Раздел 1 Задачи непрерывной однокритериальной оптимизации в конечномерных пространствах.

Глава 1. Математическая формулировка задачи оптимального проектирования

Входные термины:

• объект проектирования, проектируемый объект;

• управляемые (варьируемы) параметры (переменные).

Выходные термины:

• область (множество) допустимых значений вектора управляемых (варьируемых) параметров (переменных);

• допустимый вектор управляемых (варьируемых) параметров (переменных);

• сеточный метод;

• принцип гарантированного результата;

• ограничения типа неравенств;

• ограничения типа равенств;

• ограничивающая функция;

• n-мерный прямоугольный параллелепипед (гиперпараллелепипед);

• симплекс;

• гипершар:

• допустимое направление.

§1. Область допустимых значений вектора управляемых параметров х

Требования к проектируемому объекту обычно можно сформулировать в виде системы неравенств:

; (1)

(2)

Здесь - значенияi-й управляемой переменной, определяющие область ее возможных значений, - предельные допустимые значения выходного параметраy_j.

Поскольку существует функциональная связь , ограничения (2) эквивалентны системе

(3)

где - вектор-функция соответствующей размерности. Заметим, что в виде (3) можно записать и ограничения типа равенствg(X)=0 путем замены их парой неравенств

Одной из особенностей задач проектирования является то, что в систему ограничений (3) могут входить функции, зависящие от одной или нескольких компонентов вектора Q. Рассмотрим случай зависимости только от одного из этих компонентов - параметра q, заданного на интервале []. Таким параметром может быть время, частота, температура и т.п. В этом случае

(4)

Для перехода от (4) к (3) можно использовать: 1)сеточный метод, 2)принцип гарантированного результата.

Идея сеточного метода основана на дискретизации интервала и рассмотрении функции g(X,q) на дискретной совокупности точек q1, q2, . . . ,qM (рисунок 1).

Рисунок 1 - Дискретизация интервала

При этом выполнение ограничений (4) сводится к тербованию выполнения системы из М неравенств:

(5)

Недостатки подхода: трудно обоснованно выбрать число М; вместо одного неравенства (4) приходится рассматривать систему из М неравенств (5).

Принцип гарантированного результата состоит в том, что ограничения (4) проверяются для наиболее неблагоприятного значения параметра :

где

Недостатки подхода: в общем случае q*=q*(X) и отыскание q* является самостоятельной проблемой.

Далее будем полагать, что ограничения на параметр q, заданные на интервале , с помощью сеточного метода или принципа гарантированного результата сведены к системе неравенств (3). Тогда условие (3) определяет множество значений вектора

Ограничения (1) аналогично определяют следующее множество:

Множество, полученное пересечением множеств D_g и D_X, будем называть областью (множеством) допустимых значений вектора управляемых (варьируемых) параметров (переменных) Х, т.е.

Любой вектор управляемых переменных ХєD называется допустимым вектором управляемых (варьируемых) параметров (переменных).

Если вектор ХєD, то будем такой вектор называть также точкой (множества D).

Имея в виду специфику задач САПР, сделаем следующее допущение.

Допущение 1. Если не оговорено противное, множество допустимых значений вектора варьируемых параметров D является ограниченным и замкнутым (компактным).

Чаще всего ограничения (1) – (2) записывают единообразно - в виде ограничений вида . Будем называть такие ограниченияограничениями типа неравенств, а функции - ограничивающими функциями.

Если на вектор варьируемых параметров наложены только ограничения типа неравенств, то множество допустимых значений вектора варьируемых параметров определяется выражением

, (6)

где принято, что число ограничений равно.

Пример 1. Пусть определены ограничения на компоненты вектора варьируемых параметров

. (7)

Эти ограничения определяют n-мерный прямоугольный параллелепипед или гиперпараллелепипед. При n=2 ограничения (7) определяют прямоугольник (рисунок 2)●

Рисунок 2 - К примеру 1. Множество D – гиперпараллелепипед (n=2)

Ограничения (7) могут быть записаны в виде ограничений (6) следующим образом (m=2n):

;

;

;

;

…

;

●

Пример 2. Пусть определены ограничения на компоненты вектора варьируемых параметров

. (8)

При n=2 ограничения (8) определяют прямоугольный треугольник, а при n=3 – тетраэдр (рисунок 3). В общем случае ограничения (8) определяют n-мерный симплекс. В виде (6) ограничения (8) могут быть записаны следующим образом (m=n+1):

;

;

…

;

●

Рисунок 3 - К примеру 2. n-мерный симплекс: а) - прямоугольный треугольник (n=2); б) - тетраэдр (n=3)

Пример 3. Пусть определены ограничения на компоненты вектора варьируемых параметров

, (9)

где r, ,,…,- известные положительные константы. Приn=2 ограничения (9) определяют окружность радиуса r с центром в точке . Приn>2 ограничения (9) определяют гипершар того же радиуса с центром в точке . В виде (6) ограничения (9) могут быть записаны следующим образом (m=1):

●

На вектор варьируемых параметров могут быть наложены, как отмечалось, также ограничения типа равенств. Эти ограничения можно либо сведены к ограничениям типа неравенств, либо выделить в отдельную группу ограничений. В последнем случае множество допустимых значений вектора варьируемых параметров определяется следующим образом:

.

Функции , с помощью которых задаются ограничения типа равенств, также будем называтьограничивающими функциями.

Пример 4. Пусть размерность вектора варьируемых параметров X равна двум (n=2) и определены ограничения на этот вектор

Тогда множество допустимых значений вектора варьируемых параметров может быть представлено в виде (рисунок 4)

где ●

Рисунок 4 - К примеру 4. Область допустимых значений D (выделена жирным)

Входные термины:

• область (множество) допустимых значений вектора управляемых (варьируемых) параметров (переменных);

• гиперпараллелепипед;

• симплекс;

• гипершар.

Выходные термины:

• выпуклое множество допустимых значений вектора варьируемых переменных;

• не выпуклое множество допустимых значений вектора варьируемых переменных;

• отрезок;

• гиперплоскость;

• полупространство;

• выпуклый многогранник.