(рисунок 2).

Заметим, что введенное отношение предпочтения является транзитивным, т.е.

если и, то.

Выделим из множества подмножествоточек, для которых в этом множестве нет более предпочтительных точек. Множество, соответствующее, называетсямножеством Парето (переговорным множеством, областью компромисса) – рисунок 3. Таким образом, если , то. Множествоназываетсяфронтом Парето.

Другими словами множество Парето можно определить как множество, в котором значение любого из частных критериев оптимальности можно улучшить (уменьшить) только за счет ухудшения (увеличения) других критериев – любое из решений, принадлежащее множеству Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям. Точки, принадлежащие множеству Парето, не связаны между собой отношением предпочтения!

Рисунок 3 - К определению множества Парето (s=2). Если множество является выпуклым, то множествоесть часть границы множества- дугаAB, в которой точка A соответствует , а точкаB - . Среди точекнет более предпочтительных, поскольку, но

Пример 1. Пусть множество допустимых значений (рисунок 4) и заданы два частных критерия оптимальности,. Можно показать, что множествопри этом имеет вид, представлены на рисунке 5, а множество Паретопредставляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (0,0), (1,1) – рисунок 4. Заметим, что точки (0,0), (1,1) являются точками минимума частных критериев оптимальности,, соответственно●

Рисунок 4 - К примеру 1. Множество допустимых значений вектора варьируемых параметров и множество Парето

Рисунок 5 - К примеру 1. Множества ,

Роль множества Парето при решении задач многокритериальной оптимизации определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Если для некоторых весовых множителей ,имеет место равенство

(2)

где , то векторХ^* оптимален по Парето.

Доказательство. Пусть вектор Х^* не оптимален по Парето. Тогда существует такой вектор , что

, (3)

причем хотя бы одно из неравенств строгое. Умножая каждое из неравенств (3) на и складывая, получим

,

что противоречит условию теоремы●

Теорема 1 показывает, что выбор определенной точки из множества Парето эквивалентен указанию весов для каждого из частных критериев оптимальности. На этом факте основано большое количество численных методов решения многокритериальных задач оптимизации.

Заметим, что теорема 1 задает лишь необходимое условие оптимальности по Парето вектора . Т.е. из того факта, что точкапринадлежит множеству Парето, не следует, что эта точка обязательно удовлетворяет условию (2) – случай невыпуклого множества(см. ниже).

В постановке задачи многокритериальной оптимизации (1) фиксируется лишь множество допустимых значений и вектор критериев Ф.Этой информации недостаточно для однозначного решения задачи (1). Указанная информация позволяет лишь выделить соответствующее множество Парето (можно сказать, что решением задачи многокритериальной оптимизации в постановке (1) является множество Парето). Для однозначного решения задачи (1) нужна дополнительная информация.

Пример 2 (для самостоятельной аудиторной работы). Приближенно построить множество Парето для следующей задачи двухкритериальной оптимизации (s=2):

(рисунок 6).

Покроем множество равномерной сеткой с шагом, равным 1, и пронумеруем узлы сетки так, как показано на рисунке 6.

Рисунок 6 - К примеру 2. Множество допустимых значений покрыто равномерной сеткой с шагом 1 по обеим осям координат. Звездочками выделены узлы сетки, кружками – точки, соответствующие множеству(см. ниже)

Результаты вычислений значений частных критериев оптимальности в узлах построенной сетки занесем в таблицу 1, а затем отобразим в пространстве критериев (рисунок 7).

Аппроксимируем границу множество ломаной и выделим множество(рисунок 7). Отметим точки, соответствующие множеству, на множествеи аппроксимируем полученные точки отрезком прямой. Этот отрезок прямой и представляет собой приближение к искомому множеству Парето (рисунок 6)●

Таблица 1 - К примеру 2.

Значения критериев оптимальности в узлах сетки

x	y			Номер узла
0	1	4	41	1
	2	5	34	2
	3	8	29	3
	4	13	26	4
	5	20	25	5
1	1	1	32	6
	2	2	25	7
	3	5	20	8
	4	10	17	9
	5	17	16	10
2	1	0	25	11
	2	1	18	12
	3	4	13	13
	4	9	10	14
	5	16	9	15
3	1	1	20	16
	2	2	13	17
	3	5	8	18
	4	10	5	19
	5	17	4	20
4	1	4	17	21
	2	5	10	22
	3	8	5	23
	4	13	2	24
	5	20	1	25
5	1	9	16	26
	2	10	9	27
	3	13	4	28
	4	18	1	29
	5	25	0	30

Рисунок 7 - К примеру 2. Примерный вид множеств

Входные термины:

• задача многокритериальной оптимизации;

• векторный критерий оптимальности;

• частный критерий оптимальности;

• скалярный критерий оптимальности;

• множество допустимых значений;

• весовые коэффициенты частных критериев оптимальности;

• множество Парето; переговорное множество; область компромисса;

• нормализация пространства критериев.

Выходные термины:

• методы, основанные на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации.

• метод весовых множителей.